Appunti di Fisica I (Meccanica)

Ingegneria Informatica

Appunti di

FISICA I

A cura di Baldi F. e Sangeniti C.

2025-2026

Indice

1 Nozioni preliminari 5

1.1 Grandezze fisiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2 Sistema Internazionale (SI) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2.1 Il secondo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.2.2 Il metro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.2.3 Il kilogrammo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.2.4 Grandezze fisiche derivate . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.3 Dimensioni fisiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.4 Vettori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.4.1 Simbologia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.4.2 Calcolo del modulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.4.3 Proprietà algebriche . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.4.4 Prodotto scalare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.4.5 Prodotto tra vettore e scalare . . . . . . . . . . . . . 9

1.4.6 Prodotto vettoriale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.4.7 Somma vettoriale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.4.8 Decomposizione di un vettore . . . . . . . . . . . . . 11

1.4.9 Versori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.5 Sistemi di coordinate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.5.1 Sistema di coordinate cartesiano . . . . . . . . . . . . 12

1.5.2 Sistema di coordinate polari . . . . . . . . . . . . . . 12

1.5.3 Sistema di coordinate cilindrico . . . . . . . . . . . . 14

1.6 Massa ridotta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.7 Derivate parziali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2 Cinematica del moto unidimensionale 16

2.1 Velocità media . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.1.1 Velocità scalare media . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.1.2 Velocità vettoriale media . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.2 Velocità istantanea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.2.1 Velocità scalare istantanea . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.3 Legge oraria MRU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.4 Accelerazione media . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.5 Accelerazione istantanea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.5.1 Velocità istantanea con accelerazione costante . . . . 20

2.6 Legge oraria MRUA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3 Cinematica del moto in più dimensioni 23

3.1 Velocità in due dimensioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1

3.1.1 Vettore velocità finale . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3.1.2 Vettore posizione in funzione del tempo . . . . . . . . 23

3.2 Moto parabolico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3.2.1 Altezza massima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3.2.2 Gittata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3.3 Moto circolare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3.3.1 Velocità tangenziale . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3.3.2 Velocità angolare scalare . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3.3.3 Velocità angolare vettoriale . . . . . . . . . . . . . . 29

3.3.4 Relazione vettore velocità e vettore velocità angolare 29

3.3.5 Periodo e frequenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3.3.6 Accelerazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3.3.7 Accelerazione angolare . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

