Appunti completi, formule ed esercizi svolti di Matematica finanziaria

Matematica Finanziaria

Note Complete del Corso — Lezioni 1–20

A.A. 2025/2026

Prof. Emilio Russo

Ogni singolo passaggio algebrico svolto come Russo lo fa a lezione.

Definizioni rigorose con motivazione economica,

dimostrazioni complete passo per passo,

commenti e citazioni originali del professore,

esercizi svolti in modo esteso con verifica finale.

Costruito fedelmente su:

sbobine originali del corso 2026 (Russo),

lezioni rielaborate (Fusaro 2026),

teoremi con simbologia di Russo.

Uso personale di studio — tutti i diritti appartengono ai rispettivi autori

Indice

1 Oggetto, spirito e metodo del corso 4

2 Perche’ il tempo cambia il valore del denaro 4

2.1 Il differimento e la crescita del debito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

3 Operazione finanziaria: definizione e rappresentazione 5

3.1 Operazione a pronti e operazione a termine . . . . . . . . . . . . . . . . 6

3.2 Esempio grafico: operazione elementare a pronti . . . . . . . . . . . . . 6

3.3 Esempio piu’ complesso: operazione a tre flussi . . . . . . . . . . . . . . 6

(t)

4 La Funzione Valore 6

W

5 Le Cinque Grandezze Fondamentali 7

5.1 Prima grandezza: la Quota Interessi ∆W (t) . . . . . . . . . . . . . . . . 7

5.2 Seconda grandezza: il Fattore Montante ) . . . . . . . . . . . . . 8

′

m(t, t

5.3 Terza grandezza: il Tasso di Interesse ) . . . . . . . . . . . . . . . 8

′

i(t, t

5.4 Quarta grandezza: il Fattore di Sconto ) . . . . . . . . . . . . . . 9

′

v(t, t

Quinta grandezza: il Tasso di Sconto ) (detto anche tasso di interesse

5.5 ′

d(t, t

anticipato) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

6 Tabella completa delle relazioni fondamentali 11

7 Esercizio svolto completo: calcolo di tutte le grandezze 12

8 Conclusione della Lezione 1 13

9 Introduzione: completare gli strumenti 14

10 Intensita’ di interesse e di sconto 14

11 Intensita’ istantanea di interesse : derivazione rigorosa e completa 15

δ

T

12 Operazione finanziaria somma 16

13 Titoli Obbligazionari 16

13.1 Titolo a Cedola Nulla (TCN) — Zero Coupon Bond (ZCB) . . . . . . . 16

13.2 Titolo a Cedola Fissa (TCF) — Coupon Bond . . . . . . . . . . . . . . . 17

14 Legge degli Interessi Semplici 17

15 Legge degli Interessi Composti 18

15.1 Confronto quantitativo tra legge semplice e legge composta . . . . . . . 19

16 Intensita’ istantanea nella legge composta: esercizio della lezione 2 21

17 Derivazione della Legge Esponenziale 21

17.1 Caso con costante: coincidenza con la legge composta . . . . . . . . . 22

δ

17.2 Caso con variabile nel tempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

δ

18 Trasferimento tra epoche generiche: le tre leggi a confronto 23

1

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19 Legge di Sconto Commerciale 24

20 Tassi equivalenti: definizione e formula 24

21 Tasso nominale vs tasso effettivo 25

22 Il passaggio cruciale: dalla valutazione specifica alla regola generale 27

23 Il valore di una generica operazione finanziaria 27

23.1 Valore attuale, montante e valore intermedio . . . . . . . . . . . . . . . 28

24 La condizione di equita’ 28

25 Le tre proprieta’ fondamentali delle leggi di capitalizzazione 29

25.1 Proprieta’ 1: Uniformita’ nel tempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

25.2 Proprieta’ 2: Scindibilita’ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

25.3 Proprieta’ 3: Invariantivita’ dell’equita’ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

26 Applicazione: il prezzo di un TCF 31

27 Definizione e classificazione completa 32

Rendita immediata posticipata costante temporanea: derivazione

28 completa del valore attuale 33

28.1 Rendita perpetua (m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

→ ∞)

29 Rendita immediata anticipata 34

30 Rendita differita di periodi 35

h

31 Montante di una rendita: derivazione 35

32 L’equazione delle rendite come equazione finanziaria da invertire 37

33 Ricerca della rata formula diretta 37

R:

34 Ricerca del numero di rate derivazione completa 37

m:

