Appunti di Dinamica della nave

Indice

Introduzione ...................................................................................................................................... 4 Onde regolari .................................................................................................................................... 4 Modello per le onde regolari ..................................................................................................................... 4 Equazione di Laplace ............................................................................................................................ 5 Condizione al contorno sul fondale ........................................................................................................ 5 Condizione al contorno sulla superficie libera ......................................................................................... 6 Ipotesi e linearizzazione ......................................................................................................................... 7 Traiettoria delle particelle fluide .............................................................................................................. 11 Determinazione delle pressioni .................................................................................................................. 12 Energia dell’onda .................................................................................................................................... 13 Energia cinetica ................................................................................................................................... 13 Flusso di energia .................................................................................................................................. 14 Gruppo d’onda ..................................................................................................................................... 15 Frequenza d’incontro .............................................................................................................................. 17 Esempio .............................................................................................................................................. 20 Sovrapposizione di onde ............................................................................................................................ 22 Esempio .............................................................................................................................................. 23 Spettri di mare .................................................................................................................................. 25 Spettri di mare irregolare .......................................................................................................................... 25 Momenti spettrali di ordine ................................................................................................................... 29 Modello di Pierson e Neumann .................................................................................................................... 30 Distribuzione di probabilità delle grandezze caratteristiche del mare ....................................................... 31 Modelli parametrici di spettri ....................................................................................................... 32 Spettro Pierson-Moskowitz (1964) ............................................................................................................ 32 Spettri bi-parametrici ................................................................................................................................ 33 Spettro di Retschneider .......................................................................................................................... 34 JONSWAP .................................................................................................................................... 36 Spettro ........................................................................................................................... 37 Spettro multidirezionale ................................................................................................................ 39 Spettro in frequenza d’incontro ................................................................................................................ 39 Onde di carena ................................................................................................................................. 41 Definizione ............................................................................................................................................... 41 Stazionarietà di fase .................................................................................................................................. 44 Come si disegnano le linee delle creste? ............................................................................................... 44 Resistenza d’onda - Wave pattern ........................................................................................................ 45 Metodo del taglio d’onda longitudinale ..................................................................................................... 46 Notazione per i moti nave ................................................................................................................ 48 Moti della nave ......................................................................................................................................... 50 Forze di richiamo idrostatiche ................................................................................................................... 53 Calcolo 53 ......................................................................................................................................... Calcolo 54 ......................................................................................................................................... Calcolo 55 ......................................................................................................................................... Calcolo 55 ......................................................................................................................................... Calcolo 56 ......................................................................................................................................... Problemi idrodinamici ............................................................................................................................... 57 Matrici di massa aggiunta e di smorzamento ......................................................................................... 58 Problema stazionario ..................................................................................................................... 60 Cenno sul metodo numerico di soluzione .............................................................................................. 60 Problema della diffrazione ....................................................................................................................... 61 Problema dell’irraggiamento .................................................................................................................... 63 Calcolo delle forze eccitanti .................................................................................................................... 65 Diffrazione .............................................................................................................................................. 66 Irraggiamento .......................................................................................................................................... 66 Effetto della velocità d’avanzo .................................................................................................... 67 Metodo della Strip Theory ........................................................................................................................ 67 Forze di diffrazione .................................................................................................................................. 69 Strip Theory ............................................................................................................................................. 70 Andamenti “tipici” di alcuni RAO ..................................................................................................... 72 RAO dell’heave per head waves, β = 0° ......................................................................................... 72 RAO dello sway e dello yaw ..................................................................................................................... 74 RAO del roll ............................................................................................................................................ 75 Modelli di smorzamento viscosi per ....................................................................................................... 75

• Eddy making ................................................................................................................................. 76
• Foil .............................................................................................................................................. 76

Moti assoluti in punti della nave .................................................................................................. 77 Moto relativo all’onda ........................................................................................................................... 78 Operatività: effetti indesiderati (green water e slamming) ....................................................... 78 Green water ............................................................................................................................................. 78 Slamming ................................................................................................................................................. 79 Underwater keel clearance ....................................................................................................................... 80 Risonanze ................................................................................................................................................ 80 Indici di operatività ......................................................................................................................... 81 Motion sickness incidences – MSI ........................................................................................................... 81 Subjective motion ..................................................................................................................................... 82 Motion induced interruptions – MII ............................................................................................................ 83 Calcolo della risposta nave in mare multidirezionale ............................................................. 84 Carichi d’onda ................................................................................................................................. 85 23

Lezione 22/02/22 Introduzione

L’obiettivo del corso è la caratterizzazione della risposta della nave nei 6 gradi di libertà, in modo da ricavarne quindi i carichi d’onda, le accelerazioni, la resistenza aggiunta e l’operatività della nave, che a sua volta è espressa in termini di sicurezza (l’analisi dell’efficacia delle mansioni svolta in situazione di moto ondoso) e di comfort.

Per parlare della risposta della nave, è necessario introdurre innanzitutto il modello per le onde regolari, in modo poi da rappresentare il modello di onde irregolari come sommatoria di onde regolari (si nota che questa somma è possibile nell’ambito della teoria lineare).

