Appunti di Campi elettromagnetici - parte 3 di 3

Potenziali elettrodinamici

Procediamo adesso nel nostro intento di definire la propagazione guidata del campo esclusivamente mediante le linee di trasmissione. Queste ci forniscono tuttavia delle grandezze molto approssimative, utili per analisi circuitali, ma carenti per analisi elettromagnetica.

Quello che vogliamo andare a fare in questa sezione è andare a determinare con maggiore precisione il comportamento dei campi elettromagnetici nelle strutture guidanti con informazioni più precise. Altro scopo di queste analisi sarà l’analisi di strutture guidanti non a multiplo conduttore, bensì a singolo conduttore, in cui le considerazioni fatte finora perdono validità.

Occorre quindi analizzare direttamente il campo di queste strutture a singolo conduttore, che risultano estremamente importanti in numerosi campi, come il campo delle microonde.

Anche strutture come le fibre ottiche non possono essere ricondotte ai formalismi finora introdotti, e richiederanno un’analisi separata.

Questa parte continuerà comunque ad agganciarsi di tanto in tanto a questo formalismo, che intendiamo espandere per inserirci in un contesto più ampio.

Funzioni potenziali nell’elettrostatica

Potenziale elettrostatico

Inizieremo questa analisi partendo dai potenziali elettrodinamici.

Da un punto di vista elettromagnetico abbiamo già una discreta conoscenza dei potenziali, che abbiamo affrontato già nell’analisi del campo elettrostatico, in cui abbiamo introdotto una funzione detta potenziale elettrostatico, basata su proprietà matematiche particolari.

Abbiamo considerato infatti che, per l’irrotazionalità del campo elettrico questo può essere espresso come divergenza di un campo scalare detto potenziale elettrostatico:

Attraverso una funzione scalare è possibile arrivare ad una determinazione analitica delle soluzioni più semplici in numerosi casi, in cui abbiamo considerato l’utilità del potenziale.

Possiamo considerare l’equazione di Poisson, analogo dell’equazione di Laplace, e che ci indica 115. Potenziali eletrodinamici

Per cui otteniamo, data una generica distribuzione di grandezze impresse, una modalità per il calcolo di:

Potenziale vettore magnetostatico

Nella magnetostatica abbiamo in modo analogo introdotto un potenziale vettore, in quanto legato all’irrotazionalità del campo magnetico.

Abbiamo infatti definito campo e potenziale l’uno in funzione dell’altro come segue:

Con passaggi abbastanza facili possiamo ricavare

Per cui possiamo esprimere il campo data la densità di corrente impressa:

Queste equazioni hanno validità limitata, e non si applicano nei nostri casi di elettrodinamica, in cui assumiamo frequenze non nulle.

Il passaggio all’elettrodinamica non preclude comunque la possibilità di esprimere i due campi in funzione dei due relativi potenziali e anzi, osserveremo che per tutti i problemi di radiazione (elettrodinamica in alta frequenza) la metodologia affrontata potrà essere compresa facilmente applicando i potenziali elettrodinamici.

Potenziali vettori e scalari elettrodinamici

Vogliamo quindi analizzare come i potenziali possono essere estesi al caso elettrodinamico.

Nella gran parte dei casi saremo interessati all’utilizzo di materiali ideali sufficientemente semplici: monocausali, lineari, stazionari, omogenei, isotropi, spazialmente non dispersivi, eventualmente temporalmente dispersivi e dissipativi. 215. Potenziali eletrodinamici

Consideriamo in questa situazione le equazioni di Maxwell nel dominio della frequenza, scritte nella loro forma ingegneristica, con le relative grandezze impresse

Possiamo ricondurci all’uso di grandezze esponenziali se ci riconduciamo a due sotto-problemi.

Consideriamo che le densità di correnti impresse possono essere correnti fisiche o di natura fittizia e, in particolare nel nostro caso sono determinate solamente dalle caratteristiche fittizie. Assumiamo quindi le correnti note (o meglio ricavabili), e procediamo quindi nell’analisi.