35 Ricerca del tasso il problema inverso non ha soluzione in forma

i:

chiusa 38

36 Dall’aspetto statico all’aspetto dinamico 40

37 La relazione ricorrente fondamentale 40

38 Scomposizione della rata in quota capitale e quota interessi 40

39 Ammortamento Francese: costruzione algebra completa 41

39.1 Calcolo dei debiti residui e delle quote iniziali . . . . . . . . . . . . . . 42

39.2 Progressione geometrica delle quote capitali: dimostrazione . . . . . . . 42

39.3 Formula generale della quota capitale . . . . . . . . . . . . . . 43

k-esima

39.4 Debito residuo dopo pagamenti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

k –2–

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39.5 Il piano di ammortamento francese: struttura completa . . . . . . . . . 43

40 Ammortamento italiano (a quote capitali costanti) 45

40.1 Calcolo di dalla condizione di chiusura . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

C

40.2 Debito residuo dopo pagamenti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

k

40.3 Quota interessi del periodo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

k

40.4 Rata del periodo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

k

40.5 Confronto tra piano francese e piano italiano . . . . . . . . . . . . . . . 46

41 Piani con Preammortamento 47

42 Dal valutare allo scegliere 49

43 Criterio del REA (Risultato Economico Attualizzato = VAN) 49

43.1 I quattro limiti strutturali del REA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

44 Criterio del TIR (Tasso Interno di Rendimento) 50

44.1 Formulazione polinomiale: la variabile . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

v

44.2 Condizioni di esistenza e unicita’: teorema completo . . . . . . . . . . . . 51

45 Quando il TIR si calcola in forma esatta 52

45.1 Caso 1: operazione con due soli flussi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

45.2 Caso 2: TCF emesso alla pari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

45.3 Caso 3: rendita perpetua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

46 Metodo delle corde (interpolazione lineare): algoritmo completo 53

47 Perche’ servono gli indici temporali 55

48 Indici temporali semplici 55

49 Duration: definizione, derivazione e interpretazione 55

50 Duration di Secondo Ordine (Convessita’) 57

51 Duration Modificata e sensibilita’ del prezzo 57

52 Portafoglio di operazioni: Duration come media pesata 58

53 Il principio di non-arbitraggio 59

54 TCNU a termine e relazione di consistenza 60

55 Struttura per scadenza: spot, forward e relazioni 60

56 La funzione valore come funzione del tasso: convessita’ e minimo 62

Il Teorema di Fisher-Weil: enunciato, condizioni e costruzione del

57 portafoglio 63

57.1 Costruzione del portafoglio immunizzato: sistema esplicito . . . . . . . 63

58 Ricalibratura dinamica del portafoglio 64

–3–

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2 PERCHE’ IL TEMPO CAMBIA IL VALORE DEL DENARO

Lezione 1

Introduzione alla Matematica Finanziaria

Oggetto, spirito e metodo del corso

Russo dice:

▷ “Questo corso ragazzi non e’ esercizio. Non sono numeri. I numeri

sono lo strumento per quantificare qualcosa. Se non avete in testa il concetto, potete

fare mille esercizi: state tranquilli che il professore ve ne presenta il milleunesimo

e non siete in grado di risolverlo. Se invece avete il concetto, qualunque sia la salsa

capire il concetto.

in cui e’ presentato l’esercizio, lo risolvete. Quindi l’obiettivo e’:

La matematica finanziaria studia gli scambi di somme di denaro che avvengono in

tempi diversi. L’orientamento che dovete avere e’ quello della comprensione teorica

del concetto che sta dietro una determinata formula. Io di formule non ne ricordo

neanche una, ma so la strada per poterle ricavare perche’ ho in testa un concetto.”

Il corso si svolge in tutte le variabili rilevanti sono note

condizioni di certezza:

oppure sono note le regole che permettono di determinarle. Non si studia il rischio,

non si modella l’incertezza. Ogni importo, ogni tasso, ogni scadenza e’ determinato e

conosciuto. Questa ipotesi semplificatrice e’ fondamentale: ci permette di concentrarci

sulla struttura matematica e finanziaria delle operazioni, senza dover gestire distribuzioni

di probabilita’ o scenari alternativi.

Gli argomenti principali del corso, nell’ordine in cui verranno affrontati, sono:

1. Leggi di capitalizzazione: interessi semplici, interessi composti, legge esponenziale,

legge di sconto commerciale.

Rendite: valore attuale, montante, classificazione completa, ricerca delle incognite.

2.

3. Piani di ammortamento: francese (rate costanti), italiano (quote capitali costanti),

piani con preammortamento.

