Antenne per TLC Cellulari

Prefazione

Questa premessa che scrivo serve al solo scopo di far capire ad un eventuale lettore di questi appunti un concetto fondamentale. Quando si studia una qualsiasi materia universitaria, in questo caso antenne per telecomunicazioni cellulari, non si può basare il proprio studio solo su degli appunti scritti, ma è assolutamente necessario avere sotto mano un libro di testo. Perché? Beh, ci sono molti motivi:

• Un libro è sicuramente completo perché tratta più argomenti e non si limita solo a quelli che vengono spiegati a lezione dal professore.
• Un libro è scritto sicuramente in una lingua più fluida e dunque i concetti vengono spiegati nel modo più semplice e in un italiano corretto.
• Un libro è scritto da delle persone competenti che hanno molti anni di esperienza, viceversa gli appunti sono scritti da studenti come me. Nelle dispense può capitare che un concetto sia espresso non nel migliore dei modi o che addirittura (e spero non sia il mio caso) venga interpretato personalmente risultando alla fine scritto in modo impreciso se non del tutto errato.

Da queste quattro righe che ho scritto si capisce che usare un libro di testo per studiare è assolutamente d’obbligo, ma allora vi domanderete a cosa servono questi appunti? Questi appunti servono come integrazione al libro, come se fossero un quaderno personale sul quale si siano scritte le proprie note e che vadano eventualmente corrette e/o integrate studiando dal libro. Le dispense sono un valido aiuto per ripassare, ma sta allo studente capire se in queste sono presenti errori e/o inesattezze che debbano essere corrette.

Comunque, spero che queste dispense che ho scritto possano essere di aiuto agli studenti e che siano scritte senza troppi errori.

Giancarlo Ippolito

Sommario

........................................................................................................................................... 1

• Prefazione1
• Introduzione alle antenne ....................................................................................................... 3
• 1.1 La radiazione elettromagnetica................................................................................................... 4
• 1.2 Le antenne ............................................................................................................................... 14
• 1.3 Classificazione dei problemi di antenne e separazione delle regioni di campo ...................... 22
• 1.4 Antenne a dipolo ...................................................................................................................... 27
• 1.5 La radiazione elettromagnetica................................................................................................. 38
• Antenne per stazioni radio base ......................................................................................... 47
• 2.1 Allineamenti di antenne............................................................................................................ 48
• 2.2 Problemi di diversità ................................................................................................................ 59
• 2.3 Downtilt.................................................................................................................................... 68
• 2.4 Antenne intelligenti .................................................................................................................. 72
• Antenne per terminali mobili .............................................................................................. 75
• 3.1 Antenne per terminali mobili ................................................................................................... 76
• 3.2 Antenne a microstriscia ............................................................................................................ 80
• 3.3 Caratteristiche delle antenne integrate...................................................................................... 91
• 3.4 Modello a linea di trasmissione per l’analisi di antenne integrate ......................................... 103
• 3.5 Modello a cavità per l’analisi di antenne integrate................................................................. 110
• Appendici ..................................................................................................................................... 122
• Potenziali elettrodinamici............................................................................................................. 123
• Condizioni al contorno ................................................................................................................. 126
• Trattazione delle equazioni di Maxwell ....................................................................................... 128
• Impedenza, adattamento e perdite nelle antenne.......................................................................... 132
• Linee di trasmissione.................................................................................................................... 134

.................................................................................................................................. 145

Bibliografia

Capitolo 1

Introduzione alle antenne

Dalla fisica è noto che la presenza di una carica elettrica non è sufficiente a dare luogo ad un fenomeno di radiazione elettromagnetica perché tale fenomeno si ha solo se l’elettrone è dotato di moto accelerato fornito dalla presenza di un campo elettrico. Ricordiamo inoltre che una carica sottoposta ad un moto circolare uniforme possiede una accelerazione dovuta alla forza centripeta che agisce su lei, rendendola in grado di irradiare. L’accelerazione dell’elettrone, come per qualsiasi corpo, può essere positiva (l’elettrone acquista velocità) oppure negativa (l’elettrone perde velocità), ma in entrambi i casi l’energia posseduta dall’elettrone viene spesa per irradiare.

Figura 1

Nella figura 1 viene rappresentato il principio base di radiazione di un corpo metallico filiforme (antenna) sottoposto all’azione di un campo elettrico esterno fornito da un generatore generico. Gli elettroni vengono accelerati dalla presenza del campo elettrico, quindi viaggiano lungo tutto il corpo metallico ad una certa velocità. Giunti alle estremità di tale corpo gli elettroni in movimento, non potendo andare oltre, subiscono una forte decelerazione dando luogo al fenomeno della radiazione elettromagnetica. Avendo, finora, preso in considerazione un corpo filiforme, si è supposto che la corrente sia circolante solo lungo la direzione del versore n, trascurando totalmente la corrente della sezione trasversale dS.

