Appunti completi del corso di Biofluidodinamica

Biofluidodinamica 04/10/21 - Lezione 1: pressione

Un fluido è una sostanza liquida o gassosa. C’è una differenza tra solido e fluido, non tanto dal tatto, ma da come resiste all’applicazione di una forza che lo fa scorrere. Il liquido non sa opporre resistenza, si muove qualsiasi sia la tensione/sollecitazione applicata. Nei solidi la tensione interna è proporzionale alla deformazione, nei fluidi invece è proporzionale alla velocità di deformazione.

Applicando una forza ad una gomma tra due aste, esplica il concetto di sforzo, in questo caso tangenziale (τ). Stessa cosa, se la faccio in un fluido, quello a contatto con la lastra superiore ha una velocità e si ha anche una velocità del fluido che rimane attaccato uf. Ha un comportamento completamente diverso rispetto al solido tra due lastre, soluzione di Coette, associa le direzioni delle velocità e so che nella parte superiore il fluido che aderisce si muove se si muove la lastra e si ferma se rallenta e si blocca.

Solidi e fluidi sono organizzati con tante particelle microscopiche ma in maniera diversa. I solidi hanno strutture coerenti e nei liquidi possono anche ruotare e sono libere di muoversi una rispetto l’altra, ma comunque con legami forti. I gas invece sono tutto l’opposto.

Ipotesi di fluido come continuo

Introduco un’ipotesi che mi semplifica il problema. Studio una singola particella e considero l’intero fluido come se non ci fossero vuoti tra le particelle. Avrò quindi delle variabili che rappresentano le grandezze medie, come la densità. Ma, è sempre valida questa ipotesi? Nella realtà posso usarla se la scala di interesse è molto maggiore della scala a livello microscopico, esempio: guardando l’aorta controllo il diametro e devo rapportarlo alla scala microscopica lambda, cioè la distanza media percorsa dalle molecole tra due urti successivi. Prendendo Kn=lamda/L che è il numero di Kundsen, l’ipotesi di fluido continuo è ammissibile se Kn<<1. Noi consideriamo i fluidi incomprimibili, in cui la densità è costante.

Fluidi fermi

Considerando un fluido fermo, facendo il rapporto tra forza e superficie, ottengo lo sforzo, che è anche lui un vettore, aspettandomi che possa variare nelle direzioni (lo sforzo ha le dimensioni di una pressione, Pa):

• Normale: in ogni punto esiste una perpendicolare alla superficie. Se il fluido è in quiete esiste solo questo senza sforzi tangenziali, e si parla di fibro-statica e lo sforzo normale è indipendente dall’inclinazione della superficie e questo modulo è definito pressione;
• Tangenziale: presente solo se un fluido è in moto, ed è legato alla viscosità.

Pressione: La pressione è uno scalare, è un numero perché ha direzione normale, con unità di misura in Pascal, come lo sforzo. La pressione è indipendente in un punto rispetto alla superficie considerata. Nel caso più generico la forza ha due componenti, una N e una T, con T nulla se in quiete quindi definisco il modulo quindi sarà dF=pdA. In un fluido valgono solo sforzi di compressione, sanno opporsi solo a questi sforzi. Parlo di pressione assoluta o di pressione relativa, che è la differenza tra quella assoluta e quella atmosferica (relativa alla Patm=101325 Pa). pr=p-patm quella assoluta è sempre positiva, mentre quella relativa potrebbe anche essere negativa.

Dimostrazione: voglio dimostrare che la pressione sia indipendente dalla superficie: la pressione in un dato punto agisce allo stesso modo in tutte le direzioni sia che il fluido sia fermo o in movimento ma in assenza di sforzo tangenziale. Un sistema caratterizzato dall’assenza di sforzi tangenziali e dalla costanza del modulo degli sforzi normali (P) si chiama sistema isotropo.

