Appunti di Campi elettromagnetici - parte 1 di 3

Rappresentazioni del campo

Introduzione

I fenomeni elettromagnetici di nostro interesse sono in gran parte descrivibili attraverso il concetto di campo.

Esistono tuttavia molte definizioni di campo differenti, in base alla disciplina di studio in cui ci si colloca. Ovviamente siamo interessati alla definizione fisica/elettromagnetica.

Nella trattazione iniziale applicheremo il principio KISS (Keep It Simple, Stupid), con l’intento di semplificare le cose (per quanto possibile).

Definizioni e tipologie di campi

Si definisce campo una regione di spazio in cui è definita una quantità fisica e, per estensione, il campo viene definito come la quantità stessa.

A caratterizzare il campo è quindi l’essere funzione di un punto specifico, detto di posizione o di osservazione.

La regione interessata da un campo può essere limitata o non limitata, e può essere tridimensionale, ma anche bidimensionale o monodimensionale.

Nella prospettiva di analizzare i fenomeni elettromagnetici legati ai campi, osserveremo che avremo a che fare con differenti classi di campi:

• Campi scalari

Definito da una funzione di punto i cui valori sono scalari. Un esempio di campo scalare è il campo delle temperature in un certo ambiente, o il potenziale elettrico ().

Un campo scalare è indicato generalmente con una lettera dell’alfabeto latino o greco, funzione di un punto di osservazione, indicato con una lettera stampata maiuscola (spesso in italic)() () () ()

• Campi vettoriali

Sono dati dalle quantità fisiche rappresentabili attraverso un vettore, ossia da una terna di scalari. Il vettore viene generalmente ⃗ ̅rappresentato con , oppure con , ma noi utilizzeremo la notazione Notazione alternativa sui libri di testo è anche. . ed il

Tipici esempi di campi vettoriali sono il campo elettrico campo di induzione magnetica

• Campi tensoriali

Un tensore è un elemento descritto da 9 quantità diverse, e può quindi 11. Rappresentazioni del campo essere rappresentato da una matrice 3 × 3. Osserveremo in seguito le caratteristiche dei campi tensoriali e le modalità di rappresentazione.

In inglese, un tensore è anche detto ‘diade’, per cui i campi tensoriali sono anche detti ‘diadici’.

Nella notazione che utilizzeremo, i tensori sono indicati da una doppia sottolineatura o da un grassetto sottolineato, .

Sistemi di coordinate

Il punto di osservazione viene identificato utilizzando dele coordinate cartesiane, (indice, medio, pollice sulla destra),, , che sono coordinate ortogonali destre.

A seconda delle differenze simmetrie, può essere conveniente utilizzare differenti sistemi di coordinate come le coordinate cilindriche e sferiche.

Nel caso di un campo vettoriale, possiamo quindi descrivere il valore del campo nel punto sia in funzione delle coordinate =(, , ), () sia in funzione del raggio vettore che indica la posizione di(, , ), , rispetto all’origine. () = (, , ) = ��

Vettori

Un vettore è una quantità che, nello spazio euclideo tridimensionale, è definita in termini di ampiezza, direzione e verso. Questo può essere rappresentato come un segmento orientato la cui lunghezza risulta proporzionale al modulo del vettore secondo un coefficiente definito a priori.

Quando parliamo di ampiezza (modulo) di un vettore, indichiamo il valore oppure come scalare corrispondente come .��

Versori

In generale, definiamo versore un vettore di lunghezza unitaria, che può essere indicato con un accento circonflesso, ad identificare il versore relativo al vettore �: .

Questo può essere indicato anche con il simbolo 0. L’unica eccezione si ha nel caso del vettore normale per cui è possibile, omettere lo zero. 21. Rappresentazioni del campo

I versori degli assi cartesiani saranno indicati come , , 0 0 0.

Per un sistema di riferimento arbitrario, del tipo avente coordinate i corrispondenti versori possono essere rappresentati in due),( , , 1 2 3 modi alternativi , , 10 20 30 , , 10 20 30

È inoltre ammessa anche la lettera a indicare “unit vector”.,

Espressione di vettori come componenti

Identificato il versore corrispondente, sarà sempre possibile esprimere ogni vettore con il prodotto tra il suo modulo ed il suo versore = 0

Un vettore può inoltre essere descritto attraverso una componente arbitraria orientata rispetto al vettore (descritto dal suo versore)0 cos = cos = ��

Dalla componente del vettore si indica anche il corrispondente componente= 0

Dato un vettore è possibile esprimere tale vettore come somma di vettori relativi alle coordinate cartesiane= + + 0 0 0

E lo stesso vale per le componenti di sistemi arbitrari, per cui esiste anche una formula di espressione generica.= � 0

Operazioni tra vettori

Operazioni tra 2 vettori

Prodotto scalare

Dati due vettori e si definisce il prodotto scalare tra i due come cos ⋅ = ����

Se si identifica un sistema di coordinate cartesiane (e non), si può esprimere il prodotto scalare come ⋅ = + + E nel caso di coordinate arbitrarie ⋅ = �

Il prodotto di due vettori ortogonali è nullo. 31. Rappresentazioni del campo

Il prodotto scalare gode di proprietà commutativa.

