Appunti completi corso Advanced computational mechanics

Lezione 15/09/22 - Taunt membrane subject to a transverse pressure

Consideriamo una membrana soggetta a tensione (anche chiamata pretensione, quindi applicata prima dell'applicazione del carico transiente). Pertanto, questa tensione è la stessa in tutte le direzioni (quindi lo stato di tensione è isotropo). Invece di parlare di tensione nel piano, parliamo di:

S = tensione per unità di lunghezza (isotropo) [F/L]

Supponiamo di fissare la membrana lungo il confine (gamma) per considerare condizioni al contorno cinematiche (BC’s). Allora abbiamo:

p = p(x, y) pressione che agisce nella direzione z

Possiamo introdurre:

W è una funzione scalare che dipende da x e y.

Ipotesi

• Piccoli spostamenti, piccole pendenze;
• La tensione S rimane costante nella configurazione deformata (a causa dell'ipotesi 1).

Questo trattamento sarebbe pertinente per il caso di vibrazione di un tamburo. Considerando la figura a destra, la sezione trasversale (C-S) della membrana nel piano x-z, dobbiamo scrivere l'equazione di equilibrio di questo elemento in direzione verticale. Introduciamo quindi la pendenza:

Spostandoci da x a x+dx l'angolo cambierà così otterremo α+dα:

Secondo la nostra ipotesi, la tensione nella membrana rimane la stessa, quindi Sdy è una forza per unità di lunghezza per una distanza infinitesimale.

Scriviamo ora l'equilibrio verticale dell'elemento della membrana (le derivate parziali sono espresse usando una virgola (,)).

Osservazioni

• Il segno negativo è messo perché la componente verticale è orientata verso il basso;
• p è funzione di x, y (nota);
• Alla fine otteniamo l'equazione governante:

Se dobbiamo studiare la vibrazione di, per esempio, un tamburo, dobbiamo aggiungere il termine di inerzia che contiene l'accelerazione.

Condizioni al contorno statiche

Certamente abbiamo casi in cui è possibile avere condizioni al contorno statiche (BC). È possibile avere il problema precedente con BC statiche e non cinematiche? Sì. Possiamo pensare che considerando che siamo al confine della membrana e in qualsiasi punto definiamo una normale uscente n. Se ci posizioniamo localmente in un punto del confine possiamo pensare di rappresentare localmente la membrana nel piano w (direzione verticale) -n (direzione uscente).

Supponiamo di avere un dispositivo che è una sorta di guida che permette alla membrana di scorrere verticalmente in modo libero. Possiamo introdurre:

Dove: V = forza per unità di lunghezza sul confine;

Abbiamo un angolo negativo, perché se positivo, rispetto alla figura, la pendenza sarebbe negativa e non vogliamo questo. E quindi per ottenere la proiezione della forza della membrana nella direzione verticale:

Otteniamo:

È una condizione al contorno di Neumann perché è un problema noto.

Energia potenziale totale (TPE) per il problema della membrana

Sappiamo che abbiamo 2 casi per passare attraverso l'approccio F.E.:

• Dal risultato finale, passare dalla formulazione forte del problema alla formulazione debole; formulare la TPE (la soluzione sarà ''w'' che darà il minimo TPE);
• Così seguendo 2, introduciamo:

Avremo quindi 3 termini:

Osserviamo che per il termine:

• Il termine 1 non dipende da ''w'' quindi possiamo 1) ignorare questo termine per minimizzare la TPE rispetto a tutte le configurazioni possibili;
• Il termine 2 è importante, e può essere calcolato come (osservando l'elemento deformato della membrana, per mezzo di 2 C-S, uno nel piano x-z e uno nel piano y-z) (con l'applicazione del teorema di Pitagora).

