Appunti completi lezioni di Meccanica applicata alle macchine - Parte 1

POLITECNICO DI MILANO

Autore

Andrea Viale

Ingegneria Meccanica

Corso di Laurea: 2025/2026

Anno Accademico:

II

Semestre: Meccanica Applicata alle Macchine

Insegnamento: 054828

Codice Insegnamento:

10

Numero di CFU:

Collina Andrea

Professore: Fondamenti di meccanica teorica ed applicata (McGraw Hill)

Libro di testo (di riferimento):

Descrizione:

Il seguente file è interamente basato sulle lezioni frontali del corso ed integrato tramite il libro di

testo di riferimento, indicato dal professore. Sono inoltre presenti alcuni approfondimenti

riguardanti gli argomenti più complessi e delicati, all’interno degli stessi paragrafi, oppure a parte.

Cosa include il seguente file:

Lezioni teoriche sulle applicazioni della meccanica applicata alle macchine

DALLA 1 ALLA 13

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Programma del corso:

Cinematica e dinamica dei sistemi di corpi rigidi nel piano con elementi di meccanica analitica.

Forze scambiate tra solidi, attriti, resistenze di rotolamento. Forze di interazione fluido-solido, forze

aerodinamiche, cenni sulla lubrificazione idrostatica e idrodinamica. Dinamica della macchina a un

grado di libertà, curve caratteristiche del motore e dell'utilizzatore, la trasmissione, moto a regime,

in transitorio e in regime periodico. Organi delle macchine per la trasmissione e la trasformazione

del moto. Trasmissioni a ingranaggi: rotismi ordinari ed epicicloidali. Trasmissioni flessibili: cinghie,

catene. Vibrazioni meccaniche di sistemi ad un grado di libertà ed applicazioni.

versione “MARKED”

La parte relativa alle lezioni è in ovvero la versione evidenziata e commentata,

ideale per un ripasso veloce in quanto consente di identificare immediatamente, a livello visivo, gli

elementi più importanti (formule, definizioni, concetÝ, …); oppure per studiare avendo già in mente

quali sono le cose più importanti da sapere ed a cui fare maggiore attenzione

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Nota dell’autore:

Grazie per il tuo acquisto!

“

Grazie di cuore per l'acquisto e per la fiducia che mi hai dimostrato! Ho dedicato molto tempo e

cura alla stesura di questo documento; spero vivamente che queste dispense ti siano utili per

alleggerire lo studio, comprendere al meglio la materia e per superare l'esame con successo.

Se ti sei trovato bene e reputi questo materiale di qualità, ti chiedo un piccolo favore: parlane con i

tuoi amici qualora dovessero aver bisogno di appunti chiari e afÏdabili su cui prepararsi. Il

passaparola è il supporto più prezioso che tu possa darmi: il ricavato di queste vendite, infatÝ, è ciò

che mi permette di continuare questa atÝvità, dedicando tempo e risorse alla stesura, alla

revisione e alla pubblicazione di nuove dispense per i prossimi corsi.

Un grande in bocca al lupo per il tuo esame e per il proseguimento dei tuoi studi! ”

Andrea

Altre mie pubblicazioni:

- Dispense di Costruzione di Macchine (lezioni, esercitazioni e riassunti)

- Dispense di Fisica Tecnica (lezioni, esercitazioni e riassunti)

- Dispense di Principi di Ingegneria Elettrica (lezioni, esercitazioni e riassunti)

- Dispense di Statistica (lezioni, esercitazioni e riassunti)

- Dispense di Meccanica dei Fluidi (lezioni, esercitazioni e riassunti)

- Dispense di Tecnologia Meccanica (lezioni, esercitazioni e mappe mentali)

Elenco aggiornato a Luglio 2026 "Non c’è vento favorevole per il marinaio che non sa dove andare."