Variazione di pressione nei fluidi

Derivando un’equazione per la variazione di pressione nei fluidi in quiete o sottoposti ad un’accelerazione avrò che la sommatoria di F=ma. Assumiamo che la pressione vari nello spazio p(x,y,z) e che nel centro del cubo di lati dx, dy, dz si abbia il valore p: Devo applicare un bilancio di forze su questo cubetto, applicando sviluppi di Taylor su x e su y e z. Noto che la pressione rimane costante lungo x e y, e varia solo rispetto alla profondità su z: questa è un’equazione differenziale ordinaria del primo ordine. Essendo fluidi incomprimibili considero la densità costante quindi integrando otterrò l’andamento di P al variare della quota z: Faccio l'integrale fra due generici punti nel nostro dominio (regione fisica di interesse). Faccio l'integrale tra z1 e z2, moltiplicando tutto per dz. Lega la pressione a due diverse profondità in base alla distanza.

Lezione 2: continuazione

In generale ho: e introducendo una coordinata accessoria, la profondità h positiva scendendo (mentre z è positiva allontanandosi), posso scrivere che al pelo libero, posso introdurre la pressione quando z=0 p(0)=p legge di Stevino. Più vado in profondità più P aumenta.

Manometro semplice

I manometri sono strumenti usati per misurare una differenza di pressione, una pressione relativa, e la si misura con una misura indiretta. Misuro la differenza di quota e quindi da qui capisco tutto, partendo da un condotto. Tubo (1) che esce dalla slides, in cui scorre un fluido 1, il fluido di lavoro, e connetto il tubo con una presa di pressione che ha dei condotti a U, con un fluido 2, molto più denso, che permette di tenere contenute le misure che fanno della distanza h legate alla densità del fluido manometrico. Sono in condizione di equilibrio entrambi fluido-statica. So che alla stessa quota, ho la stessa pressione. Voglio la pressione in 1 attraverso misure indirette. All’apertura ho p =p atm che a pari profondità ho la stessa p p =p essendo nello stesso fluido. Ora quindi, posso, trovando p2 e p2’ da qui riesco a trovare il valore di p1, pressione relativa nel punto 1. La pressione in 1 la riesco a sapere anche senza conoscere la pressione atmosferica.

Calcolare le spinte su una superficie immersa

Immagino un muro in una piscina, vado in profondità e la P aumenta. Tutte le freccette sono forze elementari, con superfici infinitesime, in dA agisce una pressione data da dF=pdA sulla quale superficie ho una normale n. la forza varia in base alla profondità. Oltre alla pressione data dalle freccette, avrò un pezzo da aggiungere in più dovuto alla p atm che agisce essendo aperto in alto. La pressione assoluta quindi si trova contando anche il contributo della P atmosferica. La pressione relativa varia come ρgh, e aggiungendo la sollecitazione costante dell’atmosfera ottengo la P assoluta.

Il fatto che quando voglio andare a trovare la spinta delle forze, mi devo mettere nel momento più semplice, considero che la forza sarà trovata da una parte verso destra e all’esterno sarà uguale ma rivolta verso sinistra, e la forza della Patm si elide è comodo quindi lavorare subito con la pressione relativa (in idrostatica uso sempre pressione relativa).

Voglio ora calcolare la forza risultante, voglio levare le forze elementari e mettere un grosso vettore forza che ne rappresenti l’effetto uso un integrale, somma di tutti i contributi che agiscono sulle paratie. Prendendo una piscina con un lato smussato avrò: due muri con in mezzo una paratia piana, una botola di metallo (acciaio) inserita, che si usa aprendola per diminuire il peso dell’acqua. La paratia è inclinata di un angolo rispetto al pelo libero e so che in ogni punto della paratia, anche se inclinata, vale che la forza è diretta in maniera opposta alla normale, contro la superficie ed è uguale a ρghdA (in tutti i punti =) Avendo una profondità diversa avrò una pressione diversa, e quindi una F elementare diversa. Voglio sostituire tutto con una risultante F che abbia la stessa funzione. Vedo dall’immagine la paratia inclinata di area A, entrante nella slides (sistema x,y con y che entra nella slides). Con y identifico i punti della paratia, h sarà in funzione di y (h=ysenα). Ho identificato sia G che CP (centro di pressione in cui verrà applicata F), con CP che ha una profondità maggiore rispetto al centro di gravità e identifico per loro la coordinata y e G y . Inizio calcolando la forza (vedo immagine sopra), poi la pressione relativa e h in funzione CP di y, e poi sostituisco tutto in F. La P aumenta linearmente andando ad y maggiori trapezio. Sostituendo con i valori del baricentro della figura, la risultante è

Questa è la forza diretta verso la paratia, opposta alla normale, posizionata in un punto che devo ancora capire (CP). Per farlo, uguaglio il momento della forza risultante con i momenti delle forze elementari agenti sulla superficie rispetto al polo O. Il CP non sta nel baricentro, infatti la P non è costante, se fosse lì, sarebbe in G (nella prima formula manca dA in fondo).