Ora poiché abbiamo piccole pendenze (ipotesi), poiché nella formula c'è una pendenza al quadrato, questa sarà una quantità molto piccola. Quindi possiamo definire la serie di Taylor:

Così otteniamo:

L'area allungata è data da dSx x dSy, e quindi possiamo calcolare:

(dSx e dSy possono essere ignorati poiché sono molto piccoli).

Per l'ultimo termine:

• Il primo integrale è il lavoro svolto dal carico esterno;
• Il secondo è la forza verticale che agisce sulla direzione verticale del confine (se abbiamo una porzione del confine della membrana in cui applichiamo BC statiche).

Osservazioni

• Nelle formule abbiamo ½ - generalmente (ricordando il caso di una molla in cui consideriamo l'allungamento e la forza di una molla lineare, poiché forza = rigidità x allungamento) deriva dall'area sotto la linea generata in un grafico e-F con una molla lineare.
• Ma nel problema della membrana la forza non parte da zero e poi raggiunge un certo valore. Quindi coeff ½ sorge se abbiamo un processo di caricamento da 0 a un valore.

Taunt membrane problem: generation of the FE equations by enforcing stationarity of the TPE

Quindi ora TPE è:

Da un teorema ben noto, se consideriamo funzioni cinematicamente ammissibili (condizioni BC sufficientemente regolari, sappiamo che la soluzione esatta per non avere problemi) e soddisfiamo cinematicamente ha la proprietà di minimizzare la funzione:

Quindi ora vogliamo introdurre una discretizzazione. Quello che facciamo è:

(es. = per esempio) Espresso il modellamento degli spostamenti per mezzo di FUNZIONI FORMA:

Poiché abbiamo un gradiente, dobbiamo definire la derivata parziale dello spostamento rispetto a x, y:

(quindi avremo 2 diverse forme di funzioni forma)

B = matrice che contiene le derivate delle funzioni forma; Inoltre possiamo definire, data la definizione superiore:

Osservazioni

• K è simmetrica per costruzione;
• Pp = vettore nodale equivalente dovuto al lavoro del carico di pressione;
• Pv = vettore nodale equivalente dovuto a forze verticali applicate sul confine;
• Dove: che la soluzione è caratterizzata dal dare il minimo di queste funzioni, è sufficiente far valere la CONDIZIONE DI STAZIONARIETÀ:
• Dove: W = sconosciuto; P = noto;

Anti-plane shear

È il problema di elasticità più semplice possibile in cui ci imbattiamo in un'equazione in cui l'incognita è uno scalare. L'anti-plane shear è uno dei casi più semplici di deformazione elastica che i solidi elastici possono subire.

Considera un cilindro elastico omogeneo isotropo con generatori paralleli all'asse z e sezione trasversale Ω.

• (Costante) Il cilindro è soggetto a:
• Sollecitazioni superficiali prescritte sul suo confine laterale (o spostamenti superficiali prescritti) con componente diversa da zero solo nella direzione z;
• Forze di corpo prescritte, solo nella direzione z. Questi carichi non variano nella direzione z.

Il cilindro è considerato infinitamente lungo (sufficientemente lungo in modo che gli effetti di estremità siano trascurabili). Facendo queste ipotesi, avremo che la componente di spostamento in x e y (u,v) sarà uguale a zero quindi:

Inizia dal campo di spostamento u=0, v=0, w=w(x,y)

Scriviamo (per elasticità lineare isotropica, piccole deformazioni) le equazioni usuali:

• Equazioni di spostamento (da qui otteniamo le deformazioni);
• Legge elastica (da qui otteniamo le tensioni);
• Controlla che soddisfiamo le equazioni di equilibrio indefinite e le equazioni di equilibrio di confine (questo è soddisfatto se la trazione di confine è solo nella direzione z) che lo stato elastico conseguente è compatibile con le ipotesi fatte nella diapositiva precedente.

