Appunti completi lezioni di Meccanica applicata alle macchine - Parte 2

POLITECNICO DI MILANO

Autore

Andrea Viale

Ingegneria Meccanica

Corso di Laurea: 2025/2026

Anno Accademico:

II

Semestre: Meccanica Applicata alle Macchine

Insegnamento: 054828

Codice Insegnamento:

10

Numero di CFU:

Collina Andrea

Professore: Fondamenti di meccanica teorica ed applicata (McGraw Hill)

Libro di testo (di riferimento):

Descrizione:

Il seguente file è interamente basato sulle lezioni frontali del corso ed integrato tramite il libro di

testo di riferimento, indicato dal professore. Sono inoltre presenti alcuni approfondimenti

riguardanti gli argomenti più complessi e delicati, all’interno degli stessi paragrafi, oppure a parte.

Cosa include il seguente file:

Lezioni teoriche sulle applicazioni della meccanica applicata alle macchine

DALLA 14 ALLA 24

Documento redatto a scopo di studio personale. È severamente vietata la riproduzione, la condivisione e la rivendita non

autorizzata a terzi. Questo materiale non sostituisce lo studio sui testi ufficiali o la frequenza alle lezioni.

Programma del corso:

Cinematica e dinamica dei sistemi di corpi rigidi nel piano con elementi di meccanica analitica.

Forze scambiate tra solidi, attriti, resistenze di rotolamento. Forze di interazione fluido-solido, forze

aerodinamiche, cenni sulla lubrificazione idrostatica e idrodinamica. Dinamica della macchina a un

grado di libertà, curve caratteristiche del motore e dell'utilizzatore, la trasmissione, moto a regime,

in transitorio e in regime periodico. Organi delle macchine per la trasmissione e la trasformazione

del moto. Trasmissioni a ingranaggi: rotismi ordinari ed epicicloidali. Trasmissioni flessibili: cinghie,

catene. Vibrazioni meccaniche di sistemi ad un grado di libertà ed applicazioni.

versione “MARKED”

La parte relativa alle lezioni è in ovvero la versione evidenziata e commentata,

ideale per un ripasso veloce in quanto consente di identificare immediatamente, a livello visivo, gli

elementi più importanti (formule, definizioni, concetÝ, …); oppure per studiare avendo già in mente

quali sono le cose più importanti da sapere ed a cui fare maggiore attenzione

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Nota dell’autore:

Grazie per il tuo acquisto!

“

Grazie di cuore per l'acquisto e per la fiducia che mi hai dimostrato! Ho dedicato molto tempo e

cura alla stesura di questo documento; spero vivamente che queste dispense ti siano utili per

alleggerire lo studio, comprendere al meglio la materia e per superare l'esame con successo.

Se ti sei trovato bene e reputi questo materiale di qualità, ti chiedo un piccolo favore: parlane con i

tuoi amici qualora dovessero aver bisogno di appunti chiari e afÏdabili su cui prepararsi. Il

passaparola è il supporto più prezioso che tu possa darmi: il ricavato di queste vendite, infatÝ, è ciò

che mi permette di continuare questa atÝvità, dedicando tempo e risorse alla stesura, alla

revisione e alla pubblicazione di nuove dispense per i prossimi corsi.

Un grande in bocca al lupo per il tuo esame e per il proseguimento dei tuoi studi! ”

Andrea

Altre mie pubblicazioni:

- Dispense di Costruzione di Macchine (lezioni, esercitazioni e riassunti)

- Dispense di Fisica Tecnica (lezioni, esercitazioni e riassunti)

- Dispense di Principi di Ingegneria Elettrica (lezioni, esercitazioni e riassunti)

- Dispense di Statistica (lezioni, esercitazioni e riassunti)

- Dispense di Meccanica dei Fluidi (lezioni, esercitazioni e riassunti)

- Dispense di Tecnologia Meccanica (lezioni, esercitazioni e mappe mentali)

Elenco aggiornato a Luglio 2026 "Non c’è vento favorevole per il marinaio che non sa dove andare."

Lucio Anneo Seneca

—

MECCANICA MACCHINE Lezione 14

Lezione 14

Studio del transitorio di avviamento coppia motrice,

Come visto la scorsa lezione, è possibile esprimere la in funzione della

velocità di rotazione, come

( ) = (1 − )

0 0

Ricordando che =

= const

angolare motrice

Inoltre, l’accelerazione è

−

̇ =

2

+

Che, raggruppando il denominatore in un termine equivalente e sostituendo l’espressione della

coppia motrice precedentemente vista, si può riscrivere come

−

0 0

2

= + ⇒

̇ = = − −

0

differenziale del prim’ordine

Da cui è possibile osservare come si tratti di un’equazione

⏞

⏞ −

0

0

̇ + = ⇒

̇ + =

0 (＞﹏＜) è possibile risolvere tale tipologia di equazione come

Come visto nel corso di Analisi 2

somma dell’integrale generale dell’omogenea associata ed una soluzione particolare

() = () +

, generale particolare

Integrale particolare

1. velocità di regime,

La soluzione particolare rappresenta la raggiunta al termine del transi­

torio = = const ⇒

̇ = 0

part part

Sostituendo nell’equazione si ricava che

−

0

0

0 + = ⇒ = = = = (1 − )

part part 0

0

0

24­04­2026 1

MECCANICA MACCHINE Lezione 14

Infatti

= = (1 − ) ⇒ 1− = ⇒ =1−

0

0 0 0 0 0

Da cui

= (1 − )=

0

0

Integrale generale

2.

