Appunti di Campi elettromagnetici - parte 2 di 3

Teoremi di unicità e reciprocità

Nelle soluzioni dei problemi elettromagnetici, è necessario avere una serie di condizioni che rendano la soluzione unica. Una volta ottenute le soluzioni analitiche e numeriche di un dato problema, è infatti necessario essere certi che le soluzioni ottenute siano soluzioni uniche.

Ci chiediamo quali sono le condizioni che ci assicurano, dato un sistema basato sulle equazioni di Maxwell, e su una serie di altri dati, che la soluzione sia unica.

Andiamo adesso ad analizzare queste condizioni, che andranno ad imporsi in particolare sul campo delle condizioni a contorno. Si tratterà di condizioni non necessarie, ma sufficienti, e che quindi se presenti ci garantiranno l’unicità della soluzione.

Teorema di unicità nel dominio del tempo

Quando risulta necessario determinare un campo elettromagnetico in un volume lineare, stazionario e temporalmente non dispersivo (generalmente una dimensione finita dello spazio racchiusa da una superficie si avrà che), la soluzione del campo elettromagnetico, per qualsiasi istante, con > 0 fissato per le condizioni a contorno, il campo elettromagnetico ricavato 0 sarà unico se sono rispettate le seguenti condizioni:

• Il campo ottenuto deve essere soluzione delle equazioni di Maxwell e delle relazioni costitutive del mezzo.
• Per arbitrario, sarà necessario conoscere punto per punto la = 0 struttura del campo nell’intero volume (occorre quindi una fotografia completa del campo all’istante iniziale).
• Per tutti i tempi in cui ci si vuole garantire una soluzione unica, occorrerà conoscere il componente tangenziale del campo elettrico o il componente tangenziale del campo magnetico sulla superficie che delimita il volume per cui vogliamo conoscere il campo elettromagnetico (vera e propria condizione a contorno).

Questa 3° informazione ci indica quindi che non è dato sapere cosa accade nel nostro volume senza conoscere come il volume si rapporta con il mondo esterno, che condensiamo nella descrizione del campo sulla superficie.

Questo teorema si dimostra mediante dimostrazione per assurdo.

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Teorema dell’unicità nel dominio della frequenza

Nel dominio della frequenza possiamo assumere di aver a che fare con mezzi temporalmente dispersivi, ossia che verifichino almeno una delle seguenti caratteristiche ′′ ′′≠ 0 ≠ 0 ≠ 0.

La formulazione, essendo nel dominio della frequenza, non comprende il secondo punto della definizione nel dominio del tempo, in quanto assumiamo di trovarci in regime armonico.

Si ha quindi che nel dominio della frequenza è possibile risalire ad un campo elettromagnetico unico a patto che:

• Questo sia una valida soluzione delle equazioni di Maxwell e delle relazioni costitutive del mezzo.
• Il campo magnetico o il campo elettrico tangenziale al contorno sia assegnato.

Dimostrazione

La dimostrazione può essere svolta per assurdo, ammettendo che, verificate queste ipotesi, esistano due campi elettromagnetici validi.

Questi due campi devono soddisfare le equazioni di Maxwell e equazioni costitutive del mezzo. Il soddisfacimento del teorema di Poynting, che deve essere verificato, ci risulterà particolarmente utile.

′ ′′ Assumiamo per assurdo di avere quindi due soluzioni ed distinte per ipotesi, per cui definendo il campo differenza di avrà ′ ′′ = − (considerando che gli stessi procedimenti valgono, a seconda delle ′ ′′ ′ ′′ ′ ′′ ′ ′′ condizioni di non idealità, anche per , , , ), , , , . Consideriamo che le sorgenti dei campi devono essere le stesse, per cui e devono essere le stesse per i due campi.

In virtù della linearità si otterrà, per sottrazione tra i due sistemi,

29. Teoremi di unicità e reciprocità

Per cui andranno a scomparire le grandezze impresse in entrambe le equazioni.

Esprimendo tutto in funzione dei campi differenza, otterremo delle equazioni del tutto prive di grandezze impresse, ossia delle equazioni omogenee.

Procediamo ad assumere per assurdo che questo campo sia non nullo, per cui andiamo a scrivere la formulazione del teorema di Poynting del campo differenza nel dominio della frequenza.

Si ottiene quindi un bilancio globale tra potenze accumulate e irradiate.

Andiamo a questo punto a sfruttare la condizione 2, che ci indica che per l’unicità della soluzione devono essere assegnati il campo elettrico tangenziale o il campo magnetico tangenziale sulla superficie (anche in frazioni differenti sulla superficie, ma purché si abbia la conoscenza di almeno uno dei 2 sull’intera superficie).

Ci riferiamo alla parte elettrica (con considerazioni che varranno anche per la parte magnetica).

Sappiamo che la componente tangenziale del campo elettrico (così come quella del campo magnetico) può essere descritta come = × × E che, essendo le componenti tangenziali imposte per ipotesi, sappiamo che ′ ′′ = Questa condizione vale al contorno, per cui vale anche ′′′ ′ ′′ = × × = × × = ′′ ′.