Quindi controlliamo:

Dove:

G = modulo di taglio;

Equazione di Cauchy:

Per l'equazione di equilibrio indefinita superiore l'unica equazione significativa è il numero di componenti 3;

W + W = operatore laplaciano;

Neumann BC:

Quindi l'equazione governante del problema di anti-plane shear è:

2∇

Dove: w = operatore di Poisson;

Lezione 16/09/22 - Heat conduction (2D)

Considera un cilindro solido con generatori paralleli all'asse z e sezione trasversale costante Ω. Il cilindro, omogeneo e termicamente isotropo (ipotesi), è soggetto a azioni termiche esterne che non variano con z (BC e caricamento non variano con z).

Il caricamento termico = carichi al contorno (quindi possiamo avere un flusso di calore al confine) + generazione di calore interna (a causa di reazioni chimiche all'interno del corpo, es. struttura in calcestruzzo).

Il cilindro è considerato infinitamente lungo (sufficientemente lungo in modo che gli effetti di estremità siano trascurabili). Qui ci si concentra sul problema in regime stazionario (indipendente dal tempo).

Ogni piano // piano (x,y) è un piano di simmetria per il sistema.

«Analisi termica»: calcolo della temperatura e del flusso di calore all'interno del corpo solido per BC date.

Qui ci si concentra sul problema in regime stazionario (indipendente dal tempo). Quindi le BC possono essere lungo il confine:

(qz è zero perché la temperatura in ogni CS è zero perché non abbiamo flusso.)

Questo è una sorta di flusso medio, quindi per passare a una definizione puntuale del flusso di calore dobbiamo usare il processo di limitazione ΔT. In modo che:

(quindi utilizzando una combinazione lineare dei 2 flussi precedenti possiamo calcolare il flusso attraverso una superficie con normale n).

Poi abbiamo la legge di Fourier che dice che il flusso è proporzionale alla derivata prima della temperatura. Segno meno perché il flusso è nella direzione opposta al gradiente della temperatura.

L'ultimo ingrediente è il:

Osservazioni

• -dz = 1 (a causa dell'ipotesi).

Nell'equazione sopra abbiamo un termine con un ‘’- ‘’-

• Questo è perché questo termine è un contributo a un calore uscente (ma stiamo parlando di un calore entrante quindi questa è la ragione del meno).
• Osservando l'elemento, ha una normale esterna che è qx. L'incremento del flusso nella direzione x avviene perché passiamo dalla posizione x a x+dx.

Dxdy= area della superficie;

(L'aumento dell'energia interna dà origine a un aumento di temperatura attraverso una capacità termica crescente (che è la quantità di energia da dare all'elemento per aumentare la temperatura di 1 grado).

Dividendo l'equazione per dx,dy,dz:

In condizioni di regime stazionario (SSC) l'ultimo termine a sinistra va via.

Abbiamo 3 BC per questo caso:

L'ultima BC si applica quando, osservando la figura: abbiamo un solido con fluido alla temperatura T, fluido in movimento e che si rinnova (continua a muoversi). Quindi il fluido è in grado di mantenere la temperatura T (in condizioni stazionarie questo non accade).

Coefficiente di trasferimento di calore = dipende dalla natura della superficie del corpo (superficie liscia, superficie ruvida…). Assumiamo che questo coefficiente sia noto.

Il flusso non è una quantità data e T è sconosciuta. Ma il flusso all'interno del corpo ma su una superficie del corpo è espresso come la formula data da ROBIN B.C.

2D steady state heat conduction problem solved by FEM application

Condizioni del problema: Γ1, Γ2 sono i confini della figura a destra. Simmetria rispetto alla linea diagonale. La risposta del sistema deve essere simmetrica.

Consideriamo: Per un problema come questo, perché correndo lungo il confine abbiamo una discontinuità, quindi abbiamo una soluzione irregolare ma l'irregolarità è liscia se risolviamo il problema con la formulazione FE.