Lucio Anneo Seneca

—

MECCANICA MACCHINE Lezione 1

Lezione 1

CINEMATICA DEL PUNTO NEL PIANO

Punto materiale: entità astratta dotata di massa ma priva di dimensioni

Nella realtà, perché un corpo o un sistema meccanico sia approssimabile ad un punto materiale

devono valere le seguenti condizioni:

• Il moto deve essere di traslazione pura, e non rotatorio

• Le dimensioni caratteristiche del corpo devono essere molto minori rispetto alle dimensioni

caratteristiche della traiettoria o degli spostamenti effettuati

• Il momento d’inerzia rispetto al baricentro deve essere irrilevante ai fini del calcolo di forze

e reazioni vincolari

Dato un sistema di riferimento OXY fisso nel piano, è possibile definire tre diversi vettori:

⃗

Vettore posizione: ( − )

1. indicato con oppure con , esso indica la posizione del punto

rispetto all’origine del sistema di riferimento

⃗

( − ) = = () ⃗ + () ⃗ ⃗

Vettore velocità: ,

⃗

2. indicato con esso indica quanto velocemente varia

⃗

= ()

̇ ⃗ + ()

̇ ⃗

⃗ =

Vettore accelerazione: ,

⃗ ⃗

indicato con esso indica quanto velocemente varia

3. ⃗

⃗ = = ()

̈ ⃗ + ()

̈ ⃗

Traiettoria: insieme dei punti occupati dal punto materiale (ed indicati dal vettore posizione)

nel tempo forma parametrica

L’equazione della traiettoria può essere scritta in (caso bidimensionale)

= () }

{ = ()

forma implicita

Oppure, eliminando la dipendenza dal tempo, in (caso bidimensionale)

= () } ⇒ = ()

{ = (())

25-02-2026 1

MECCANICA MACCHINE Lezione 1

Caratteristiche geometriche della traiettoria

Versore tangente

Ascissa curvilinea (s): indica lo spazio percorso della traiettoria

Data la traiettoria in figura, definendo due punti ed osservando come il seguente rapporto

versore tan­

Δ → 0

incrementale varia, al tendere di è possibile ricavare l’espressione del

gente: ⃗ ⃗ ⃗ ⃗

( + Δ) − () Δ ⃗

= lim = lim = 1 ⋅

Δ Δ

Δ → 0 Δ → 0

Dunque per il versore tangente alla traiettoria vale la seguente relazione

⃗

⃗

=

Ripasso ­ Prodotto tra vettori

⃗ ⃗

⃗ ⋅ = scalare = |

||

⃗ | cos()

Prodotto scalare (2D): ⃗ ⃗

⃗ × = vettore = |

||

⃗ | sin()

Prodotto vettoriale (2D):

Versore normale

⃗ ⃗

⋅ = 1,

Dato il prodotto derivandolo rispetto all’ascissa curvilinea è possibile ricavare la

seguente relazione ⃗ ⃗

(

⋅ ) = 0

E dato che ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗

commut .

⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗

(

⋅ ) = ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅ = 2 ⋅

Si ricava che la derivata del versore tangente rispetto all’ascissa curvilinea è diretta come il

versore normale, infatti: ⃗ ⃗

⃗ ⃗

⋅ = 0 ⇒ ⟂

25-02-2026 2

MECCANICA MACCHINE Lezione 1

Ripasso ­ cerchio osculatore

E’ quella circonferenza che approssima una qualsiasi curvatura nell’intorno di un punto

(localmente). Essa infatti:

• Passa per lo stesso punto della traiettoria

• Ha la stessa tangente della traiettoria nel punto

• Ha lo stesso raggio di curvatura della traiettoria

″

| |

= 3/2

2

′

(1 + ( ) )

Dati due punti su una generica traiettoria curvilinea approssimata tramite il cerchio oscuratore

⃗

E’ possibile osservare come il vettore cambi solo direzione ma abbia modulo sempre uguale;

inoltre ⃗ ⃗

| | = |

| ⋅ sin()

