Appunti di Elettrotecnica

Corrente elettrica

Cariche in movimento generano una corrente elettrica, l’unità di misura della carica è il coulomb [C]. Il principio di conservazione della carica (1° p.d.k.) dice che: “La quantità di carica in un volume delimitato da una superficie chiusa è costante”. Nei metalli le cariche libere sono gli elettroni (carica negativa), tuttavia per convenzione si considera il movimento delle cariche positive.

La corrente è il flusso delle cariche positive per unità di tempo:

L’unità di misura è l’ampere [A] ed è costante lungo i conduttori ideali, la densità di corrente J è definita dal rapporto di corrente su superficie e si misura in A/m². Valori tipici di corrente sono 1nA - 1μA nei circuiti integrati, 1A - 20A in un impianto elettrico.

I = lim_Δt→0 ΔQ/Δt = dQ/dt; ΔQ = ∫₀^Δt I(t) dt

Il verso di riferimento si indica con una freccia sul conduttore ed è totalmente arbitrario:

• I > 0: Il verso effettivo coincide con quello di riferimento
• I < 0: Il verso effettivo è opposto a quello di riferimento

Tensione elettrica

La tensione v è definita dalla variazione di energia w per unità di carica q, si misura in volt [V]. La tensione non dipende dal percorso perciò possiamo parlare di differenza di potenziale tra due punti a e b: V_ab = V(a) - V(b), V(b) è il valore di riferimento e solitamente è 0; i conduttori ideali sono equipotenziali (V(a) = V(b)). Valori tipici sono 100nV - 10μV ai morsetti di una radio di ricezione, 12V nella batteria di un’automobile, 132KV nelle linee ad alta tensione.

La polarità di riferimento si indica con una coppia di segni + e - ed è totalmente arbitraria.

• V > 0: La polarità effettiva coincide con quella di riferimento
• V < 0: La polarità effettiva è opposta a quella di riferimento

V = ΔW/q; V_ab = W_ab/q = V(a) − V(b)

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Segnali di tensione e corrente

• DC: Corrente continua
• AC: Corrente alternata
• Funzione esponenziale (1 − e^−nt)
• Onda quadra

Concetti di teoria dei circuiti

• Ramo: Entità che rappresenta un singolo bipolo
• Nodo: Un punto al quale sono connessi due o più componenti (rami)
• Sequenza chiusa di nodi (!= percorso chiuso): Sequenza che inizia e termina nello stesso nodo e in cui ogni nodo (tranne il primo) si incontra una sola volta
• Circuito connesso: Se esiste almeno un cammino (percorso) nel circuito che connette qualunque coppia di nodi
• Circuito planare: Se può essere disegnato su un piano 2D senza nessuna intersezione tra i fili che non sia un nodo
• Maglia: Dato un circuito planare la maglia è un qualunque percorso chiuso nel circuito che non contiene componenti interi; ad ogni maglia corrisponde una sequenza chiusa di nodi (il numero delle maglie è inferiore al numero di sequenze chiuse di nodi).

→ m = b - n + 1

m = maglia
n = nodi
b = rami

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• Tensione di nodo (tra due punti): Si sceglie un nodo di riferimento (V_rif = 0), il riferimento non si indica, è implicito; la tensione su ogni ramo può essere espressa come differenza tra le tensioni di nodo relative ai nodi a cui è connesso.

Legge di Kirchhoff delle correnti (LKC)

Dal principio di conservazione della carica ricaviamo che la somma delle correnti che entrano/escono da un nodo o da una superficie chiusa è 0.

∑_k=1ⁿ I_k(t) = 0

Vincoli derivanti dalla LKC

• La corrente entrante in un bipolo è uguale a quella uscente
• Un N-polo è caratterizzato da N-1 correnti indipendenti
• Il monopolo è un componente senza senso

Legge di Kirchhoff delle tensioni (LKT)

Il campo elettrostatico è conservativo dunque una carica che si muove lungo un percorso chiuso presenta una variazione di energia nulla.

La somma algebrica delle tensioni lungo una sequenza chiusa di nodi è nulla.