Prodotto vettoriale

Il prodotto vettoriale tra due vettori è indicato questo da come risultato un vettore il come × . cui verso può essere trovato con la regola della mano destra, e il cui modulo è dato da sin= × ��

Con angolo compreso tra i due, come nel caso del prodotto scalare.

Il prodotto vettore non gode della proprietà commutativa. Si ha infatti che × = − ×

Il prodotto vettoriale viene calcolato mediate lo sviluppo di un determinante di una matrice 3 × 3 0 0 0 × = �� ( )+ + − − − = � � � �0 0 0

Operazioni tra 3 vettori

Possiamo andare ad identificare due prodotti caratteristici che comprendono 3 vettori.

Prodotto misto (dot cross)

Il primo dei due prodotti tra 3 vettori è il cosiddetto prodotto misto, o prodotto “dot cross”, che moltiplica 3 vettori come segue ⋅ ×

Da questo prodotto si ottiene come risultato uno scalare, ed è chiaro che il prodotto vettoriale debba essere svolto per primo, in quanto svolgere per primo il prodotto scalare implicherebbe l’impossibilità di procedere.

Il risultato di questo prodotto può essere semplificato a livello algebrico con lo sviluppo di un determinante 3 × 3 ⋅ × = ��

A livello geometrico, il risultato può essere interpretato come il volume del parallelepipedo formato dai 3 vettori e dai loro paralleli.

Il prodotto misto gode inoltre di una proprietà che utilizzeremo molto spesso, nota come proprietà ciclica ⋅ × = ⋅ × = ⋅ ×

Per la proprietà commutativa del prodotto scalare si scrive inoltre che ⋅ × = × ⋅ = ⋅ × 41. Rappresentazioni del campo

Doppio prodotto vettoriale (cross cross)

Questo prodotto tra 3 vettori richiede, a differenza del caso precedente, l’utilizzo delle parentesi per eliminare le ambiguità × × ��

Il doppio prodotto vettoriale, a differenza del prodotto misto, non gode della proprietà commutativa, ma gode della cosiddetta proprietà “bac meno cab” = � − � × × � ⋅ � ⋅ ��

Rappresentazioni di campi vettoriali e scalari

Andiamo adesso ad analizzare le rappresentazioni visive che possono avere i campi vettoriali e scalari.

Ricordiamo innanzitutto che, dato un sistema di coordinate cartesiane, il che indica un generico punto di osservazione può essere raggio vettore espresso in funzione dei versori degli assi = + + 0 0 0

Rappresentazione di campi scalari

Una generica rappresentazione dei campi scalari è utilizzare delle superfici che vadano a rappresentare (considerando un riferimento bidimensionale) le superfici su cui si trovano uguali valori del campo, distinguendo le superfici a diversi valori utilizzando linee o direttamente colori, come nel caso di grafici termici di una superficie.

In questo caso si parla generalmente della rappresentazione di superfici iso-livello.

Rappresentazione di campi vettoriali

Nettamente più importanti sono i campi vettoriali, che possono essere rappresentati, in linea generale, ponendo nei punti dello spazio una serie di vettori, di cui ognuno rappresenta la grandezza vettoriale (il campo) in punti diversi (non eccessivamente vicini per evitare sovrapposizione).

Più spesso si preferisce tuttavia andare a disegnare le cosiddette linee di campo, che ci permettono di dedurre il campo vettoriale non in maniera diretta, ma attraverso un passaggio ulteriore. Questo passaggio aggiunto consiste nel, data una linea di campo, prendere il vettore tangente alla linea nel 51. Rappresentazioni del campo punto di interesse. Questo implica tuttavia una perdita della cognizione del valore di tale vettore (trovato tracciando la tangente).

A questo problema pone una soluzione Faraday, che ha stabilito che la densità delle linee di campo fosse utilizzata come metro per valutare qualitativamente l’intensità del campo in ogni punto.

Campi irrotazionali e solenoidali

Campi irrotazionali

Possiamo andare a rappresentare il campo elettrico attorno ad una singola carica elettrostatica, nello spazio libero. Le linee di flusso generate dalla carica si irradieranno in linea retta in tutte le direzioni, direttamente dalla carica.