4. Criteri di scelta tra operazioni finanziarie: REA (o VAN), TIR.

5. Duration e indici temporali.

6. Struttura per scadenza dei tassi, contratti forward, assenza di arbitraggio.

7. Immunizzazione finanziaria, teorema di Fisher-Weil.

Perche’ il tempo cambia il valore del denaro

Il punto di partenza dell’intera materia e’ un’osservazione apparentemente semplice ma

di portata enorme: il valore del denaro dipende dal tempo.

Supponiamo che un soggetto riceva oggi una somma e si impegni a restituirla

S

tra un anno. E’ ragionevole attendersi che la somma restituita sia + con 0.

S I, I >

–4–

Matematica Finanziaria — Prof. E. Russo

3 OPERAZIONE FINANZIARIA: DEFINIZIONE E RAPPRESENTAZIONE

Quella quantita’ aggiuntiva si chiama e’ il compenso per aver ceduto

interesse:

I

temporaneamente la disponibilita’ di euro.

S

Russo dice:

▷ “100 euro oggi non sono la stessa cosa di 100 euro domani. Le

somme monetarie nel corso del tempo evolvono. Dirvi semplicemente ‘100 euro’

quando

senza specificare sono esigibili non ha significato finanziario. E’ come dirvi

che una velocita’ e’ 100 senza specificare l’unita’ di misura: sono 100 chilometri

all’ora, o 100 metri al secondo? Cambia tutto.”

Formalmente si definisce:

= somma finale somma iniziale 0.

−

I >

In condizioni di certezza assumiamo sempre 0, perche’ nessuno presta denaro

I >

per ricevere in futuro una quantita’ uguale o inferiore. Questa assunzione cattura la

tra avere oggi e avere domani, si preferisce averli oggi

S S

preferenza per il presente:

perche’ oggi si possono utilizzare.

Il differimento e la crescita del debito

Supponiamo ora che il soggetto, invece di restituire + all’anno 1, chieda di rinviare

S I

al pagamento all’anno 2. Cosa succede?

Il soggetto continua a trattenere una ricchezza che non gli appartiene per un intero

anno in piu’. Per questo motivo non potra’ restituire semplicemente + all’anno 2:

S I

dovra’ aggiungere ulteriori interessi sul prestito ancora in essere. La somma finale

′

I

diventa + + .

′

S I I

Questa osservazione mostra con chiarezza che il valore monetario cresce al

Se il periodo durante il quale il capitale viene trattenuto si

crescere del tempo.

allunga, la somma da restituire deve aumentare.

Operazione finanziaria: definizione e rappresentazione

Definizione (Operazione finanziaria).

Un’operazione e’ uno scambio di almeno due

finanziaria non contemporaneo

somme di denaro. Si rappresenta mediante due vettori:

(x )

x , x , x , . . . , x

m

0 1 2

= con · · ·

t < t < t < < t .

m

0 1 2

(t )

t , t , t , . . . , t

m

0 1 2

Convenzione di segno:

• 0: incasso (entrata di denaro) all’epoca .

x > t

k k

• 0: pagamento (uscita di denaro) all’epoca .

x < t

k k

Il vettore (t ) si chiama scadenziario.

, t , . . . , t m

0 1

La parola fondamentale della definizione e’ Se lo scambio

non contemporaneo.

avvenisse nello stesso istante, non si porrebbe nessun problema finanziario: basterebbe

–5–

Matematica Finanziaria — Prof. E. Russo W

4 LA FUNZIONE VALORE (t)

sommare algebricamente gli importi. Il problema nasce esattamente perche’ le epoche

sono diverse: somme esigibili in istanti diversi non si possono sommare direttamente.

Russo dice:

▷ “Non mancate mai di disegnare l’asse temporale. Se manca questo,

automaticamente l’esercizio e’ sbagliato, ma non perche’ il professore vuole l’asse

temporale: e’ perche’ sbagliate la valutazione. L’asse temporale vi da’ immedia-

tamente l’impatto visivo di quanto e’ ampio l’intervallo tra due epoche, e quanto

e’ ampio quell’intervallo e’ l’informazione piu’ importante di tutta la matematica

finanziaria.”

Operazione a pronti e operazione a termine

il primo flusso avviene (t = 0). Lo scambio e il primo

Operazione a pronti: oggi 0

movimento monetario coincidono. Esempio: si consegna oggi una somma e si

S

riceve domani +

S I. il primo flusso avviene in un istante (t 0).

Operazione a termine: >

futuro 0

In = 0 si stabiliscono solo le condizioni dell’operazione, ma nessun denaro cambia

t

mano fino a . Esempio: oggi si contratta, tra un anno si incasseranno + tra

t S I,

0

due anni si restituiranno + + .