Lezione 23/02/22 Onde regolari

Modello per le onde regolari

Un’onda regolare equivale ad un’onda cilindrica di forma sinusoidale, che può quindi essere descritta come: = a sin( − ) con il profilo dell’onda, l’ampiezza, il numero d’onda, la lunghezza d’onda e = 2/ il periodo dell’onda. = 2/

Il pelo libero coincide con la superficie libera indisturbata. Ponendo l’origine degli assi = 0 con parallelo al pelo libero indisturbato, l’onda cilindrica si presenta come in figura: 4

Indichiamo con il dominio fluido, e siano la funzione che descrive il fondo e Γ(, , ) = 0 quella che descrive la forma dell’onda. (, , , ) = 0

Si introducono le ipotesi iniziali di fluido perfetto e di moto irrotazionale, facendo in modo di introdurre quindi una teoria a potenziale, definendo una funzione potenziale (scalare) di velocità tale che: Φ̇ = ∇Φ

Equazione di Laplace

Date le ipotesi, dall’equazione di continuità si ottiene: 2 2 2 Φ Φ Φ 2∇Φ = 0 → + + =0 2 2 2

Si impostano adesso le condizioni al contorno.

Condizione al contorno sul fondale Γ = 0

Dire che la derivata materiale della funzione che descrive il fondale è nulla significa imporre che la velocità normale delle particelle sul fluido è nulla (condizione di non compenetrazione); sviluppando la derivata materiale si ottiene infatti: Γ Γ Γ Γ + ⋅ + ⋅ + ⋅ =0

Sapendo che: Φ Φ Φ Φ̇ = ∇Φ → [ , , ] = [ , , ] Γ

Si nota innanzitutto che dato che non dipende dal tempo; si può scrivere perciò: Γ Γ Φ Γ Φ Γ Φ ⋅ + ⋅ + ⋅ = 0 → ∇Γ ⋅ ∇Φ = 0

Dividendo per otteniamo il versore normale al fondo, cioè: |∇Γ| 5 ∇Γ ⋅ ∇Φ = 0 → Φ̇̇ ⋅ Φ̇ = 0 |∇Γ|

Quest’ultima significa che la velocità normale del fluido è nulla sul fondale, la cosiddetta condizione di non compenetrazione.

Condizione al contorno sulla superficie libera

Si impone una condizione cinematica ed una dinamica, il primo legato alla forma dell’interfaccia ed una legata alle pressioni.

La condizione cinematica è, similmente a quella sul fondo: = + ∇Φ ⋅ ∇ = 0 = 0

In termini fisici, significa che le particelle fluide appartenenti alla superficie libera continuano ad appartenere ad essa (non c’è ricircolo).

La condizione dinamica riguarda appunto le pressioni, con Bernoulli: 1 ( ) − = 0

Applicando Bernoulli: Φ 1+ ∇Φ ⋅ ∇Φ + = 0 = 0 2

Date le quattro equazioni che regolano la dinamica del fluido (Laplace, la condizione sul fondo e le condizioni sulla superficie libera), si introducono delle ipotesi semplificative; riguardo alla forma dell’onda, si suppone di avere una definita da: = (, , ) − = 0

Essa non è funzione di pertanto non prevede ad esempio le onde frangenti per cui si ha, per, una più valori di Ponendo significa che si impone:, . = 0, = (, , )

Prendendo la condizione cinematica sulla superficie libera, considerando il coseno direttore ∇ della normale alla superficie libera : |∇| Φ̇Φ̇( )Φ̇ + Φ̇ − ∇ = |∇| 2 2 √( () )+ + 1

Dividendo la condizione cinematica per si ottiene: |∇|, 1 ∇ ⋅ + ∇Φ ⋅ =0→ ⋅ + v = 0 n |∇| |∇|

Quest’ultima significa che, per ogni punto della superficie, la variazione locale della sopraelevazione ondosa, proiettata sulla normale alla superficie, è uguale alla componente 6 della velocità normale del fluido. In sostanza, significa che lo spostamento della superficie liberà è coerente con il campo di velocità nel fluido (in corrispondenza della superficie stessa).

Il problema idrodinamico si può scrivere come: 2∇Φ = 0 ∇Γ ⋅ ∇Φ = 0 Γ = 0 ⋅ + = 0 = Φ 1+ ∇Φ ⋅ ∇Φ + = 0 = { 2

Ipotesi e linearizzazione

Si introduce adesso l’ipotesi di onde di piccola ampiezza, dove si presuppone che l’ampiezza d’onda è piccola rispetto alla lunghezza d’onda Si introduce un parametro da utilizzare per . creare una serie perturbata: = /

L’idea è quella di poter dire, dato cerchiamo una soluzione del problema che sia funzione di, tale parametro, ossia una funzione del tipo: 2 3 = + + + ⋯ = ∑ 1 2 3 =1

2 3 Φ = Φ + Φ + Φ + ⋯ = ∑ Φ 1 2 3 =1 N