Appunti di Fondamenti di fluidodinamica

Introduzione alla fluidodinamica

Continuo = approssimazione del comportamento di un materiale con analisi macroscopica e fenomenologica. Le proprietà macroscopiche sono una conseguenza delle strutture microscopiche e della natura discreta della materia.

• Microscala = range di dimensioni (scale, lunghezze) caratteristiche del mezzo fluido dove si possono osservare variazioni (fluttuazioni) di densità, dovute alla natura discreta della materia.
• Macroscala = range di dimensioni (scale, lunghezze > microscala) caratteristiche del mezzo fluido dove si possono osservare variazioni di densità, NON dovute alla natura discreta della materia.

Se i processi di microscala e macroscala sono fortemente separati → l’ipotesi di continuo è valida = Per quantificare la validità dell’ipotesi di continuo, si utilizza: = = , = Dove con ≪ 1 → Se l’ipotesi di continuo è valida.

Esempio: propagazione di un’onda acustica in un gas

Si ha la fluttuazione delle proprietà di pressione e densità. −7 = 10 percorso medio molecolare libero (≍ in condizioni standard nell’aria) = lunghezza d’onda (collegata alla velocità e alla frequenza dell’onda) −5 ≍ 10 → quindi l’ipotesi di continuo è valida = Eq. di stato di un gas perfetto:

Il suono genera una locale variazione del volume del fluido; il fluido ha quindi una variazione di pressione che tenderà a propagare nel flusso stesso, propagando appunto il suono. = = → Velocità del suono: velocità con cui si propaga l’onda acustica in un fluido √. In un fluido incomprimibile la velocità del suono è infinita (molto elevata).

Esempio: propagazione di un ultrasuono in un gas

L’ultrasuono ha una frequenza molto più elevata e quindi ha una lunghezza d’onda molto più piccola rispetto ad altre onde acustiche. ≍ 1 → l’ipotesi di continuo non è valida.

Particella fluida

Particella fluida = volume di fluido sufficientemente piccolo per svolgere un’analisi con condizioni omogenee senza violare l’ipotesi di continuo (non è una molecola o un atomo). Le proprietà si possono considerare con i valori di riferimento, pari al valore medio. ((,))(, ) = (, ) =

Densità: regione geometrica sferica centrata in X e con raggio r ((,))

Richiami matematici

Operatori differenziali

Nozioni utili

➔ Campo = legge che associa ad ogni punto dello spazio e ad ogni istante temporale il valore di una grandezza fisica. Il campo può essere:

• Scalare = funzione che associa ad ogni punto un valore scalare, dipende dalle coordinate spaziali e dal tempo. (Es. distribuzione della temperatura nel fluido).
• Vettoriale = funzione che associa ad ogni punto un vettore. = (, , , ))(Es. distribuzione della velocità nello spazio:

Un campo vettoriale è composto da N campi scalari (N = dimensione dello spazio vettoriale), (, (, (, = , , ) = ( , , ), , , ), (, , , )) per esempio con N = 3 si ha: 1 2 3.

• Tensoriale = funzione che associa ad ogni punto dello spazio e ad ogni istante temporale una matrice. I tensori esprimono la combinazione dei gradienti.

Gradiente di un campo scalare = campo vettoriale che indica la direzione di massima crescita locale dello scalare. Derivata > 0 --> la direzione di sviluppo della funzione e la direzione di “crescita” sono concordi.

Divergenza di un campo vettoriale = è un campo scalare che dice quanto il punto iniziale è diretto o si sta allontanando dal punto su cui si fa quel calcolo. Considerando una superficie di una sfera, in base al segno della divergenza si capisce qual è la direzione del flusso attraverso la sfera (se entra o esce dalla sfera).

Flusso attraverso una superficie

➔ Flusso attraverso una superficie ̅ = funzione che descrive quanto di un certo scalare passa attraverso una superficie per unità di area e unità di tempo. : Flusso totale di in tutta la superficie (̅ (̅+∑ ∙ ̅) → 0 Å: ∫ ∙ ̅)∈ ̅ ∙ ̅ = ||||cos ()

Prodotto scalare: ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅ ̅ ̅ (̅∙ ≠ ∙ = ∙ ̅) = ̅) perché dove il vettore normale n è incluso in dA (∫ ∫ ∫ ∫

Temi generali e formalismi

Sistema continuo = regione spaziale dove le proprietà fisiche variano nello spazio e nel tempo.

Sistema continuo materiale = sistema continuo dotato di massa, del quale posso quindi definire la densità: ()(, , , ) = lim () = → 0.