Ipotizziamo, per definire un potenziale, che sia possibile vedere il campo come una sovrapposizione di due campi elettromagnetici, uno generato dalle . Il campo globale sarà dato facilmente dall’unione dei e l’altro dalle due sottocasi.

Consideriamo quindi due casi:

E per ognuno definiremo delle grandezze potenziali, che saranno caratterizzate da proprietà di simmetria, che ci permetteranno il passaggio dall’una all’altra.

Caso A: potenziale magnetico di Lorenz

Consideriamo innanzitutto

Da cui otteniamo facilmente che sia il campo di induzione che il campo magnetico hanno natura solenoidale. Per la caratteristica solenoidale possiamo esprimere quindi il potenziale vettore tale che ∇ ×

Questo campo detto potenziale vettore magnetico, si misurerà in Ampere, []. 315. Potenziali eletrodinamici

Trasformazioni di Gauge

A prescindere dalla regione di interesse, la definizione di come derivata implica che esistono infiniti valori di (con variazioni di una quantità di un termine costante) da cui si può ottenere lo stesso.

Andiamo ad aggiungere ad un secondo campo vettoriale, determinato dal gradiente di una funzione scalare che rappresenta un campo irrotazionale, arbitrario.

Si scrive quindi

Si hanno quindi infiniti potenziali determinati a meno del gradiente di una funzione arbitraria. Questa proprietà costituisce, assieme ad una seconda proprietà, una coppia di trasformazioni dette trasformazioni di Gauge.

Vogliamo andare a ricavare la seconda equazione delle trasformazioni di Gauge.

Quando andiamo a definire ne andiamo a definire realmente solo il rotore, ossia i vortici. Per conoscere il campo in modo univoco occorre conoscere sia i vortici sia le sorgenti, per cui la definizione rimane non univoca.

Il problema è diventato un problema elettrodinamico, per cui i due campi (elettrico e magnetico) sono tra loro collegati.

Applichiamo la 3° equazione di Maxwell, assumendo correnti magnetiche indotte nulle, e scriviamo:

Osserviamo quindi un’uguaglianza tra derivate

Consideriamo le proprietà di base del campo magnetico (irrotazionale), per cui otteniamo

Accanto al potenziale vettore magnetico definiamo quindi un potenziale scalare elettrico che si misura in Volt [].

Potrebbero presentarsi dei problemi a definire questo campo in alcune regioni come le regioni toroidali, ma escluderemo queste situazioni.

Occorre quindi caratterizzare per cui andiamo a considerare le trasformazioni di Gauge, per cui scriviamo

Che possiamo inserire nell’espressione del campo per ottenere

Per cui possiamo infine ricavare 415. Potenziali eletrodinamici

Questa è la seconda equazione delle trasformazioni di Gauge, che andiamo a definire come

Questo ci indica quindi che è possibile modificare i potenziali senza alterare il campo elettromagnetico, purché la modifica avvenga secondo queste trasformazioni.

I potenziali elettromagnetici sono quindi invarianti rispetto a queste trasformazioni.

Definizione dei potenziali di Lorenz

Finora ci siamo preoccupati di trovare le formule che, conoscendo e ci consentano di conoscere il campo, ma vogliamo essere in grado di determinare e.

Possiamo sfruttare l’equazione di Maxwell che non abbiamo applicato in precedenza

Introduciamo le definizioni dei campi in funzione del potenziale, per cui si ha 2 2

Osserviamo che si ottiene (ossia il numero d’onda al quadrato) a = moltiplicare il potenziale magnetico.

Ci stiamo avvicinando gradualmente ad una forma simile all’equazione di Helmholtz.

Andiamo quindi ad applicare la stessa proprietà del rotore del rotore applicata con Helmholtz, per ottenere:

Ricordiamo che il campo deve essere definito sia in funzione di rotore sia in funzione di divergenza.