La soluzione dell’omogenea avrà la seguente forma

() =

̇ () =

,0 ,0

Sostituiamo nell’equazione omogenea si ha che

̇ + = ⇒ + = 0

−

= =

con e

0 0

0 caratteristica

E si ricava quindi l’equazione

( + ) = 0 ⇒ +=0

Analisi dimensionale di −2

(kg m s ) m

N m

0 −1

= ⇒ = = s

2 −1

2 −1

kg m rad s

kg m rad s

0

Quindi il termine deve necessariamente risultare

1

=− 0

di tempo”

Con detta “costante e misurata in secondi

0

Applicazione delle condizioni iniziali

Data la seguente forma della soluzione −/

() = +

0

Supponendo che la condizione iniziale sia di motore fermo, per cui si sta avviando il motore

fermo per portarlo a regime, allora ( = 0) = 0

Applichiamo quindi tale condizione iniziale, appena individuata, per ricavare la costante

0= ⋅1+ ⇒ =−

24­04­2026 2

MECCANICA MACCHINE Lezione 14

Soluzione

Siamo ora in grado di scrivere la soluzione dell’integrale generale, che è

−/

() = (1 − )

0

Mentre l’accelerazione angolare risulta 1

−/ −/

̇ () = [− (− )] =

0 0

0

0

costante di tempo

Con

=

0 0

0

La costante di tempo rappresenta il tempo caratteristico del sistema, che scandisce la durata

del transitorio. In altre parole, essa indica la velocità di risposta (o l’inerzia) del un sistema

e quindi quanto tempo esso impiega per ritrovare un nuovo stato

rispetto ad una sollecitazione,

di equilibrio

24­04­2026 3

MECCANICA MACCHINE Lezione 14

Calcolo del rendimento di una trasmissione vite-madrevite

Trasmissione vite-madrevite

trasmissione vite-madrevite

Il sistema di è un meccanismo atto a trasformare un moto

rotatorio in un moto traslatorio rettilineo o viceversa. Esso si basa sull’accoppiamento cinema­

tico di due elementi:

vite,

1. La caratterizzata da un profilo elicoidale esterno.

madrevite,

2. La dotata di un profilo elicoidale interno complementare.

In base a come viene gestito il contatto tra i due elementi il sistema si può poi differenziare in:

Vite a strisciamento: il contatto tra le superfici avviene generalmente con strisciamento,

• implicando l’insorgenza di azioni d’attrito che influenzano negativamente il rendimento del

sistema (tipicamente basso)

Vite a ricircolo di sfere:

• tra i profili della vite e della madrevite sono interposte delle sfere

d’acciaio, il contatto diventa quindi di rotolamento. Vengono così drasticamente ridotte le

perdite per attrito, portando il rendimento a valori molto più elevati

Dato un sistema vite madrevite, definendo le seguenti grandezze:

• angolo d’elica

• passo

• diametro medio

velocità di traslazione della madrevite

La corrisponde alla velocità di trascinamento del

sistema di riferimento traslante e risulta

1 1

TR AS

= = tan ⇒ = tan

2 2 2

Tuttavia a livello geometrico è possibile ricavare che

⇒ = = ⇒ =

tan = 2 2

2 2

2

24­04­2026 4

MECCANICA MACCHINE Lezione 14

Ipotesi: quindi non sono presenti inerzie

• Condizione di regime | | = | |

• La forza di attrito è proporzionale alla forza normale con indipendente dalla

forza agente

Calcolo del rendimento diretto

Nel caso di moto diretto il sistema riceve potenza dalla rotazione motrice e la trasferisce in un

(movente) alla madrevite (cedente);

moto di traslazione, il flusso di potenza va quindi dalla vite

diretto

per questo si dice

Velocità della vite Velocità della madrevite (o “chiocciola”)

= tan

2 1

=

1 2

rendimento

È possibile esprimere il come

|Π |

0 2

= =

D Π

1

• Equilibrio forze verticali sul corpo 2

− + cos − sin = 0

• Equilibrio forze orizzontali sul corpo 1

− sin − cos = 0

Quindi il rendimento risulta

cos − sin

(cos − sin ) tan 1

2 1

= = =

D 1

sin + cos

(sin + cos )