∑_k=1ⁿ V_k(t) = 0

Vincoli derivanti dalla LKT

• Un N-polo è caratterizzato da N-1 tensioni indipendenti

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Equazioni indipendenti

• LKC indipendenti: Applicando la LKC a tutti i nodi di un circuito connesso tranne uno (qualsiasi) si ottiene un insieme di equazioni linearmente indipendenti
• LKT indipendenti: Applicando la LKT a tutte le maglie di un circuito planare si genera un insieme di equazioni linearmente indipendenti

Potenza

Una carica Δq > 0 attraversa un generico dipolo da a a b in un tempo Δt. Per definizione la variazione di energia (-), è: Δw = vΔq.

La potenza assorbita è l’energia perduta da Δq per unità di tempo.

La potenza assorbita P_a si misura in watt [W], l’energia perduta dalla carica è assorbita dal bipolo, solo nel dipolo avviene scambio di energia.

P = vi; P = −vi

• Coordinato (a): Sistema di riferimento (a), riferimento associato, convenzione degli utilizzatori. P = vi
• Non coordinato (b): Sistema di riferimento (a), riferimento anti-associato, convenzione dei generatori. P = −vi

Il segno decide se la potenza è assorbita o erogata: P_a > 0 potenza assorbita dal bipolo, P_a < 0 potenza erogata dal bipolo.

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• Potenza istantanea: In generale la potenza assorbita è in funzione del tempo P_a(t) = v(t)i(t), l’energia assorbita tra t₁ e t₂ vale quindi w(t₁, t₂) = ∫_t1^t2 v(t)i(t) dt
• Chilowattora (KWh): Se la potenza è costante si ha che: ΔQ = PΔt
• KWh: Energia assorbita in un’ora
• N-polo: Caso generale (N-polo): componente con N terminali di cui uno è il riferimento. N-polo equivalente all’unione di N-1 poli
• Teorema della conservazione della potenza: La somma algebrica delle potenze assorbite da tutti i componenti di un circuito è nulla in ogni istante, proprietà derivante dalle leggi di Kirchhoff

Teorema di Tellegen

In un generico circuito il principio della conservazione della potenza afferma: si considerino due circuiti diversi A e B con identica topologia, i due circuiti hanno stesso numero di nodi, bipoli e stesse connessioni; tensioni e correnti A e B rispettano le stesse LKC e LKT, quindi si ha:

Bipoli resistivi

LKC e LKT derivano dalla topologia del circuito e forniscono metà delle equazioni necessarie per analizzare un circuito.

Le relazioni caratteristiche sono relazioni matematiche tra correnti e tensioni che descrivono il comportamento di un componente; per caratterizzare un N-polo servono N-1 equazioni. Per i dipoli resistivi vi è una relazione che lega tensione e corrente (V-I) in ogni istante.

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Resistore: La relazione caratteristica del resistore è la legge di Ohm.

v = Ri; i = Gv

R è detta resistenza e si misura in [Ω], G si dice conduttanza e si misura in siemens [S].

La caratteristica I-V è una retta passante per l’origine. La scelta del verso di riferimento determina il segno della relazione caratteristica: verso coordinato v = Ri o verso non coordinato v = -Ri.

Il resistore è un componente:

• Lineare
• Bilaterale: Non ha polarità
• Passivo: L’energia assorbita è sempre positiva

L’energia assorbita è convertita in calore (effetto Joule).

Un resistore reale è caratterizzato da un filo con resistività ρ percorso da corrente, la sua caratteristica non è più lineare (solo in un Δv ristretto), un resistore particolare è il fusibile.

• Corto circuito (R = 0): La tensione è nulla, la corrente è imposta dal circuito, la sua caratteristica corrisponde con l’asse delle correnti.
• Circuito aperto (R = ∞): La corrente è nulla, la tensione è imposta dal circuito, la sua caratteristica corrisponde con l’asse delle tensioni.
• Duali: Sono elementi con potenza assorbita nulla.
• Generatore indipendente di tensione: Impone una tensione indipendente dalla corrente (batteria ideale), se la tensione è 0 degenera in un corto circuito, generalmente è un circuito tempo-variante.
• Generatore indipendente di corrente: Impone una corrente indipendente dalla corrente, se la corrente è 0 degenera in un circuito aperto, idealmente è un circuito tempo-variante.
• Interruttori (ideali): Componenti tempo-varianti, possono essere NO (normalmente aperto), o NC (normalmente chiuso).
• Diodo ideale: È un resistore non lineare, la sua caratteristica I-V non è lineare.
• È un elemento non bilaterale, invertendo i terminali la sua caratteristica cambia.
• Diodo in conduzione (ON): Tensione nulla e corrente positiva, potenza nulla, equivalente a un corto circuito.