⃗

→ 0 sin() ≈

ma dato che il modulo di è unitario (in quanto versore) e dato che per vale

, allora tale relazione diventa ⃗

| | = 1 ⋅ =

Inoltre dato che =

Allora si ricava che il modulo della derivata del versore tangente rispetto all’ascissa curvilinea

è l’inverso del raggio di curvatura ⃗

| | 1

= =

25-02-2026 3

MECCANICA MACCHINE Lezione 1

Verso per ispezione grafica ⃗

⃗

indica verso quale “parte” si sta modificando la direzione di

Componenti tangenziali e normali dei vettori della cinematica

Posizione ⃗ ⃗

⃗

Non ha senso scomporre il vettore posizione rispetto ad e

Velocità ⃗ ⃗

= , =

Ricordando che come precedentemente ricavato, e che

⃗ ⃗

⃗

⃗ = = =

Si noti come il vettore velocità risulti sempre tangente alla traiettoria

Inoltre

′

= = = ()

⃗ = ⃗ + ⃗ ⇒ tan =

′

()

con derivata della funzione che descrive la traiettoria

Accelerazione

⏞

⃗ ⃗ 2

1

⃗

⃗ ⃗ ⃗ ⃗

⃗ + + + +

⃗ = = ( ) = = =

⃗ =

⃗ = ⃗ + ⃗

Chiamando:

componente tangente

⃗

• la alla traiettoria dell’accelerazione, responsabile della variazio-

ne del modulo del vettore velocità ⃗

⃗ =

25-02-2026 4

MECCANICA MACCHINE Lezione 1

componente normale

⃗

• la alla traiettoria dell’accelerazione, responsabile della variazio-

ne della direzione del vettore velocità 2

⃗ =

⃗

Come si può osservare da tale relazione, la componente normale dell’accelerazione è diretta-

mente proporzionale alla curvatura della traiettoria, infatti:

= ∞ ⃗ = 0

• Se la traiettoria è rettilinea quindi 1 ⃗

= ed è proporzionale ad essa

• Se la traiettoria non è rettilinea allora la curvatura

Traiettoria circolare

⃗

Dato un punto che si muove con traiettoria circolare a velocità angolare

sistema di riferimento rotante 0

Definiamo il indicato dai versori , diretto come il

1 1 1 1

,

⃗ ⃗

vettore posizione ed opposto al versore normale e normale ad e diretto come il versore

1 1

⃗ terna rotante)

tangente (questi due versori individuano la cosiddetta

⃗ = cos ⃗ + sin ⃗ ⃗ = − sin ⃗ + cos ⃗

1 1

⃗ ⃗

Calcolando le derivate nel tempo dei due versori e possiamo ottenere le seguenti formule

1 1

⃗ ̇ ̇ ̇ ̇

1 = − sin ⃗ + cos ⃗ = [− sin ⃗ + cos ]

⃗ = ⃗ = | |

⃗ ⃗ =

⃗ × ⃗

1 1 1

⃗ ̇ ̇ ̇ ̇

1 = − cos ⃗ − sin ⃗ = − [cos ⃗ + sin ]

⃗ = − ⃗ = −| |

⃗ ⃗ =

⃗ × ⃗

1 1 1

I risultati ottenuti sono detti:

Formule di Poisson per moti piani ⃗

⃗ 1

1 =

⃗ × ⃗ =

⃗ × ⃗

1 1

Nei successivi passaggi terremo inoltre presenti le seguenti relazioni

̇ ̈

⃗ ⃗

⃗̇

⃗ = =

25-02-2026 5

MECCANICA MACCHINE Lezione 1

Vettore posizione ⃗

( − ) = = cos ⃗ + sin ⃗ = (cos ⃗ + sin )

⃗ = ⃗

1

Vettore velocità

⃗

⃗ Poisson

1

⃗ = = ( ⃗ ) = ⃗ + =

⃗ × ⃗ =

⃗ × ⃗ =

⃗ × ( − )

1 1 1 1

Vettore accelerazione ⃗

⏞

( − )