Forze che agiscono in un sistema continuo

• Forze di volume (o forze a distanza) = sono forze distribuite in modo continuo nel volume V occupato dal sistema = forze associate al volume del fluido ed agiscono per effetto di variazioni del volume stesso o della distanza tra i volumi () = = lim , (, , , ) = → 0 () = = lim = → 0.
• Forze di superficie = = si sviluppano sulla superficie del volume = = lim → 0.

Esempio: attrito --> macchine aerodinamiche (meno superficie = meno attrito).

Forza totale agente sul volume V ∑ Si utilizza e non , perché la ∫ = ∫ + ∮ ∑ è discreta e noi stiamo lavorando in continuo. Campo di forze, forze totali, forze di volume, forze di superficie.

Stress (tensione)

Tra le forze di superficie, si usa il concetto di tensione (stress) e si possono distinguere:

• Stress NORMALI alla superficie (porzione di stress alla superficie).
• Stress TANGENZIALI alla superficie (porzione di stress tangente alla superficie).

∗ Stress = che azione per unità di superficie esercita tutto il continuo su ∗ = sistema = continuo, parte di = + --> forze di superficie → stress = lim normali: → 0 → stress = lim tangenziali: → 0 (, , ),

Considerando un sistema di riferimento cartesiano considero una superficie con normale lungo la direzione x: = lim → 0 = lim. Lo stesso si può applicare allo stress normale → 0 e tangenziale nelle direzioni y e z. = lim → 0.

Tensore di Cauchy

Tensore = entità matematica che può essere vista come una matrice multidimensionale (tensore di 2° ordine = matrice). Il tensore è un modo più compatto per rappresentare lo scambio di forze tra i volumi fluidi in un generico punto.

Principio di Cauchy: le forze di superficie possono essere rappresentate da un’unica ((), , ) densità superficiale di forza () Dove è un versore normale alla superficie, orientato secondo la seguente regola: + − La forza esercitata dalla particella sulla particella attraverso la superficie è data da: ((), , )∫

• Il principio di Cauchy assume che, definita una superficie, la funzione di densità è unica e definita solo dal punto x in cui viene calcolata.
• Se si considerano diverse superfici, nello stesso punto x ci sono diversi valori di stress, tutti definiti dalla stessa funzione di densità e che dipendono solo dal versore di campo normale che definisce puntualmente il piano, il quale è localmente tangente alla superficie considerata.

Abbiamo considerato i tensori perché se assumiamo valido il bilanciamento (equilibrio) del momento lineare, → (, , ) (, ) possiamo provare che la funzione normale è lineare, quindi esiste una matrice tale che: (, , ) = (, ) =

Tensore di Cauchy = ( ) Determinare vuol dire determinare le sue 9 componenti. = ∀;, ):

Se si assume valido l’equilibrio dei momenti angolari, si può provare che sia simmetrica ( = , = , = quindi le componenti da determinare passano da 9 a 6.

Esempio di come usare il tensore di Cauchy

+ − La forza di superficie esercitata da su attraverso la superficie è data da: ((), , ) = (, )() ∫ ∫ 3∑ = 1,2,3 =1 = intera superficie di separazione.

Il tensore dà un modo compatto per descrivere le forze che si scambiano all’interno di un fluido. Conoscere il tensore di Cauchy significa avere una descrizione completa della risposta in continuo allo stress.

Fluido come mezzo continuo

Un fluido si definisce un mezzo continuo deformabile quando, in condizioni di QUIETE o di moto rigido, non si hanno componenti di stress tangenti a qualsiasi superficie. 0 00 0 = ( )

Quindi gli unici stress osservabili sono quelli normali e il tensore di Cauchy diventa: 0 0 0 0 = ( )

Questi stress normali hanno lo stesso valore in tutte le direzioni, quindi: 0 00 0 Dato che nei fluidi, il comportamento dello stress normale è dato dalla compressione, l’unica forza che si può misurare in un fluido in quiete è la pressione, quindi: − 0 00 − 0 = ( ) > 0 ( = ) 0 0 −

+ − La forza totale di superficie esercitata da su attraverso la superficie (in condizioni di QUIETE): = ∫ ((), , ) = ∫ (, )(, ) = ∫ −(, ) (, ) (, ) = − = → = 0.

Se (la forza è globalmente nulla, quindi la sfera non si muove) ∫ − (, ) = ∫ −∇ = 0 −

Differenze tra un solido e un fluido continuo

= stress normale, sperimentalmente shear stress = stress tangenziale costanti implicano lo sviluppo di una deformazione costante. La relazione tra lo shear stress e lo strain rate (deformazione) sono fondamentali per la caratterizzazione dei fluidi.