4 Dinamica 34

4.1 Il concetto di forza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

4.2 La massa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

4.3 Prima legge di Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

4.4 Seconda legge di Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

4.5 Terza legge di Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

4.6 Forza normale (o vincolare) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

4.7 Tensione di una fune . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

4.7.1 Carrucole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

4.8 Forza di gravitazione universale . . . . . . . . . . . . . . . . 39

4.9 Forza d’attrito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

4.9.1 Attrito statico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

4.9.2 Attrito dinamico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

4.10 Pendolo semplice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

4.11 Forza elastica e legge di Hooke . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

4.12 Moto armonico semplice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

4.12.1 Legge oraria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

4.12.2 Velocità e accelerazione . . . . . . . . . . . . . . . . 47

4.12.3 Periodo e frequenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

4.12.4 Relazione tra moto circolare e moto armonico . . . . 47

5 Energia e lavoro 50

5.1 Lavoro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

5.1.1 Lavoro di una forza costante . . . . . . . . . . . . . . 50

5.1.2 Lavoro e coordinate curvilinee . . . . . . . . . . . . . 51

5.1.3 Lavoro e coordinate cartesiane . . . . . . . . . . . . . 52

5.1.4 Lavoro in coordinate cilindriche . . . . . . . . . . . . 52

2

5.1.5 Lavoro di una forza centrale . . . . . . . . . . . . . . 52

5.2 Energia cinetica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

5.2.1 Teorema dell’energia cinetica . . . . . . . . . . . . . 54

5.2.2 Teorema dell’energia cinetica per le forze interne . . . 56

5.3 Potenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

5.4 Forze conservative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

5.5 Energia potenziale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

5.5.1 Energia potenziale gravitazionale . . . . . . . . . . . 60

5.5.2 Energia potenziale elastica . . . . . . . . . . . . . . . 60

5.6 Dall’energia potenziale alla forza . . . . . . . . . . . . . . . 61

5.7 Equilibrio stabile e instabile . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

5.8 Energia meccanica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

5.8.1 Energia meccanica e forze conservative . . . . . . . . 63

5.8.2 Energia meccanica e forze non conservative . . . . . . 64

6 Quantità di moto e urti 65

6.1 Quantità di moto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

6.2 Impulso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

6.2.1 Teorema dell’impulso . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

6.3 Sistema di particelle: quantità di moto . . . . . . . . . . . . 67

6.4 Sistema di particelle: centro di massa . . . . . . . . . . . . . 68

6.4.1 Centro di massa per corpi continui . . . . . . . . . . 69

6.4.2 Dinamica del centro di massa . . . . . . . . . . . . . 70

6.5 Conservazione della quantità di moto . . . . . . . . . . . . . 71

6.6 Forze impulsive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

6.7 Urti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

6.7.1 Urto elastico unidimensionale . . . . . . . . . . . . . 74

6.7.2 Urto elastico bidimensionale . . . . . . . . . . . . . . 78

6.7.3 Urto anelastico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

6.7.4 Urto totalmente anelastico unidimensionale . . . . . 79

6.7.5 Urto totalmente anelastico bidimensionale . . . . . . 80

7 Momento e momento angolare 82

7.1 Momento di una forza (o momento torcente) . . . . . . . . . 82

7.1.1 Momento della risultante delle forze . . . . . . . . . . 82

7.2 Momento angolare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

7.2.1 Teorema del momento angolare per un punto materiale 83

7.2.2 Momento angolare di un sistema di punti materiali . 83

7.2.3 Momento angolare di un sistema che ruota e trasla . 83

7.2.4 Seconda equazione cardinale . . . . . . . . . . . . . . 86

7.2.5 Conservazione del momento angolare . . . . . . . . . 87

3

7.3 Punto materiale sottoposto a forza centrale . . . . . . . . . . 87

7.4 Teorema di König per il momento angolare . . . . . . . . . . 87

7.5 Teorema di König per l’energia cinetica . . . . . . . . . . . . 89

7.6 Corpo rigido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

7.6.1 Centro di massa del corpo rigido . . . . . . . . . . . 91

7.6.2 Quantità di moto del corpo rigido . . . . . . . . . . . 91

7.6.3 Moto di pura traslazione . . . . . . . . . . . . . . . . 91

7.6.4 Moto di pura rotazione . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

7.6.5 Energia potenziale gravitazionale per i corpi rigidi . . 95

7.6.6 Energia cinetica per i corpi rigidi . . . . . . . . . . . 95

7.7 Momento di inerzia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

7.7.1 Teorema di Steiner (degli assi paralleli) . . . . . . . . 97

7.7.2 Pendolo fisico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

7.8 Teorema dell’energia cinetica rotazionale . . . . . . . . . . . 99

7.9 Impulso angolare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

4

1 Nozioni preliminari

1.1 Grandezze fisiche

Definizione: un grandezza fisica è una proprietà misurabile di un corpo,

sostanza o fenomeno naturale, esprimibile quantitativamente tramite un nu-

mero e un’unità di misura.

Misurare una grandezza fisica significa determinare il suo valore numerico

confrontandola con una grandezza omogenea di riferimento, chiamata unità

di misura, utilizzando strumenti appositi. È quindi necessario esprimere

sempre l’unità di misura per indicare a quale grandezza omogenea (o a quale

sua potenza) facciamo riferimento.

Esistono due tipi di grandezze fisiche:

• intensive sono intrinseche al materiale e indipendenti dalla quantità

→

(es. temperatura, densità, pressione, calore specifico);

• estensive dipendono dalla dimensione o quantità di materia del

→

campione (es. massa, volume, lunghezza, energia).