Non avendo ancora definito un metodo per scegliere il gradiente di possiamo andare a sceglierlo per semplificare l’equazione nel modo più semplice possibile, per cui andiamo ad imporre che + = 0∇ ⋅

Ossia si associa la divergenza del campo vettoriale ad una condizione particolare, detta condizione di Lorenz (senza t, a differenza di tutto il resto), che non è l’unica condizione possibile, ma estremamente semplice.

Scegliendo infatti 515. Potenziali eletrodinamici ∇ ⋅ = −

Si ottiene

Ossia che il campo è definito da un’equazione simile ad un’equazione di Helmholtz in cui compare esclusivamente la corrente elettrica impressa.

Osservazione sulle trasformazioni di Gauge

Possiamo notare che, dati campi descritti da una coppia di potenziali, 0 0 che non obbediscono alle condizioni di Lorenz, è possibile sfruttare un’adeguata trasformazione di Gauge per ottenere una nuova coppia di potenziali che rispetti le condizioni di Lorenz, trovando l’adeguata funzione scalare Φ.

Dato infatti = + ∇Φ 0

E considerando (∇ ⋅ + ∇Φ� = − − Φ)�0 0

Si ottiene necessariamente 2 2 Φ + Φ = −∇ ⋅ − ∇ 0 0

Applicazioni della forma di Lorenz

La forma ottenuta, ossia l’equazione di Helmholtz applicata ai potenziali di Lorenz, permette di avere particolari vantaggi nella soluzione di problemi legati alla radiazione e alle antenne.

Possiamo definire in questi casi che, in presenza di correnti elettriche impresse (caso A) il campo EM può essere espresso in termini del solo vettore di potenziale magnetico:

Caso B: potenziale elettrico di Lorenz

Consideriamo adesso il caso B, ossia la sola presenza di correnti magnetiche impresse, che possiamo facilmente ottenere mediante le trasformazioni relative alla dualità:

Che ci permettono di ottenere 615. Potenziali eletrodinamici

Attraverso l’applicazione della dualità otteniamo una trasformazione del potenziale vettore magnetico in un potenziale vettore elettrico in, è solenoidale: quanto risulta che il campo

Osserviamo che il potenziale vettore elettrico, come il potenziale scalare del caso precedente, rimane espresso in Volt.

Possiamo osservare che, in alcuni casi, è indicato mediante il simbolo. Da questo punto tutti i procedimenti sono perfettamente speculari, in quanto in funzione di andiamo ad esprimere.

Possiamo osservare che, come nel caso precedente aveva assunto una natura elettrica (in quanto direttamente legata alla corrente), assume una natura magnetica, in quanto direttamente legato a.

Si utilizza quindi la trasformazione duale per ottenere

Si conclude quindi = −∇ ×

Introduciamo a questo punto, in modo perfettamente analogo al caso precedente, un potenziale vettore magnetico che ci permette di esprimere il campo magnetico come = − − ∇

A questo punto possiamo quindi esprimere il legame tra i due potenziali, applicando nuovamente la condizione di Lorenz, per cui otteniamo

Ossia si ottiene che, come nel caso precedente faceva in questo caso, obbedisce all’equazione di Helmholtz non omogenea.

Attraverso questi legami possiamo quindi andare a determinare il campo elettromagnetico in funzione solamente del potenziale vettore elettrico.

Sovrapposizione

Il problema generale dell’elettromagnetismo, ossia il caso in cui e ≠ 0 può essere ottenuto mediante sovrapposizione dei casi A e B, per cui ≠ 0 andiamo a scrivere formalmente 715. Potenziali eletrodinamici

= + � = + 815. Potenziali eletrodinamici

Analisi del campo in strutture guidanti

Vogliamo adesso andare a considerare campi elettromagnetici al di fuori delle grandezze che le generano, ossia in contesti in cui correnti magnetiche e correnti impresse possano essere considerate nulle.

Vogliamo quindi svincolarci dalla conoscenza specifica delle grandezze impresse per analizzare con la massima precisione possibile il comportamento del campo EM nelle strutture guidanti, con valutazioni quantitative.