Queste linee hanno la proprietà di non ruotare mai su loro stesse, per cui si definiscono irrotazionali (o lamellari in inglese) i campi di questo tipo.

Anche il campo di un dipolo elettrostatico è di natura irrotazionale, in quanto le linee di forza non tornano mai indietro, né si toccano, ma curvano solamente da una particella del dipolo all’altra.

Sorgenti e pozzi

Per descrivere un campo irrotazionale è necessario conoscere le sorgenti del campo, ossia i punti dove il campo inizia e finisce. Talvolta si parla di sorgenti positive quando le linee di campo fuoriescono da esse, e sorgenti negative (o pozzi) nel caso opposto.

Le sorgenti appartengono alla classe più ampia delle origini, definite come le cause che danno origine al campo.

I campi irrotazionali sono dei campi conservativi ossia, qualsiasi percorso scelto per passare dal punto A al punto B, l’integrale di linea del passaggio da A a B avrà lo stesso valore.

Campi solenoidali

Accanto a questa configurazione di campi ne esiste una completamente diversa, in cui le linee sono tutte chiuse su loro stesse, ossia non hanno né inizio né fine.

Un campo avente queste caratteristiche ha una natura completamente diversa da quella del precedente: le linee, chiuse su loro stesse, danno luogo ad un campo 61. Rappresentazioni del campo detto solenoidale, in quanto questo tipo di linee chiuse viene riscontrato tipicamente in un solenoide.

Vortici

Un campo del genere viene descritto per punti nevralgici, ossia andando a considerare il punto attorno a cui “vorticano” le linee di campo. Proprio per questa natura, questo punto viene definito vortice.

L’unione di vortici e sorgenti forma l’interezza delle origini dei campi.

Conoscendo sorgenti e vortici, sarà possibile disegnare ogni tipo di linee di campo.

Divisione di campi

Osserveremo che un campo vettoriale potrà, dal punto di vista matematico, essere sempre scomposto, e trasformato nella somma di due campi vettoriali, uno lamellare (irrotazionale), e l’altro solenoidale: �� = + �� �� 71. Rappresentazioni del campo

Proprietà differenziali dei campi

Per proprietà differenziali dei campi, si intende proprietà relative alle variazioni dei campi su spazi molto ridotti.

I campi di natura vettoriale si distinguono nelle due categorie fondamentali (rotazionale e solenoidale) in base alla tipologia dell’origine del campo (rispettivamente se si tratta di sorgenti o vortici). Differenti origini implicano differenti proprietà del campo e delle linee, valide anche nelle variazioni spaziali. Andremo ad osservare come, proprio per questa differenza di caratteristiche, ai due tipi di campi si assoceranno diverse operazioni differenziali.

Operatore Nabla

Intendiamo ora andare a caratterizzare le proprietà differenziali dei campi rispetto allo spazio. Per definire queste proprietà utilizzeremo l’operatore ‘del’ differenziale lineare (di natura vettoriale) Nabla anche detto .∇,

Andiamo ad analizzare l’espressione del Nabla, quando questo viene utilizzato in un sistema di coordinate cartesiane rettangolari. ] [… ] [… ] [… ] ∇[… = + + 0 0 0

Al posto dei si inseriscono le informazioni del punto su cui si sta … operando, nelle date coordinate cartesiane.

Può risultare utile definire una quantità di questo tipo, in quanto questa permette un’espressione sintetica delle operazioni che già conosciamo.

Applicazioni di nei campi scalari

Gradiente

Se si considera una funzione che identifica un campo di natura Φ(, , ), scalare, possiamo identificare, partendo da una nuova espressione del ∇, gradiente: Φ Φ Φ|Φ(, , )| = + + = ∇Φ0 0 0

La natura vettoriale di questa proprietà è determinata dal stesso ∇

Applicazioni di nei campi vettoriali

Divergenza

Sul campo vettoriale troviamo due importanti operazioni di natura differenziale. Se consideriamo un campo vettoriale possiamo(, , ), identificare innanzitutto la divergenza, che fornisce come risultato un campo scalare , )� =�(, + + = ∇ ⋅

Si identifica quindi la divergenza come il campo scalare ottenuto derivando le tre componenti cartesiane del campo in funzione dell’asse a cui queste sono relative.

I risultati della derivazione dipenderanno comunque, almeno in generale, ognuno da per cui conviene indicare, per chiarezza, , , (,(, (,, ) , ) , ) �(, , )� = + + = ∇ ⋅

Rotore

Nella stessa maniera possiamo andare ad analizzare il rotore del campo vettoriale 0 0 0 � �(, , )� = = ∇ × � � �