Non tutte le grandezze sono pienamente definite da un numero e da un’unità

di misura, poiché le grandezze fisiche si dividono in altre due tipologie:

• scalari sono definite solo da un numero e un’unità di misura (es.

→

massa, tempo, temperatura, energia);

• vettoriali oltre ad un numero e un’unità di misura, richiedono anche

→

direzione e verso per essere descritte completamente (es. forza, velocità,

spostamento, accelerazione).

1.2 Sistema Internazionale (SI)

Nel una commissione internazionale definì un insieme di campioni per

1960

le grandezze fondamentali della scienza. Questo fu necessario per unificare i

sistemi di misura sparsi, spesso locali e basati su standard arbitrari o antro-

pometrici (come piedi o pollici), introducendo standard universali, stabili e

basati su costanti fisiche.

L’obiettivo principale era facilitare gli scambi commerciali, la comunicazione

scientifica internazionale e garantire risultati precisi e riproducibili in tutto

il mondo. 5

La seguente tabella riporta le unità di misura del SI per le grandezze fisiche

7

fondamentali:

Grandezza fisica Nome dell’unità Simbolo

Lunghezza metro m

Massa chilogrammo kg

Tempo secondo s

Intensità di corrente ampere A

Temperatura termodinamica kelvin K

Quantità di sostanza mole mol

Intensità luminosa candela cd

Esistono anche grandezze fisiche adimensionali, cioè descritte solo da

un valore numerico, perché sono rapporti tra grandezze omogenee (es. indice

di rifrazione, coefficiente di attrito).

1.2.1 Il secondo

Il secondo (s) è l’unità base per la misura del tempo.

Definizione: Il secondo è la durata di 9 192 631 770 periodi della ra-

diazione corrispondente alla transizione tra i due livelli iperfini dello stato

fondamentale dell’atomo di cesio-133.

1.2.2 Il metro

Il metro (m) è l’unità base per la lunghezza.

Definizione: Il metro è la lunghezza del percorso percorso dalla luce nel

vuoto durante un intervallo di tempo pari a

1 s

299 792 458

1.2.3 Il kilogrammo

Il kilogrammo (kg) è l’unità base per la massa.

Fino al 2019, il kilogrammo era definito come la massa del Prototipo Inter-

(IPK), un cilindro in platino-iridio conservato a

nazionale del Kilogrammo

Sèvres (Francia). Tuttavia, per superare le problematiche di instabilità le-

gate ad un artefatto materiale, il SI è stato ridefinito nel 2019. La nuova

definizione fissa il valore numerico della costante di Planck (h).

6

Definizione: Si ricorda che il joule è espresso in unità SI fondamentali

tramite la relazione: J kg m s −2

2

1 = 1 .

pertanto, possiamo scrivere: kg m s

−34 −1

2

×

h = 6.626 070 15 10 .

Fissando esattamente e considerando le definizioni di m e s, la definizione

h

del kilogrammo risulta implicitamente determinata dall’equazione sopra.

1.2.4 Grandezze fisiche derivate

Definizione: Le grandezze fisiche derivate sono unità di misura definite

combinando le sette del Sistema Internazionale at-

grandezze fondamentali

traverso relazioni matematiche come moltiplicazione e divisione (es. velocità,

forza).

1.3 Dimensioni fisiche

Definizione: le dimensioni fisiche descrivono la natura di una grandezza

in base alle sue relazioni con le grandezze fondamentali e sono indicate tra

parentesi quadre.

ESEMPIO −2 −2

· · · ·

[F ] = M L T =⇒ f orza = massa lunghezza tempo

−1 −1

· ·

[v] = L T =⇒ = lunghezza tempo

velocità

Unità di misura Dimensioni fisiche

̸ =

L’analisi dimensionale permette di verificare le formule fisiche, indipenden-

temente dalle unità di misura usate.

1.4 Vettori

Definizione: un vettore è un ente matematico utilizzato per descrivere le

grandezze vettoriali, cioè quelle che non possono essere definite solo da un

numero, ma che richiedono una direzione e un verso per essere comprese

appieno. 7

Ogni vettore ha tre caratteristiche:

• modulo la lunghezza del vettore (valore numerico);

→

• direzione la retta su cui giace il vettore;

→

• verso l’orientamento lungo quella retta (indicato dalla punta della

→

freccia).