Steady state heat conduction problem in 2D with convective BC

Condizioni:

• Piastra rettangolare (omogenea, isotropa)
• Temperatura data di 100 °C sul lato orizzontale inferiore
• Lato verticale sinistro isolato (flusso di calore zero)
• Condizioni al contorno convettive lungo i due lati restanti, con ambiente mantenuto a una temperatura di 0 °C e coefficiente di trasferimento di calore convettivo h = 750 W / (m² C)
• Conduttività termica del materiale: k = 52 W / (m C)

Il problema ha una soluzione esatta (analitica) data da Carslaw (1959); per il punto di confine A mostrato nella figura la temperatura è:

Uniform torsion of beams

Condizioni:

• Trave omogenea, isotropa, elastica di sezione costante caricata solo da due momenti torcenti (o coppie) uguali e opposti che agiscono sulle sezioni trasversali delle estremità della trave;
• Nessun vincolo contro la torsione delle sezioni originariamente piane (nella configurazione non deformata) è presente a nessuna delle estremità della trave. (la torsione è libera di manifestarsi)

(WARPING = manifestazione di spostamento nella direzione z)

Il problema può essere risolto con una formulazione di spostamento con una funzione di torsione (per spostamenti nel piano ogni sezione ruota come una lamina, ma dobbiamo introdurre anche spostamenti nella direzione z con le funzioni di torsione):

Partendo dagli spostamenti utilizziamo la relazione deformazione-spostamento per ottenere le deformazioni di taglio. Poi applichiamo la legge elastica.

Dobbiamo assicurarci che le tensioni in termini di spostamento soddisfino l'unica equazione di equilibrio indefinita che non è automaticamente soddisfatta (sarà la 3a equazione di equilibrio):

(stiamo operando l'operatore Laplace). Poi dobbiamo considerare le equazioni di Cauchy per dire che il confine (superficie laterale della barra prismatica) è libero (non c'è tensione applicata).

Sostituendo otteniamo:

(questa è una BC di Neumann)

Quindi, osservando il grafico a destra, se pensiamo al nostro confine su un piano x-y, mettendo un'ascissa s che corre lungo il confine possiamo dire che in ogni punto possiamo valutare le coordinate x, y e anche nx, ny (componenti della normale esterna).

Quindi possiamo dire che:

Ora dobbiamo considerare l'equilibrio (per definire la coppia che agisce sulla trave) alla fine della C-S (sui 2 basi della trave prismatica), verificando che le tensioni non riproducono alcuna forza di taglio. Quando facciamo questo troviamo il collegamento tra ϑ e la coppia che sta agendo:

ϑ = angolo di torsione per unità di lunghezza;

È più facile risolvere il problema con un altro approccio, la formulazione di stress (es. per risolvere il problema di sezione circolare o ellittica):

Assunzione

• Sono presenti solo le tensioni '''tau''' lungo xz e yz, che sono correlate alla funzione F per mezzo di quelle relazioni:

Facendo questo l'equazione di equilibrio indefinita è verificata identicamente. Il problema ora è che:

Quindi partiamo da:

L'ultimo risultato può essere ottenuto assegnando la coppia o assegnando la torsione per unità di lunghezza, che è la rotazione relativa tra 2 sezioni a una distanza unitaria l'una dall'altra.

L'equazione completa ottenuta è un'equazione di Poisson.

Ora dobbiamo discutere i BC applicando l'equazione di Cauchy (di nuovo ipotizziamo che la superficie laterale della nostra trave sia libera da tensioni):

(otteniamo che il risultato è che F deve essere costante su gamma) '''tau'''

Dobbiamo definire la coppia dicendo che le tensioni devono dare origine alla coppia applicata. Quindi sostituendo in termini di funzioni di stress come prima e con alcune operazioni otteniamo:

Application: beam of square cross-section subject to torsion

Problema

Determinazione delle tensioni quando (angolo di torsione per unità di lunghezza) è prescritto.