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• Diodo in interdizione (OFF): Corrente nulla e tensione negativa, potenza nulla, equivalente a un circuito aperto.

Connessioni

Bipoli in serie: La topologia impone che vengano attraversati dalla stessa corrente i, per un generico circuito a singola maglia, la corrente è la somma algebrica delle tensioni dei generatori indipendenti di tensione divisa per la somma delle resistenze.

Partitore di tensione: La tensione si ripartisce su resistori in modo proporzionale ai valori delle resistenze.

Es:

Bipoli in parallelo: La topologia impone che ai loro terminali si stabilisca la stessa tensione, per un generico circuito con due nodi, la tensione è la somma algebrica delle correnti dei generatori indipendenti di corrente divisa per la somma delle conduttanze.

Partitore di corrente: La corrente si ripartisce su resistori in modo proporzionale ai valori delle conduttanze.

Es:

Amperometro: Misura la corrente, è approssimabile con un corto circuito, si inserisce in serie a un ramo ed in genere ha una resistenza bassa.

Voltmetro (duale): Misura la tensione: è approssimabile con un circuito aperto, si inserisce in parallelo a un ramo ed in genere ha una resistenza interna alta.

Equivalenza: Due bipoli si dicono equivalenti se sono descritti dalla stessa relazione caratteristica, due dipoli equivalenti sono quindi indistinguibili, possono essere scambiati senza effetti sulle variabili circuitali del resto del circuito.

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Resistori in serie: Resistori in serie:

Generatori di tensione in serie: Generatori di tensione in parallelo:

Generatori di tensione in parallelo: N generatori di tensione con identico segnale V_s in parallelo sono equivalenti a un singolo generatore, e viceversa, le correnti nei singoli generatori sono indeterminate.

Generatori di tensione in serie: N generatori di corrente con identico segnale i_s in parallelo sono equivalenti a un singolo generatore, e viceversa, le tensioni nei singoli generatori sono indeterminate.

Combinazione di generatori di tensione e corrente:

• Connessione in parallelo: È equivalente ad un generatore di tensione
• Connessione in serie: È equivalente ad un generatore di corrente

Combinazioni illecite: Connessione parallelo di generatori di tensione con segnali diversi e connessione serie di generatori di corrente con segnali diversi.

Generatori reali: Un generatore elettrico reale non può erogare potenza infinita.

Multipoli resistivi

Componenti non N-terminali, N - 1 tensioni e correnti, N - 1 relazioni caratteristiche.

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Tripoli resistivi

• Stella di resistori (Y): LKT alle sequenze 1-n-3-1 e 2-n-3-2. In forma matriciale:
• Triangolo di resistori (Δ): LKC ai nodi 1 e 2. In forma matriciale:
• Trasformazioni stella-triangolo (Y - Δ): Estensione del concetto di equivalenza: due tripoli sono equivalenti se sono caratterizzati dalla stessa matrice (R o G); imponendo l’uguaglianza tra i coefficienti R e G si ha:

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• Y => Δ: Prodotto delle conduttanze che appartengono allo stesso triangolo con G_i diviso per la somma delle conduttanze.
• Δ => Y: Prodotto delle resistenze connesse allo stesso spigolo diviso per la somma delle resistenze.
• Se tutte le resistenze o conduttanze sono uguali:

Generatori controllati

Sono elementi riporta, cioè 4-poli, con una porta d’ingresso e una d’uscita, la variabile alla porta 2 è proporzionale alla variabile alla porta 1:

• Generatore di tensione controllato in corrente (CCVS): v₂ = ri₁; v₁ = 0
• Generatore di tensione controllato in tensione (VCVS): v₂ = αv₁; i₁ = 0
• Generatore di corrente controllato in tensione (VCCS): i₂ = gv₁; i₁ = 0
• Generatore di tensione controllato in corrente (CCCS): i₂ = βi₁; v₁ = 0

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• Variabili di controllo: Corrente (tensione), in un corto circuito (circuito aperto o ai capi di un bipolo…), per il controllo in corrente (tensione).
• Parametri di controllo: r[Ω], α[ ], g[S], β[ ].
• I generatori indipendenti sono termini forzanti noti a priori, quelli controllati esprimono l’accoppiamento tra grandezze. I generatori controllati possono erogare o assorbire potenza.