1.4.1 Simbologia

Per indicare un vettore si disegna una freccetta sopra il suo nome (⃗v ) oppure

si scrive il vettore in grassetto (v).

Per indicare il modulo di un vettore si utilizza il valore assoluto o il nome

senza freccetta (|⃗v | = v).

1.4.2 Calcolo del modulo

Dato un vettore in , il suo modulo è:

n

⃗v = (x , . . . ,x ) R

1 n q 21 2

· · ·

|⃗v | x + + x

= v = n

1.4.3 Proprietà algebriche ⃗b ⃗b

• Commutativa (somma): ⃗a + = + ⃗a

⃗b) ⃗b

• Associativa (con vettori): (⃗a + + ⃗c = ⃗a + ( + ⃗c

)

• Associativa (con scalari): λθ⃗a = λ(θ⃗a ) = θ(λ⃗a )

ha stesso modulo, stessa

−⃗v

• Esistenza opposto: →

⃗v + (−⃗v ) = 0 direzione ma verso opposto a v

⃗b) λ⃗b

• Distributiva: λ(⃗a + = λ⃗a +

• |λ⃗a | |⃗a |

= λ

1.4.4 Prodotto scalare

Il risultato è uno scalare (un numero). Si calcola come il modulo di per la

⃗a

⃗b

componente di parallela ad :

⃗a

⃗b ⃗b| ⃗b

è l’angolo fra e

· |⃗a | | −→

⃗a = cos(θ) θ ⃗a

È massimo quando i vettori sono e nullo quando sono

paralleli

perpendicolari. 8

1.4.5 Prodotto tra vettore e scalare

Quando moltiplichiamo un vettore per uno scalare otteniamo un nuovo vet-

tore con:

• direzione identica a quella del vettore di partenza;

• verso uguale o opposto al vettore iniziale, a seconda del segno dello

scalare;

• modulo pari al prodotto fra il modulo iniziale e lo scalare.

1.4.6 Prodotto vettoriale

Il risultato è un terzo vettore, perpendicolare al piano su cui giacciono i

⃗b

fattori. Ci calcola come il modulo di per la componente di perpendicolare

⃗a

ad :

⃗a ⃗b| ⃗b

⃗b è l’angolo fra e

|⃗a | | −→

× = sin(θ) θ ⃗a

⃗a

Per capire direzione e verso del vettore risultante di un prodotto vettoriale

⃗b si può utilizzare la regola della mano destra:

×

⃗a • primo fattore associato all’indice;

• secondo fattore associato al medio;

• il verso del risultato è dato dal pollice.

Osserviamo le proprietà del prodotto vettoriale:

• Proprietà anti-commutativa: ⃗ ⃗ ⃗ ⃗

× − ×

A B = B A

• Prodotto per uno scalare: oppure

⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗

× × × ×

c A B = c(

A B) A c B = c(

A B)

• Proprietà distributiva:

⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗

× × ×

(

A + B) C = A C + B C

oppure

⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗

× × ×

A ( B + C) = A B + A C

9

• Non associatività: ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗

× × ̸ × ×

A ( B C) = ( A B) C

• Identità di Jacobi:

⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗

× × × × × ×

A ( B C) + B (

C A) + C ( A B) =0

• Triplo prodotto vettoriale (identità di Lagrange):

⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗

× × · − ·

A ( B C) = ( A C)

B (

A B) C

oppure

⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗

× × · − ·

( A B) C = ( A C)

B (

B C)

A

1.4.7 Somma vettoriale

Esistono due metodi per sommare fra loro due o più vettori, poiché, se essi

non hanno tutti la stessa direzione, non è la somma fra i loro moduli.

1. Metodo punta-coda:

⃗b,

Dati due vettori e il vettore somma si ottiene ponendo la coda di

⃗a ⃗s

⃗b sulla punta di . Il vett