Analisi I - Formulario

Cheat sheet — Matematica | Maturità 2025/2026

Formule · Procedure · Trucchi per ogni tipo di quesito — Bergamini Barozzi Trifone

① Analisi matematica

1.1 Limiti — Formule fondamentali e forme indeterminate

Limiti notevoli:

lim(x→0) sin(x)/x = 1
lim(x→0) (1 − cos x)/x² = 1/2
lim(x→0) tan(x)/x = 1

lim(x→0) (eˣ − 1)/x = 1
lim(x→0) ln(1+x)/x = 1
lim(x→0) (aˣ − 1)/x = ln a

lim(x→±∞) (1+1/x)ˣ = e
lim(x→∞) xⁿ/eˣ = 0 (∀n)
lim(x→0⁺) x·ln(x) = 0

lim(x→0) (1 + αx)^(1/x) = eᵅ
lim(x→∞) ln(x)/xˢ = 0 (s > 0)
lim(x→0) (1+x)^(1/x) = e

Forme indeterminate → tecnica consigliata:

• 0/0 → fattorizza, razionalizza il coniugato, applica de L'Hôpital: lim f/g = lim f'/g'
• ∞/∞ → dividi per il termine di grado massimo al denominatore, oppure de L'Hôpital
• ∞ − ∞ → raccogli, usa il coniugato, porta a forma 0/0 o ∞/∞
• 0·∞ → scrivi come 0 / (1/∞) oppure ∞ / (1/0) → forma 0/0 o ∞/∞
• 1^∞ → f(x)^g(x) = e^(g(x)·ln f(x)), poi studia lim g·ln f → costante k → eᵏ
• 0⁰, ∞⁰ → stesso trucco: fᵍ = e^(g·ln f)

Attenzione: de L'Hôpital si applica solo se la forma è 0/0 o ±∞/∞.

Procedura — Limite con parametro (es. lim in funzione di α)

1. Individua la forma indeterminata al variare del parametro α.
2. Separa i casi: α < 1, α = 1, α > 1 (o α < 0, α = 0, α > 0).
3. In ogni caso risolvi il limite con le tecniche standard.
4. Indica il risultato per ciascun caso separatamente.

Procedura — Limite con funzione a tratti in x₀

1. Calcola il limite sinistro: lim(x→x₀⁻) f(x).
2. Calcola il limite destro: lim(x→x₀⁺) f(x).
3. Se i due valori coincidono → il limite esiste ed è quel valore.
4. Per continuità verifica anche che f(x₀) coincida con il limite.

1.2 Continuità & derivabilità

Classificazione dei punti di discontinuità:

• I specie (salto): lim⁻ ≠ lim⁺ (entrambi finiti)
• II specie: almeno un limite è ±∞ o non esiste
• Eliminabile: lim⁻ = lim⁺ = L ≠ f(x₀), oppure f non definita in x₀

Classificazione dei punti di non derivabilità:

• Punto angoloso: f'⁻(x₀) ≠ f'⁺(x₀) (entrambi finiti)
• Flesso verticale: f'⁻(x₀) = f'⁺(x₀) = ±∞ (stesso segno → flesso)
• Cuspide: f'⁻(x₀) = +∞ e f'⁺(x₀) = −∞ (o viceversa)
• Punto stazionario: f'(x₀) = 0

Procedura — Trovare a, b per continuità e derivabilità in x₀

1. Imponi continuità: lim⁻ f = f(x₀) = lim⁺ f → prima equazione in a, b.
2. Imponi derivabilità: f'⁻(x₀) = f'⁺(x₀) → seconda equazione.
3. Risolvi il sistema 2×2 nelle incognite a e b.
4. Verifica la natura del punto (stazionario? angoloso? flesso?).

1.3 Derivate — Formule e regole

Derivate elementari:

(xⁿ)' = n·xⁿ⁻¹
(eˣ)' = eˣ
(aˣ)' = aˣ·ln a
(ln x)' = 1/x

(sin x)' = cos x
(cos x)' = −sin x
(tan x)' = 1/cos²x

(arcsin x)' = 1/√(1−x²)
(arccos x)' = −1/√(1−x²)
(arctan x)' = 1/(1+x²)

(√x)' = 1/(2√x)
(|x|)' = x/|x| (x≠0)
(ˢ√x)' = (1/s)·x^(1/s−1)

Regole:

(f·g)' = f'g + fg' [prodotto]

(f/g)' = (f'g − fg') / g² [quoziente]

(f(g(x)))' = f'(g(x))·g'(x) [catena — chain rule]

Derivata funzione inversa: (f⁻¹)'(y₀) = 1 / f'(x₀) dove f(x₀) = y₀

Derivata implicita: differenzia entrambi i membri rispetto a x, isola dy/dx

Procedura — Tangente in P(x₀, y₀) punto del grafico

1. Calcola m = f'(x₀).
2. Equazione tangente: y − y₀ = m·(x − x₀).
3. Equazione normale: y − y₀ = −(1/m)·(x − x₀) (se m ≠ 0).
4. Se m = 0 → tangente orizzontale y = y₀; se m = ±∞ → tangente verticale x = x₀.

Procedura — Tangente dal punto esterno P(x₁, y₁) non sul grafico

1. Sia T = (t, f(t)) il punto di tangenza (incognita t).
2. La pendenza è m = f'(t).
3. La retta per T passa per P: (f(t) − y₁) / (t − x₁) = f'(t).
4. Risolvi l'equazione in t → ottieni i punti di tangenza → scrivi le rette.

Procedura — Tangente comune a due curve f e g

1. Imponi f(t) = g(t) (punto comune alle due curve).
2. Imponi f'(t) = g'(t) (stessa pendenza).
3. Risolvi il sistema nelle incognite (tipicamente t e parametri).
4. Scrivi la retta tangente nel punto trovato.

1.4 Teoremi del calcolo differenziale

Rolle: f continua in [a,b], derivabile in (a,b), f(a) = f(b) → esiste c ∈ (a,b) tale che f'(c) = 0

Lagrange: f continua in [a,b], derivabile in (a,b) → esiste c ∈ (a,b) tale che f'(c) = [f(b) − f(a)] / (b − a)

Cauchy: f, g continue in [a,b], derivabili in (a,b), g' ≠ 0 → esiste c tale che f'(c)/g'(c) = [f(b)−f(a)] / [g(b)−g(a)]

Weierstrass: f continua su [a,b] chiuso e limitato → f ammette max e min assoluti

T. valori intermedi (Bolzano): f continua in [a,b], f(a)·f(b) < 0 → esiste c ∈ (a,b) con f(c) = 0 (usato per garantire zeri)

Procedura — Verificare Lagrange e trovare il punto c

1. Verifica le ipotesi: continuità su [a,b] e derivabilità in (a,b).
2. Calcola il rapporto incrementale: k = [f(b) − f(a)] / (b − a).
3. Poni f'(x) = k e risolvi → ottieni uno o più valori di c.
4. Verifica che c appartenga all'intervallo aperto (a,b).

Procedura — Dimostrare esistenza di uno zero in [a,b]

1. Verifica che f sia continua su [a,b] (T. degli zeri di Bolzano).
2. Calcola f(a) e f(b).
3. Se f(a)·f(b) &lt