Descrizione del continuo

La descrizione del continuo può essere:

• Descrizione lagrangiana (solitamente utilizzata per i solidi o deformazioni elastiche) = descrive il moto di un mezzo attraverso un riferimento solidale al corpo stesso = posizione iniziale della particella (, ) = posizione della particella al tempo t) ( ∙ , ): ( = → () La mappatura è detta DEFORMAZIONE al tempo t 0 ∈ ℝ. L’insieme di tutte le posizioni iniziali delle particelle è un buon modo matematico per definire il corpo al tempo t. (, ) ∈ ℝ L’insieme di tutte le mappature è un buon modo matematico per definire l’evoluzione del corpo al ≥ tempo .0 (, ) = (, ) − è detto “particella shift” (spostamento della particella).
• Descrizione euleriana (solitamente utilizzata per i fluidi, quindi quella che useremo per tutto il corso) = descrive le deformazioni che avvengono nel mezzo fluido attraverso un riferimento fisso (terna cartesiana) nello spazio.

Si deve considerare la potenziale variabilità nel tempo, quindi si esprimono le variabili in funzione di spazio e tempo.

Considerando un fiume che scorre o una superficie del mare, sono costituite da milioni di particelle fluide che si muovono. Descrivere la deformazione in funzione del tempo seguendo le dinamiche di ogni particella è impossibile; infatti nelle applicazioni pratiche non siamo interessati ad ancorare un termometro su una particella fluida in movimento per controllare la sua evoluzione di temperatura, ma piuttosto siamo interessati a controllare l’evoluzione della temperatura fissando un punto geometrico x.

(, ) La temperatura corrisponde alla temperatura della, , particella fluida con posizione iniziale che al tempo t incontra il punto ̂( −1 (,(, ) = ), ) -> relazione che lega la descrizione Lagrangiana e Euleriana = posizione iniziale della particella che attraversa il punto al tempo t.

Accelerazione (descrizione euleriana)

Accelerazione Euleriana nel punto x al tempo t: (, ) (, )(, ) = = + (, ) ∙ ∇;(, )

Termine evolutivo locale: descrive come in un determinato punto varia la velocità nel tempo.

Termine convettivo: mi permette di considerare sempre la stessa particella, associato alla velocità stessa delle particelle (= velocità con cui si va a modificare il campo di velocità).

Derivata materiale (o derivata lungo il moto): l’accelerazione e la velocità sono grandezze legate alla particella. L’accelerazione è uguale alla derivata della velocità, (,) (,+Å)−(,)= lim ma guardando la definizione si ha: ÅÅ→0 + Å;) (, ))

Il problema è che queste due velocità ((, e non sono riferite alla stessa particella, quindi per tenere (∙) (∙)= + (, ) ∙ ∇;(∙) sempre conto della stessa particella si utilizza la derivata materiale: Prodotto scalare tra la velocità e il gradiente della grandezza che stiamo considerando.

L’accelerazione è una grandezza fisica che ha senso se si parla di una particella specifica, per questo si utilizza la derivata materiale.

Termine convettivo: l’accelerazione è la derivata della velocità, quindi perché appare anche il termine convettivo? L’accelerazione è la derivata della velocità solo se la velocità è sempre riferita alla stessa particella.

(, ) (, + ) Però nella descrizione Euleriana con e si osservano due particelle fluide diverse (la particella P che attraversa la posizione x al tempo t e un’altra particella P’ che attraversa lo stesso punto x ma al tempo t+dt).

Quindi dato che l’accelerazione è una proprietà delle particelle, dobbiamo descrivere (nella descrizione Euleriana fissando la posizione x) l’evoluzione istantanea del flusso della particella P.

Per questo dobbiamo correggere la semplice derivata della velocità con un termine che tenga conto del tracciamento istantaneo della particella, che è proprio il termine convettivo.

Strain rate (descrizione euleriana)

Strain rate = descrive come, a fronte di una serie di forze applicate ad un fluido, il fluido risponde con una DEFORMAZIONE (o più deformazioni). Due quantità fondamentali:

• Tensore strain rate (tensore di DEFORMAZIONE) è simmetrico ed è associato alle variazioni delle componenti delle velocità 1 11 0 1 1/2( )+( )1 0 1 1 0 1( ) = ( )

Esempio: per costruire la matrice simmetrica della seguente matrice si applica: 1/2 11 1 2 in cui la mat