Non deve stupire il fatto che all’interno di un corpo, apparentemente uguale ad un circuito aperto, circoli corrente, poiché le linee di campo si chiudono attraverso il dielettrico esterno (l’aria). Quindi non è presente una corrente di conduzione ma una corrente di spostamento.

Gli elettroni in movimento danno luogo alla sorgente impresso elettrica J tramite la relazione: →ρ=⋅Jv Dove →ρ è la densità di carica e è la media nel tempo della velocità degli elettroni.

La determinazione dei campi elettrico E e magnetico H avviene mediante la risoluzione delle due equazioni di Maxwell e l’ausilio di due potenziali vettori detti potenziale vettore elettrico e potenziale vettore magnetico. ωIpotizzando una eccitazione armonica di tipo sinusoidale monocromatica , le equazioni di Maxwell ai rotori, scritte nel caso del vuoto ed in presenza di sorgenti impresse diventano le seguenti:

ωµ impr( ) ( ) ( )∇×= − −E r H r J rj 0 mimprωε∇×= −+H(r) E(r) J (r)j 0 e

Per dualità è stata introdotta anche la sorgente impressa magnetica Jim.

Applicando il principio della sovrapposizione degli effetti, si può considerare il contributo di una sorgente impressa per volta; se si suppone Jim=0 il campo elettromagnetico può essere descritto dal solo potenziale vettore magnetico A(r), mentre se si considera Jie=0, dualmente tutto il campo elettromagnetico è esprimibile attraverso un potenziale vettore elettrico F(r).

Considerando Jim=0 si ha:

1ωµ= −+∇∇⋅E(r) A(r) A(r)j 0 ωεj 0=∇×H(r) A(r)

Considerando Jie=0

1ωε= −+∇∇⋅H(r) F(r) F(r)j 0 ωµj 0=−∇×E(r) F(r)

Sommando i due effetti si ottengono le espressioni finali dei due campi:

1ωµ= −+∇∇⋅−∇×E (r) A(r) A(r) F(r)j 0tot ωεj 0

1ωε=∇×−+∇∇⋅H (r) A(r) F(r) F(r)j 0tot ωµj 0

Per determinare i due potenziali vettori A(r) e F(r) si usa la Funzione di Green, la quale è la risposta impulsiva che una determinata struttura ha quando viene fornito un impulso di un dato tipo di sorgente. La funzione di Green indica dunque qual è il comportamento di una certa struttura quando essa viene eccitata da un impulso di una sorgente. Conseguentemente si ha che:

• La funzione di Green dipende dal tipo di struttura;
• La funzione di Green dipende dal tipo di eccitazione in ingresso;
• Cambiando struttura o cambiando eccitazione cambia la funzione di Green;

Supponendo di essere in una regione infinitamente estesa occupata dal vuoto e di avere solo sorgenti impresse elettriche, la funzione di Green si rappresenta con la seguente formula:

'−⋅−j k r r0e'− =G (r r )Ae 'π4 −r rr: vettore di osservazione r’: vettore sorgente

Tramite la funzione di Green è possibile ricavare l’espressione del potenziale vettore magnetico A(r) associato non più ad una sorgente impulsiva ma ad una sorgente distribuita nello spazio.

'−⋅−j k r r0e' '∫ ∫' impr ' impr '= −⋅⋅ = ⋅ ⋅A(r) G (r r ) J (r ) J (r )dV dVe e'πAe 4 −r r''V V

Come si può notare, l’integrazione viene fatta sul volume di sorgente V’, cioè sulla porzione di spazio dove sono allocate le sorgenti generatrici del campo, al di fuori del quale non sono presenti sorgenti. Considerando una sorgente impresso elettrica data da un dipolo infinitesimo e diretta lungo l’asse z come in figura 2, l’espressione di impressa sarà data da:

Jie ' ' '' δδδˆ ( ) ( ) ( )= ⋅⋅⋅⋅⋅⋅J (r ) z I l x y z0ie

Figura 2 impr 'Sostituendo nell’espressione del potenziale vettore la si ottiene:

J (r )e' '−⋅−−⋅−j k r r j k r r0 01 1e e' ' ' ' '∫ ∫impr ' δδδˆ ( ) ( ) ( )= ⋅⋅⋅ = ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅A(r) J (r ) dV z I l x y z dV0eπ π' '4 4−−r r r r' 'V V

−⋅−j k r r01 e ' ' ' '∫ δδδˆ ( ) ( ) ( )= ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ =z I l x y z dV0π '4 −r r'V