⃗ ⃗̇ ⃗̇

⃗ = = [

⃗ × ( − )] = × ( − ) +

⃗ × = × ( − ) +

⃗ × [

⃗ × ( − )]

Da cui si ricava che ⃗̇ 2

⃗ = × ( − ) − ( − ) = ⃗ + ⃗

Con anche qui ̈

⃗̇ componente tangente

⃗ = × ( − ) = ⃗

• dell’accelerazione

1

2 componente normale

⃗ = − ( − )

• dell’accelerazione, che ha stessa direzione del

vettore posizione ma verso opposto (punta cioè verso il centro della circonferenza descritta

dalla traiettoria)

Calcoliamo ora i moduli dei due contributi all’accelerazione

Calcolo di

Sapendo che è la componente tangenziale dell’accelerazione, è possibile calcolarla come

⃗

proiezione del vettore accelerazione lungo la direzione tangente (individuata da tale versore)

⃗ ⃗ ⃗

⃗ = = , quindi

Dato che allora +

⃗

⃗ =

= ⃗ ⋅ = ⃗

| |

⃗ 2 2

+

√

Calcolo di

E’ possibile calcolare come

= ⃗ × ⃗

Ed è possibile eseguire tale prodotto in due modi differenti:

25-02-2026 6

MECCANICA MACCHINE Lezione 1

1) ⃗

⃗ ⃗ ⃗

= ⃗ × ⃗ = × ( + )

⃗ = ×

⃗ =

⃗ ⃗ vettore binormale

= ×

⃗

Definendo

Terna intrinseca ⃗

⃗

,

⃗

I versori tangente normale e binormale definiscono una terna detta “intrinseca” di

una qualsiasi curva. Essi sono espressi e sono legati dalle seguenti relazioni

⃗ × ⃗

⃗ ⃗

⃗ ⃗

⃗

⃗ = ×

=

= |

⃗ × |

⃗

|

|

⃗

2) ̂

̂

̂ ⃗

0

= ( − )

= ⃗ × ⃗ = det

0

|

|

Abbiamo quindi individuato le seguenti due espressioni per il modulo dell’accelerazione nor-

male, che devono necessariamente essere uguali (*)

⃗ ⃗

= = ( − )

Tuttavia, ricordando (come abbiamo precedentemente dimostrato) che la componente norma-

le dell’accelerazione è definita a livello generale come

2 2

⃗ =

⃗ ⇒ =

Dato che al numeratore è presente un quadrato e che il raggio di curvatura a è strettamente

positivo, si ricava che l’accelerazione normale è sempre positiva

Allora poiché l’uguaglianza scritta sopra (*) sia valida, deve valere la seguente relazione:

| − | =

Da cui è possibile ricavare un’espressione per l’accelerazione normale:

| − |

=

2 2

+

√

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La posizione di un

punto nel piano

è definita dal che nel tempo descrive una

Ve ore posizione

che derivato rispetto al

tempo definisce il il quale è tangente alla Traie oria

Ve ore velocità il cui verso

la variazione della sua

la variazione del suo definisce il verso

direzione definisce la

modulo definisce la della concavità

della

componente tangente del componente normale del

ve ore accelerazione accelerazione

ve ore

sommando le due componenti si ottiene il

Ve ore accelerazione

MECCANICA MACCHINE Lezione 2

Lezione 2

Teorema dei moti relativi

Dato un punto materiale nel piano, definiamo un sistema di riferimento assoluto fisso,

ed uno relativo che si muove con generico moto rototraslatorio

1 1 1

Velocità

Il vettore posizione di può essere espresso come

dist. assoluta dist. oss. rel. dist. relativa

⏞ ⏞ ⏞

( − ) = ( − ) + ( − ) = ( − ) + ⃗ + ⃗

1 1 1 1 1 1 1

Derivando rispetto al tempo è possibile trovare l’espressione della velocità di

⃗

⃗ 1

1 + = ⃗ + ̇ ⃗ + ̇ ⃗ +

⃗ &tim