Risolveremo questo problema utilizzando l'approccio della funzione di stress + analisi FE (dobbiamo effettuare un'analisi fittizia SS).

Soluzione

2Gϑ = valore numerico attribuito alla generazione di calore interna;

K = 1 (poiché in questo caso la conducibilità non è presente nel problema di torsione).

Il codice mi darà come risultato la temperatura e la prima derivata della temperatura (quest'ultima rappresenterà le tensioni).

Application: beam of square cross-section subject to torsion

Problema

Determinazione delle tensioni quando la coppia è prescritta.

Soluzione:

Beam torsion elliptical cross section FE formulation with MARC

Consideriamo un quarto del dominio ellittico perché, pensando alla funzione F, quando abbiamo un problema di torsione possiamo pensare a un problema di conduzione del calore ma possiamo pensare anche a un problema di membrana. Ricordando l'analogia tra problema di torsione risolto mediante funzione di stress e problema di membrana in cui l'incognita era uno spostamento verticale, ricordando:

Per il problema della membrana:

2{∇ (, ) + (, ) / = 0 = 0 Γ

Per il problema torsionale:

2{∇ (, ) = −2 = 0 Γ

Osservando il problema torsionale, la funzione F è analoga allo spostamento del problema della membrana. Considerando il caso in cui la pressione è costante, la membrana si gonfierà, quindi osservando lo spostamento della membrana w, a causa della simmetria del problema (poiché la pressione è costante), la membrana si gonfierà in modo simmetrico. Quindi la pendenza della membrana nella direzione x sarà = 0. Ma a causa dell'analogia w= T quindi possiamo scrivere che la derivata di T rispetto a x e y =0.

Quindi, poiché conosciamo i BC, possiamo discretizzare il problema e risolverlo in termini di temperatura. (''Grafico slide'')

Lezione 23/09/22 - Stress concentration problems in elasticity (with finite value of the peak stress)

Vediamo un'applicazione interessante relativa a problemi di concentrazione delle tensioni. In alcuni punti abbiamo un punto in cui abbiamo un picco di stress. Se consideriamo ad esempio una trave sotto carico distribuito con una crepa, se consideriamo un elemento infinitesimale nella crepa questo elemento sarà soggetto a stress infinito. Per carichi concentrati in un punto, in questo punto avremo una concentrazione di stress. È molto importante per l'ingegnere essere consapevole degli effetti degli "accumulatori di stress" come buchi, raccordi, intagli, scanalature che possono essere presenti in una parte di macchina o membro strutturale sotto carichi esterni.

Abbiamo un picco di stress espresso come:

(Quindi se una persona ignora il fatto che in un punto c'è un accumulatore di stress, valuteremmo lo stress con questa formula.)

Stress Concentration Factors (K’s) per numerose geometrie e carichi "semplici" sono stati determinati da ricercatori (a volte analiticamente) e possono essere trovati in forma grafica (o come dati tabulati) nella letteratura. Ci stiamo riferendo qui a situazioni in cui il valore del picco di stress è finito (nessuna singolarità di stress elastico, come con crepe o angoli rientranti o forza concentrata).

I valori di picco di stress (e quindi i fattori di concentrazione di stress) possono essere determinati in modo molto efficiente con il FEM (approccio di spostamento) senza richiedere disposizioni speciali: le tensioni in posizioni critiche convergeranno ai valori corretti se la mesh è adeguatamente raffinata (sia globalmente che localmente).

Concentrazione di stress in un buco circolare (piastra infinita):

Consideriamo una piastra infinita con un buco caricato da una trazione orizzontale (anche chiamata stress remoto). La soluzione si riferisce a un buco circolare con raggio a, contenuto in una piastra infinita soggetta a un stress a trazione uniforme remoto σ =σx 0. Il buco ha un raggio a. La soluzione analitica ci dice che K è dato da:

L'accumulatore di stress agisce a causa della presenza del buco. Se la dimensione di una piastra è sufficientemente grande.