Centro di pressione

È il punto di intersezione tra la retta d’azione della risultante e la superficie. I momenti sono gestibili con il teorema degli assi paralleli o di Huygens-Steiner, lo faccio per evitare di calcolare degli integrali. È un metodo che sfrutta i rettangoli e il baricentro, così sostituendo riesco a trovare subito Ycp. Il centro di pressione è quindi sicuramente più in profondità del baricentro essendo G più una quantità che è sicuramente positiva. Con le paratie curve è più semplice, non si deve calcolare il CP perché molte cose si semplificano.

Paratia curva

Considero una paratia curva, che ha delle cerniere, quindi è mobile e può ruotare. Creo un diagramma di corpo libero, estraggo un sottodominio del sistema. Se taglio un pezzo quindi, spostando la curva otterrò questo: tagliando su x e y e avendo una cerniera, avrò delle reazioni vincolari Fh e Fv rappresentate. Non mi devo anche dimenticare del peso del fluido che avrà quindi una Fw verso il basso. Alle forze elementari so poi sostituire le forze risultanti F1 e F2. Da qui facendo una sommatoria su x e y avrò: avendo Fh e Fv posso trovare la risultante facendo il modulo tra le due forze (tra vettori) e con la trigonometria invece trovo il valore dell’inclinazione di questa forza risultante trovata.

Galleggiamento

La componente che ci porta a galleggiare è il fatto che la P aumenta con la profondità e che agisce in maniera opposta con la normale. Considero un cilindro tagliato con le superfici piane. Lo immergo ad una certa profondità, l’oggetto si trova in un campo di pressione e sulla superficie superiore agisce ρghA. Nella superficie sotto, l’area è la stessa con direzione opposta a prima, e con l’aggiunta di s:

Principio di Archimede: un corpo immerso in un fluido riceve una spinta verticale, diretta verso l’alto, di modulo pari al peso del volume V di fluido sostato e passante per il baricentro di tale volume (fine idrostatica).

Fluidi in moto

Il moto dei fluidi è indipendente da come lo studiamo, è in base alla nostra convenienza. Avendo l’ipotesi di flusso come continuo, considero il fluido come una serie di particelle, ognuna in moto. Voglio definire il concetto di particella fluida (diverso da atomo e molecola): è un’astrazione concettuale che indica un insieme abbastanza grande di molecole da poter considerare valide le ipotesi di fluido come continuo, ma allo stesso tempo deve avere un’estensione in volume piccola abbastanza da essere caratterizzata da un unico valore di velocità, pressione…

Ci sono due modi per osservare il moto di un fluido visto come un gruppo di particelle:

• Metodo lagrangiano: considero il moto di una singola particella (difficile avendo molte particelle in un fluido e difficoltà nell’identificarle);
• Metodo euleriano: considero una porzione di fluido. Questo approccio presuppone la definizione di un volume di controllo attraverso cui la superficie del fluido entra ed esce. Non serve conoscere velocità o posizione come in Lagrange per ogni particella, ma si definiscono delle variabili di campo (funzioni sia di spazio che del tempo). Il suo campo di moto è definito da:
  • Campo di pressione (scalare)
  • Campo di velocità (vettoriale)
  • Campo di accelerazione (vettoriale)

11/10/21 Lezione 3: continuazione fluidi in moto

Campo di accelerazione

Voglio però cercare di unire le due visioni (Lagrangiana ed Euleriana). La prima è la più intuibile e la seconda servono degli strumenti per correlare le unità fisiche, che valgono per i sistemi chiusi. Ma parlando di volume di controllo, che è un sistema aperto, allora servono dei nuovi principi fondamentali validi qui.