1

1 tan

cos

Dividendo numeratore e denominatore per è possibile riscriverlo come

sin

1 − 1 − tan

1

cos =

=

D sin 1

+ 1 +

cos tan tan

rendimento diretto

Il è dunque 1 − tan

=

D

1+

tan

24­04­2026 5

MECCANICA MACCHINE Lezione 14

Calcolo del rendimento retrogrado

In questo caso il moto è inverso: l’azione assiale di traslazione forza l’elemento rotante a muo­

(movente)

versi contro un momento resistente. Il flusso di potenza va quindi dalla madrevite

inverso

alla vite (cedente); per questo si dice

Come prima = tan

2 1

rendimento

In questo caso il si esprime come

|Π | 1

=

=

R

Π 2

• Equilibrio forze orizzontali corpo 1

− + sin − cos = 0

corpo 2

• Equilibrio forze verticali − cos − sin = 0

Allora il rendimento risulta

(sin − cos ) (sin − cos )

1 1

= =

R

(cos + sin ) tan (cos + sin ) tan

1 1

sin

E dividendo numeratore e denominatore per si può riscrivere come

cos 1 −

1 −

tan

sin =

=

R cos 1 + tan

( + ) tan

sin

rendimento retrogrado

Il è dunque

1 −

tan

=

R 1 + tan

45° >

È possibile dimostrare (fallo) che se è minore di allora D R

24­04­2026 6

MECCANICA MACCHINE Lezione 15

Lezione 15

Moto diretto e retrogrado

Come visto la scorsa lezione, il rendimento di una trasmissione è diverso in base al verso del

flusso della potenza; è infatti possibile distinguere due tipologie diverse di moti:

Moto diretto:

• la potenza fluisce dal motore all’utilizzatore

Moto retrogrado:

• la potenza fluisce dall’utilizzatore al motore

potenza entrante,

La nei due casi, risulta quindi

(M)

D = −

̇

Π }

{ (U)

R = −

̇

Π

Condizione di regime

condizione di regime

̇ = 0,

In l’accelerazione angolare è nulla pertanto è subito possibile

distinguere tra i due casi di moto; infatti Tipo di moto

I caso + - Diretto

II caso - + Retrogrado

Transitorio

transitorio

Durante il invece, essendo l’accelerazione angolare non nulla, si possono presen-

tare 4 casi e non è sempre possibile stabilire a priori la tipologia di moto Tipo di moto

̇

I caso + - ? Diretto

II caso - + ? Retrogrado

III caso + + + ?

IV caso - - - ?

Metodo risolutivo per i casi I e II

Mentre nei primi due casi è immediatamente possibile distinguere tra i due tipi di moto [di

seguito la dimostrazione], non è possibile conoscere a priori il segno dell’accelerazione ango-

(che è diversa in base

lare. Per determinarlo bisogna eseguire il calcolo a partire dalla formula

al tipo di moto) - le formule di seguito presentate hanno i segni esplicitati

Moto diretto Moto retrogrado [vedi dopo]

− − +

D R

̇ =

̇ =

, diretto , retrogrado

2 2

+ +

D R

29-04-2026 1

MECCANICA MACCHINE Lezione 15

Caso I - Moto diretto

Data l’espressione dell’accelerazione angolare motrice per il moto diretto, nella sua forma

generale (senza segni espliciti) +

D

̇ =

2

+

D

> 0 < 0,

Dato che nel moto diretto si ha e esplicitando i segni è possibile riscriverla come

−

D

̇ =

2

+

D

Si può quindi osservare come non sia possibile stabilire il segno del numeratore a priori, in

quanto è presente la differenza tra due quantità positive (il segno dipende quindi dal termine

che prevale); il denominatore è invece positivo

̇

Ipotizziamo quindi il segno dell’accelerazione angolare e verifichiamo il segno delle espres-

sioni della potenza (motrice ed utilizzatrice) per capire la tipologia di moto; ricordando la loro

scrittura (M) (U)

Π = −

̇ Π = −

̇

Ipotesi 1 - Accelerazione angolare positiva

̇ > 0

Potenza motrice entrante >0 <0

⏞ ⏞

(M) ⇒ ?

= −

̇

Π ⏟

>0

In questo caso siamo in presenza della differenza tra due termini positivi e non è possibile

distinguere a priori la tipologia di moto

Potenza utilizzatrice uscente <0 <0

⏞ ⏞

(U) ⇒ <0

−

̇

=

Π ⏟

>0

In questo caso invece, essendo entrambi i termini negativi, è possibile stabilire il segno della

moto sia diretto

potenza. Risultando negativa si ricava che il (e che quindi la potenza motrice

(M)

Π > 0)

entrante risulti positiva

29-04-2026 2

MECCANICA MACCHINE Lezione 15

Ipotesi 2 - Accelerazione angolare negativa

̇ < 0

Potenza motrice entrante >0 >0

⏞ ⏞

(M) ⇒ >0

= −

̇

Π ⏟

<0

In questo caso, essendo entrambi i termini positivi, è possibile stabilire il segno della potenza.

moto sia diretto

Risultando positiva si ricava che il (e che quindi la potenza utilizzatrice

(