′

S I I

Esempio grafico: operazione elementare a pronti

(+S, +

−(S I))

L’operazione piu’ semplice e’ : si ricevono euro oggi, si restituiscono

S

(0, 1)

+ euro tra un anno.

S I −(S I)

+

+S t

=0 =1

t t

ampiezza = 1 anno

Esempio piu’ complesso: operazione a tre flussi

(−100, +60, +80) : si pagano 100 oggi, si incassano 60 tra un anno e 80 tra tre anni.

(0, 1, 3) −100 +60 +80 t

=0 =1 =3

t t t

(t)

La Funzione Valore W –6–

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5 LE CINQUE GRANDEZZE FONDAMENTALI

Definizione (Funzione valore).

La (t) descrive come evolve nel tempo un’entita’ monetaria.

funzione valore W

(t) e’ il valore all’istante della somma, con (0) = dato iniziale.

W t W S

Proprieta’ richieste per ragioni economiche:

• (t) 0 per ogni 0 (il valore e’ sempre positivo).

≥

W > t

• e’ continua e derivabile.

W

• e’ strettamente crescente: (t ) (t).

′ ′

⇒

W t > t W > W

Perche’ si richiede che sia Perche’ in condizioni di certezza

W strettamente crescente?

e’ sempre piu’ vantaggioso avere il denaro prima che dopo. Un individuo che investe S

oggi in una qualunque operazione finanziaria priva di rischio otterra’ sempre piu’ di S

in futuro: altrimenti non investirebbe.

Le Cinque Grandezze Fondamentali

Russo dice:

▷ “Queste cinque grandezze ragazzi sono interscambiabili l’una con

l’altra: ognuna si puo’ scrivere in funzione dell’altra. Ne abuseremo senza ritegno per

tutto il corso. La comprensione di quello che sono queste grandezze e’ fondamentale

per capire come andremo poi a valutare le operazioni finanziarie. Non ve lo fate dire

studiatele giorno per giorno, non accumulate argomenti non studiati.”

due volte:

Fissato l’orizzonte temporale [t, ] con . L’ampiezza (t e’

′ ′ ′ −

dell’intervallo

t t < t t)

il dato piu’ importante di tutta la matematica finanziaria. Non conta il valore assoluto

di o di : conta quanto e’ lungo l’intervallo tra i due istanti.

′

t t ∆W (t)

Prima grandezza: la Quota Interessi

∆W (t) = (t ) (t)

′ −

W W

Misura l’incremento del valore nell’intervallo [t, ].

′

assoluto t

Unita’ di misura: (euro, dollari, ecc.).

monetaria

Il nome “quota interessi” e’ appropriato: rappresenta esattamente quella quantita’

di cui abbiamo parlato nella sezione precedente. Se all’epoca il valore e’ (t) e

I t W

all’epoca vale (t ), la differenza e’ l’interesse maturato nell’intervallo.

′ ′

t W (t) = 100 euro, (t ) = 118 euro:

′

Esempio numerico. W W

∆W (t) = 118 100 = 18 euro.

−

Questo significa che nel periodo [t, ] sono maturati 18 euro di interessi.

′

t

L’interesse ∆W (t) dipende dall’ampiezza dell’intervallo

Osservazione importante.

[t, ] e non dai valori assoluti di e . Se sposto tutto l’intervallo di un anno (da [0, 1] a

′ ′

t t t

[1, 2], per esempio) ma mantengo la stessa legge di capitalizzazione, l’interesse cambia

in generale (e’ lo stesso solo nelle leggi uniformi).

–7–

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5 LE CINQUE GRANDEZZE FONDAMENTALI

)

′

Seconda grandezza: il Fattore Montante m(t, t

(t )

′

W

) =

′

m(t, t (t)

W

Il fattore montante e’ il che porta un’entita’ monetaria

coefficiente moltiplicativo

dall’istante all’istante .

′

t t

Dalla definizione segue immediatamente:

(t ) = (t) ).

′ ′

·

W W m(t, t

Il fattore montante e’ (euro diviso euro si semplifica). Poiche’

adimensionale

(t ) (t), si ha sempre ) 1.

′ ′

W > W m(t, t >

Russo dice:

▷ “Il fattore montante e’ il moltiplicatore. Se ho 100 euro oggi e il

100×1.08 = 108

fattore montante da oggi a un anno e’ 1.08, allora tra un anno avro’

euro. Semplice. La complessita&r