−⋅j k r1 0eˆ= ⋅⋅⋅A(r) z I l0π4 r

Il potenziale vettore è diretto lungo la direzione del versore z, come d’altronde ci si aspettava A(r) perché il dipolo infinitesimo è diretto anch’esso lungo z. L’espressione di A(r) che è stata determinata a partire dall’integrale '∫ ' impr '= −⋅⋅A(r) G (r r ) J (r ) dVeAe'V va poi sostituita nelle espressioni

1ωµ= −+∇∇⋅E(r) A(r) A(r)j 0 ωεj 0=∇×H(r) A(r)

per calcolare le componenti E ed H del campo elettromagnetico. Risparmiando i semplici passaggi matematici che bisogna eseguire si ottengono i seguenti risultati per il campo elettrico:

  −⋅⋅j k r η⋅1 10 ke   0 0 θ( ) 2 cos= ⋅⋅⋅⋅⋅−⋅⋅ E r j I l  0r ( )2 π4⋅⋅⋅r j k r k r  0 0 −⋅⋅j k r η⋅1 10 ke 0 0 θ( ) 1 sin= ⋅⋅⋅ + −⋅⋅ E r j I l jθ 0 ( )2 π4⋅⋅⋅ r j k r k r 0 0( ) 0=E rϕ

e per il campo magnetico:

( ) 0=H rr ( ) 0=H rθ −⋅⋅  j k r 10 ke 0 θ( ) 1 sin= ⋅⋅⋅ + ⋅⋅H r j I l  ϕ 0 π4⋅⋅r j k r 0

Per la simmetria sferica che presenta il dipolo infinitesimo la componente lungo del campo φ elettrico risulta essere identicamente nulla come anche le componenti del campo magnetico lungo r e θ.

Una volta trovate le espressioni dei campi E ed H è possibile calcolare la potenza complessa associata al dipolo infinitesimo tramite il vettore di Poynting, dato dalla seguente formula:

1 ^= ⋅×S(r) E(r) H (r)2

Da questa formula si ricavano le 3 componenti del vettore:

2 2 2 ⋅η⋅1I l k0 20 0 θ( ) 1 sin= ⋅−⋅⋅ S r jr 2 3 2π( ) 32⋅r k r 02 2 2 2 ⋅η⋅1 1I l k0 0 0 θ( ) sin 2⋅⋅= ⋅+ S r jθ 2 3 2⋅π( ) 32⋅k rr k r 0 0( ) 0=S rϕ

Dato il vettore di Poynting la potenza si calcola attraverso il flusso del vettore stesso su di una superficie sferica di raggio r generico

2π π 22  η( )⋅⋅⋅ 1I k l0 0 02∫ ∫ θ θ ϕˆ sin 1⋅⋅⋅⋅⋅= −⋅ S(r)r r d d j 3π12 ⋅( )⋅k r 00 0

La potenza calcolata tramite il vettore di Poynting possiede una parte reale e una parte immaginaria ed è importante osservare che:

• La parte reale è un fattore sempre maggiore di 0 e mai dipendente dal parametro distanza di osservazione r;
• La parte immaginaria ha una dipendenza da r del tipo 3; ciò vuol dire che man mano che ci si avvicina al dipolo la potenza immaginaria tende ad aumentare notevolmente.

Si introduce adesso la definizione di distanza elettrica, definita come il prodotto:

π2 ⋅ rπωµε 2⋅=⋅⋅⋅=⋅=⋅⋅k r r r0 0 0 λλ0 0

È importante ricordarsi che nella teoria della radiazione la distanza deve essere sempre confrontata con la lunghezza d’onda perché una distanza generica r è vista differentemente se le lunghezze d’onda sono diverse (vedi figura 3).

3000 3000r rλλ3= 0.030 0.003= =→Ad es. 100000 1000000= = = =r km 1 2 λλ0.030 0.00301 2

Figura 3

Per distanze elettriche molto piccole ( 1 ) il termine della potenza reale è trascurabile ⋅<<k r0 rispetto a quello della potenza immaginaria, dunque l’espressione scritta in precedenza diviene la seguente.

2 22 2 ⋅<<1ηη( ) ( )⋅⋅⋅⋅⋅⋅k r1 1I k l I k l00 0 0 0 0 0( ) 1= −⋅≅ −⋅ P r j j3 3ππ12 12⋅⋅( ) ( )⋅⋅k r k r 0 0

Ciò vuol dire che la potenza associata alla sorgente rimane immagazzinata nelle estreme vicinanze sottoforma di energia elettrica data la presenza del segno negativo. A grandi distanze per ( 1 ) il termine immaginario tende a zero cosicché è la parte reale della potenza a prevalere. ⋅>>k r0

2 22 2 ⋅>>1ηη( ) ( )⋅⋅⋅⋅⋅⋅k r1I k l I k l00 0 0 0 0 0( ) 1= −⋅≅ P r j 3ππ12 12 ⋅⋅( )⋅k r 0

La potenza reale indica l’energia che la sorgente