Considerando una particella P generica con un istante di tempo t, ha delle coordinate (lagrangiana, sto seguendo la particella), la somma delle sue forze uguaglia massa per accelerazione (legge vettoriale). Nel trapezoide, posso rappresentare in blu il lagrangiano e in rosso l’euleriano, posso dire che la velocità in quel punto dovrà essere uguale alla velocità nel volume di controllo (vista da entrambe le modalità) che servirà per la misura dell’accelerazione (calcolando le derivate delle velocità rispetto a t): tengo conto che anche Xp, Yp e Zp sono in funzione del tempo, quindi definisco la derivata della velocità rispetto al tempo. Alla fine sono interessato alla variazione di Ux rispetto al tempo, rispetto a Xp rispetto al tempo. Questa era la definizione generica se la velocità dipende da più variabili.

Seguendo nello spazio dXp/dt con anche Y e Z, non sono nient’altro che le velocità con la quale si sta muovendo la particella. Inoltre le coordinate Xp, Yp e Zp in funzione del tempo, sono analoghe sia in Lagrange che in Eulero, quindi, per ogni direzione:

E in forma vettoriale il campo di accelerazione vale: Da questa definizione, ho le tre componenti lungo x, y e z che rappresentano l’accelerazione convettiva, il primo valore con u è l’accelerazione locale.

Moto stazionario

Moto in cui nessuna delle grandezze definite varia nel tempo, quindi quando ho scritto i campi di moto, la t sparisce, sono solo tutte funzioni di x, y e z, non significa che sia fermo, ma che in un determinato punto ha sempre lo stesso valore nel tempo.

L’accelerazione locale è diversa da zero solo se il modo è instazionario, invece l’accelerazione convettiva può essere non nulla anche se il moto è stazionario. Ciò significa che, definendo la forma di u, che è una funzione, posso comunque avere un’accelerazione avendo una determinata t. La locale ha una dipendenza esplicita, la convettiva ci dice che la P si sta muovendo in una zona del volume in cui c’è una V diversa (considero il campo di moto come una funzione).

Per comodità posso chiamare i valori definendo la derivata totale, che tiene conto dell’accelerazione di una particella nel campo di moto:

Visualizzazione del campo di moto

Esistono diverse tecniche per la visualizzazione:

• Linee di corrente/flusso: è una linea in cui in ogni punto, il vettore velocità è tangente alla linea stessa. Se il campo è instazionario, le linee di corrente saranno diverse da istante ad istante. Esempio: linea di flusso all’interno di un vaso con aneurisma. Le linee vengono colorate con l’intensità del vettore velocità. C’è anche il concetto di tubo di flusso, avendo una linea continua in un dominio chiuso, la superficie non deve essere una linea di flusso di per sé, e tutte le linee di flusso interne seguite costituiscono un tubo di flusso. Definisco il tubo di flusso come un insieme di linee di flusso con velocità tangente, non ci saranno componenti della velocità che attraversano le linee di flusso quindi il fluido che sta entrando nella zona in ingresso, si manterrà costante e non uscirà in altre parti se non ingresso e uscita, non può essere attraversata da altro fluido;
• Traiettorie: è il percorso effettivo effettuato da una particella fluida, la vedo muovere nello spazio. È individuata dall’insieme delle coordinate x, y e z di tutti i punti raggiunti dalla particella;
• Linee di fumo: molto usate in ambito sperimentale. Immagino un tubo trasparente con dell’acqua e metto all’inizio una cannuccia che inietta dell’inchiostro rosso nel condotto, queste sono le linee di fumo. Definendolo in maniera formale, è il luogo delle particelle di fluido che sono passate in sequenza in uno stesso punto del campo.

Se il flusso è stazionario, coincidono con la stessa linea. Tutte e tre però normalmente sono diverse (stazionario se non dipendono dal tempo). Posso ora legare lo sforzo con le direzioni del movimento. Esempio del condotto che si restringe (linee gialle di contorno), cerco di parcare le particelle in settori che entrano. Le linee sono da seguire nella loro evoluzione, e le figure sono soggette a molte deformazioni, soprattutto a parete, vicino ai bordi ciò per spiegare come ci sono sia traslazioni, rotazione che compressioni o deformazioni generali.

Siccome tutto ciò avviene in un fluido, in un bicontinuo, ci si interessa alla velocità con cui avviene la deformazione, e la velocità di traslazione è definita completamente dalla conoscenza del vettore velocità u. In alcuni casi esistono dei flussi che no.