Strutture a simmetria cilindrica

Analizziamo quindi una generica struttura guidante, avente sezione costante per ipotesi. Supponiamo quindi una simmetria di tipo cilindrico, ossia data da un profilo (che può essere caratterizzato da qualsiasi forma, come circonferenze concentriche, coppie di fili o sezioni rettangolari), che rimane costante lungo tutto l’asse.

Ricordiamo che abbiamo lavorato finora con coordinate cartesiane, sferiche o cilindriche.

Per linee guida cilindriche sarà chiaramente più vantaggiosa la scelta delle coordinate cilindriche.

Per altre strutture a simmetria cilindrica potremo definire appositi sistemi di coordinate, tutti accomunati dal mantenimento di come coordinata, corrispondente alla direzione di 3 propagazione, in cui le coordinate sono scelte, 1 2 appositamente in modo relativo alla sezione.

Decomposizione del Nabla

In queste nuove coordinate possiamo andare a definire nuovamente l’operatore differenziale ottenendo ∇,

Dividiamo questo operatore differenziale in una parte trasversale, ∇ dipendente solamente dalle coordinate trasversali,, ed una parte, 1 2 longitudinale, dipendente solo da ∇ =: 3 116. Analisi del campo in strutture guidan�

Questa divisione dell’operatore differenziale, e in particolare la definizione della parte trasversale, saranno molto utili nella definizione del campo nelle strutture guidate.

Decomposizione del Laplaciano

Possiamo andare ad applicare la stessa decomposizione anche per differenziali di ordini superiori, come nel caso del laplaciano, che andiamo a scomporre definendo anche in questo caso un elemento trasverso, detto 2 Laplaciano trasverso ∇

Il laplaciano trasverso può essere definito anche nei termini delle derivate seconde delle coordinate, 1 2

Potenziali longitudinali in strutture a simmetria cilindrica

La scelta delle coordinate permette di scomporre il campo lungo le 3 coordinate scelte, considerando che la terza componente sarà sempre corrispondente alla componente su.

Otteniamo quindi una scomposizione in 3 componenti reali o complesse a seconda che ci si trovi nel dominio del tempo o della frequenza:

Questa scomposizione è valida per qualsiasi campo, ma vogliamo analizzare una proprietà caratteristica dei campi che soddisfano le equazioni di Maxwell.

Possiamo infatti osservare che la determinazione di queste componenti è particolarmente semplice, e permette una comprensione diretta e completa della propagazione delle onde EM nelle guide d’onda.

La caratterizzazione delle guide d’onda sarà infatti un problema principalmente basato su autovalori e autovettori di possibili configurazioni di campo.

Per la ricerca di ciascuna soluzione, i potenziali vengono derivati risolvendo l’equazione omogenea di Helmholtz.

Un campo elettromagnetico può infatti essere sempre visto come la somma di un campo trasverso elettrico ad una data direzione ed un campo trasverso magnetico alla stessa. In particolare andremo a ricondurci a campi trasversi elettrici e trasversi magnetici rispetto a. 216. Analisi del campo in strutture guidan�

Analizzeremo quindi la scomposizione del campo elettrico in una parte rispetto a e rispetto a.

Andremo di conseguenza ad analizzare potenziali elettrodinamici che abbiano una sola componente assiale.

Campi TM in strutture a SC (SC = simmetria cilindrica)

Vedremo adesso come procedere nell’analisi del campo considerando un potenziale vettore (magnetico e poi elettrico per dualità), composto esclusivamente della componente longitudinale, ossia rivolto interamente verso ( = = =, , ) 0 1 2 0

Perché sia valida, occorre che 2 2 + = −∇

Si vuole determinare l’insieme denso delle soluzioni del problema omogeneo, ossia le soluzioni a 2 2 ∇ + = 0

Stiamo cercando un campo avente una sola direzione di propagazione, ossia stiamo cercando 2 2 ∇ + = 0 � � � � 0 0

In un sistema di coordinate cartesiane si ottiene il laplaciano di una quantità scalare, per cui 2 2 (∇) + = 0 0 0