Essendo e entrambi perpendicolari a si ha che vale × × l’uguaglianza ′ ′′ × = × Da cui si ricava ′ ′′ = × − × = 0 �� In modo analogo, se avessimo assegnato il componente tangenziale del campo magnetico avremmo ottenuto × = 0.

39. Teoremi di unicità e reciprocità

Possiamo quindi andare a calcolare il flusso del vettore di Poynting assegnando il campo elettrico.

O assegnando il campo magnetico.

Ottenendo in ogni caso.

Da cui si ottiene quindi che, per il calcolo precedente del teorema di Poynting.

Mezzo non dispersivo, con arbitrariamente piccola ≠

Assumiamo un mezzo non dispersivo, ossia trascuriamo tutte le relazioni di memoria, e consideriamo , , ∈ ℝ.

Ed ammettiamo di avere una molto piccola ma comunque per cui ≠ 0, assumiamo la presenza di una piccola corrente di conduzione.

Consideriamo quindi che, se il mezzo è isotropo, avremmo 3 semplici parametri, mentre per un mezzo anisotropo abbiamo matrici a coefficienti reali, che darebbero lo stesso risultato.

Se pensiamo ad un mezzo isotropo, si ha che per cui e , ∈ ℝ, sono puramente immaginari, per cui data l’equazione.

Dividiamo in parte reale e parte immaginaria.

Per la parte reale, a condizione che si ha che ≠ 0.

49. Teoremi di unicità e reciprocità

Ossia si ottiene una soluzione valida solamente se il campo differenza è identicamente nullo in tutto ossia se, ′ ′′ =

Occorre andare a risolvere anche la seconda relazione, relativa alla parte immaginaria ∗.

Anche l’integrale di deve essere nullo. Abbiamo infatti la somma di ⋅ due forme quadratiche definite positive, di cui una sappiamo avere risultato nullo per la considerazione precedente, per cui ricaviamo sostanzialmente che anche il campo differenza deve essere nullo, ossia ′ ′′ =

Le condizioni di non dispersione sono tali da rendere le matrici completamente reali e si ottengono matrici simmetriche ed hermitiane. Questo vale in generale per mezzi temporalmente non dispersivi.

La stessa conclusione può quindi essere ritenuta valida anche per mezzi anisotropi, a condizione che siano temporalmente non dispersivi.

Mezzo non dissipativo =

Se in partenza avessimo considerato un mezzo non dissipativo non( = 0), avremmo potuto esprimere ′ ′′ =

In quanto avremmo avuto un’eliminazione dell’equazione che ci fornisce questo risultato.

Dalla seconda equazione avremmo quindi ricavato che è sufficiente avere 11 ∗ ∗ ⋅ = ⋅ 44E

E non è quindi necessario annullare il campo, ma solamente legare i due campi in questo modo per verificare le condizioni.

Osserveremo che esistono dei casi in cui due energie, una di tipo elettrico ed una di tipo magnetico si legano in questo modo, come nel caso della risonanza, che abbiamo osservato tra induttanza e condensatore.

Nel caso fisico possono essere presenti più frequenze di risonanza, che indicano differenti soluzioni allo stesso problema.

Da un punto di vista numerico sarà sufficiente inserire un valore di piccolo a piacere, per ritornare all’unicità della soluzione.

Questo sarà generalmente un artificio numerico, che permetterà di ottenere la soluzione al limite per → 0.

Nel vuoto, e in assenza di sorgenti, possiamo quindi trovare comunque dei campi, che saranno legati tra di loro dalle condizioni di risonanza, e saranno per questo detti campi risonanti.

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Mezzo dissipativo e dispersivo

Andiamo a questo punto a porci in una condizione più realistica, in quanto in ogni mezzo che non sia il vuoto si osservano comportamenti dissipativi o dispersivi.

Il teorema di unicità vale tutte le volte che si considerano mezzi temporalmente dispersivi, in cui sia verificata una delle seguenti condizioni ′′′′ ≠ 0, ≠ 0, ≠ 0.

Poniamoci nel caso in cui il mezzo sia isotropico.

Dal teorema di Poynting facciamo il bilancio delle potenze reali (attive) e immaginarie.

Da cui.

Nella seconda equazione non otterremo più forme quadratiche definite positive, mentre nella prima equazione otterremo sempre (per la definizione data) almeno un componente non nullo che permette, per la parte reale, di definire che si tratta di forme quadratiche definite positive.

Sul bilancio delle potenze reattive sono presenti i contributi legati a ′ ′ e , che ci impongono in generale l’annullamento del campo. ,

Analizzando queste forme otteniamo quindi l’annullamento sia del campo , sia del campo .

Il vantaggio di passare attraverso il dominio della frequenza è quindi la validità garantita nel caso di mezzi temporalmente dispersivi, che non è presente se si lavora nel dominio del tempo, in cui il teorema di unicità ha come requisito la non dispersività.