Principio di sostituzione

Un circuito può essere diviso in due parti A e B, e A e B sono accoppiate solo da conduttori ideali (R = 0). Si è interessati a studiare solo la parte A.

Sostituendo B con un generatore di tensione con segnale (valore), tutte le variabili circuitali in A sono invariate.

Sostituendo B con un generatore di corrente con segnale (valore), tutte le variabili circuitali in A sono invariate.

Casi notevoli

Si vuole studiare solo la parte A, cioè l’esterno di A:

• Ogni bipolo posto in parallelo a un generatore indipendente di tensione può essere ignorato.
• Dualmente, ogni bipolo posto in serie a un generatore indipendente di corrente può essere ignorato.

Trasformazione dei generatori reali

Un generatore indipendente di tensione in serie a un resistore R_s è equivalente a un generatore indipendente di corrente con lo stesso resistore in parallelo se e solo se: i_sR_s = v_s.

La stessa regola si applica ai generatori controllati, ma occorre prestare attenzione alla grandezza elettrica che controlla il generatore.

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Ogni metodo sistematico predilige un tipo di generatore, quindi è utile trasformare un generatore nell’altro e viceversa.

Caso generale

Un generatore di tensione che non ha un resistore in serie, o un generatore di corrente che non ha un resistore in parallelo.

Serve un primo passo che inserisca un resistore in serie/parallelo.

Si può applicare quindi la trasformazione classica vista prima.

• Dato un generatore di tensione in serie con un numero arbitrario di resistori (a), esso può essere spostato in serie a ognuno di questi (c).
• Dato un generatore di corrente in parallelo con un numero di arbitrario di resistori (a), esso può essere spostato in parallelo a ognuno di questi (c).

Teorema di Millman

Caso particolare di trasformazione dei generatori:

• N-bipoli
• Circuito con due nodi, in parallelo.
• Ogni bipolo è un generatore di tensione in serie con un resistore.
• Si trasformano i generatori di tensione in generatori di corrente.

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Calcolo della tensione tra i due nodi: somma pesata (dalle conduttanze) delle tensioni dei generatori divisa per la somma delle conduttanze.

Metodi di analisi dei circuiti resistivi

(Per approfondimenti vedere esercizi di esempio)

1. Metodo di Kirchhoff: Si scrivono n–1 LKC, b–n+1 LKT, b relazioni caratteristiche e si risolve il sistema risultante 2b x 2b.
2. Analisi nodale: Si applica velocemente in circuiti con generatori di corrente e resistori scrivendo la forma matriciale per ispezione visiva; le incognite sono le tensioni di nodo. In presenza di generatori di tensione si scrivono meno LKC aggiungendo però le equazioni di vincolo sugli stessi generatori.
3. Analisi delle maglie: Solo per circuiti planari, metodo degli anelli (duale a quello nodale), si applica velocemente in circuiti con generatori di tensione e resistori scrivendo la forma matriciale per ispezione visiva; le incognite sono le correnti di anello. In presenza di generatori di corrente si scrivono meno LKT aggiungendo però le equazioni di vincolo sugli stessi generatori.
4. Proprietà delle reti: Thevenin, Norton, sovrapposizione, sostituzione etc. (A differenza dei primi tre sono metodi non sistematici)

Introduzione alla simulazione circuitale

Principio di funzionamento

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File di ingresso (*.cir): È un file di testo costituito da un insieme di comandi:

• Titolo (obbligatorio)
• *Commenti
• Elementi del circuito
• Dichiarazioni di controllo
• Dichiarazioni globali (modelli)
• Dichiarazioni di controllo
• Dichiarazioni di uscita
• Fine simulazione (obbligatorio)

Componenti circuitali: La lista è l’elenco di tutti i componenti del circuito da simulare con i relativi nodi di collegamento. Ogni componente deve iniziare con la lettera iniziale che lo caratterizza (obbligatorio). -- G Gen. di corrente contr. in tensione R Resistore -- F Gen.