Condizioni di validità sostitutive

Condizione di impedenza

È possibile, in alcune condizioni, eliminare la seconda condizione, aggiungendo la condizione di impedenza.

69. Teoremi di unicità e reciprocità

L’impedenza caratteristica di un mezzo è una sua caratteristica definita come = � Possono esistere materiali con questo valore fissato, ed altri in cui questo risulta comunque calcolabile.

Consideriamo un conduttore elettrico perfetto, in cui In questo → +∞. caso si scrive = = � → 0� →+∞ + −

In buoni conduttori, in cui potremo indicare ≫ , 1 (1 + )�≈ �� = √2

Possiamo andare, dopo queste considerazioni, ad indicare che non sarà necessario conoscere il campo tangenziale sulla superficie, ma sarà sufficiente una condizione (forte ed indipendente dagli avvenimenti esterni e interni) che leghi il campo magnetico ed il campo elettrico tangenziali, nota come condizione di impedenza = × �� Con ) > 0.

(Nel caso di un buon conduttore, come abbiamo analizzato, otteniamo quindi che questa condizione è sempre valida.

Possiamo dimostrare, ma non lo faremo, che questa condizione permette quindi di sostituire la condizione 2, imponendo un vincolo tra le due parti tangenziali dei campi, che ci garantisca l’unicità.

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Estensione della dualità al magnetismo

Ci chiediamo a questo punto se, per la dualità, possa esistere un materiale avente caratteristiche in grado di annullare la componente tangenziale del campo magnetico. Questo non esiste, ma è possibile avvicinarsi. × = × × �� Da cui si ottiene 1 = × � � Per cui per un conduttore magnetico perfetto, dovremmo avere un materiale caratterizzato da un valore estremamente elevato di , che richiederà un valore oppure ≫ 1, → 0.

Condizione di radiazione

Se consideriamo un volume sferico, e facciamo tendere il raggio → +∞, otteniamo una condizione di radiazione, che ci indica che, tutte le volte che abbiamo la possibilità di racchiudere le sorgenti ed i generatori in una sfera di raggio finito, la valutazione esterna del campo per dovrà → +∞ presentare la seguente condizione.

Dove con si intende l’impedenza intrinseca del mezzo . Di fatto, nel calcolo di si sta effettivamente considerando una × 0 componente sul piano tangente.

Si otterrà che il valore tra parentesi tenderà a zero più in fretta di quanto tenda all’infinito.

Questo ci indica quindi un vincolo forte per il comportamento del campo elettrico a grandi distanze.

Condizione di validità è che il campo elettrico sia diretto in modo analogo alla componente tangenziale del campo magnetico.

Si ha quindi che, per mantenere questa validità, occorre che lim < ∞��→+∞ 1

Ossia che il campo elettrico decresca almeno con Questa condizione è più potente della condizione di base, in quanto mantiene la sua validità anche nel vuoto.

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Teorema della reciprocità

Si tratta di un teorema importante, ma meno importante di quello appena enunciato.

Si tratta di un teorema che avrà applicazioni pratiche in antenne e in microonde, ma che qui tratteremo brevemente.

Nei circuiti, abbiamo già parlato di circuiti reciproci, considerando che, data una rete lineare, possiamo generalmente collocare in essa un generatore di tensione ed un amperometro per misurare la corrente in un punto. Andando ad invertire la posizione del generatore e dell’amperometro, otterremo la stessa misura di correnti, in quanto per la simmetria dei sistema l’uscita non sarà alterata dal cambio reciproco del generatore.

Questa proprietà elettrica ha una sua controparte magnetica.

Al di là di questo possiamo dire quindi che esiste una formulazione analoga nell’elettromagnetismo, che ci permette di scambiare la posizione di un generatore di campo elettromagnetico ed il punto in cui tale campo viene misurato.

Questo teorema ha una sua formulazione, che non è richiesto conoscere, che ci aiuta a raggiungere alcune proprietà sulla reciprocità dei campi.

Occorre considerare che dal punto di vista elettromagnetico, il teorema di reciprocità ci permette di anticipare funzionalità di alcuni dispositivi.

Se consideriamo un filtro, tale da limitare in uscita la banda del segnale in ingresso, questo filtro godrà generalmente della reciprocità.

Esisteranno situazioni in cui la reciprocità andrà evitata, e questo richiederà l’utilizzo di particolari materiali detti materiali non reciproci, come quelli basati sulle ferriti magnetizzate, che permettono di ottenere una serie di comportamenti non reciproci in alcuni dispositivi.

Salvo avviso contrario supporremo in ogni caso valido il principio di reciprocità ed il relativo teorema.

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Principi di equivalenza delle onde elettromagnetiche

Consideriamo la possibilità, per determinare la soluzione di un problema, di sostituire le grandezze impresse originali con un sistema alternativo di grandezze impresse equivalenti.

Metodo delle immagini e principio di H-F

Principio di Huygens Fresnel

Un esempio dell’applicazione è