Analisi di circuiti resistivi e metodi di semplificazione: serie, parallelo ed equivalenza

Paolo Maffezzoni nota 3: analisi di circuiti resistivi

Ingegneria informatica e dell’automazione – Politecnico di Milano

2026

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Contents

• Capitolo
• Circuito serie
• Circuito parallelo
• Equivalenza tra bipoli
• Equivalente di circuiti di tipo serie
• Resistori in serie
• Serie di generatori di tensione
• Serie con generatore ideale di corrente
• Equivalente di circuiti di tipo parallelo
• Resistori in parallelo
• Esercizi serie/parallelo di resistori
• Parallelo di generatori di corrente
• Parallelo con generatore ideale di tensione
• Casi senza soluzione o con indeterminazione
• Trasformazione serie-parallelo dei generatori reali
• Esercizi sulla composizione dei generatori
• Potenza elettrica

1.1 Circuito serie

Iniziamo con lo svolgere l’analisi del circuito elementare mostrato in figura composta da una singola maglia di resistori alimentati da un generatore ideale di tensione.

Figura 1.1: Circuito serie.

Con il termine "analisi del circuito" intendiamo che, assegnato il modo in cui i componenti sono collegati tra di loro ed i loro legami costitutivi, vogliamo determinare tutte le correnti e le tensioni del circuito.

Sebbene il nostro scopo sia quello di calcolare tutte le possibili variabili del circuito, nella pratica risolutiva si cerca di individuare un sottoinsieme il più possibile ristretto di correnti o di tensioni che si assumono come incognite del problema. Il valore di dette incognite si ottiene imponendo la validità delle leggi di Kirchhoff e delle equazioni caratteristiche di ciascun elemento. Per prima cosa elenchiamo dette leggi/equazioni per il circuito in fig. 1.1.

Carta e penna.

• Applicando la legge di Kirchhoff delle correnti ai nodi del circuito, cioè nei punti di collegamento dei bipoli, si ha: i_m = i₂ = i₃ = i₁ (1.1)
• Si scrivono i legami costitutivi: v₁ = R₁i₁; v₂ = R₂i₂; v₃ = R₃i₃; v₄ = E. (1.2)
• Si scrive la legge di Kirchhoff delle tensioni per la maglia: v₁ = v₂ + v₃ + v₄. (1.3)

Il procedimento risolutivo consiste nell’organizzare opportunamente le equazioni di sopra in accordo coi seguenti passaggi logici:

1. Si assume i_m, la corrente che scorre nella maglia, come incognita del problema in quanto dalla sua conoscenza e dalla (1.1) si possono facilmente dedurre i valori di tutte le altre correnti del circuito.

2. Si sostituisce i_m nelle (1.2) ottenendo: v₁ = R₁i_m; v₂ = R₂i_m; v₃ = R₃i_m; v₄ = E. (1.4)

3. Infine, si sostituiscono le (1.4) nella (1.3) pervenendo all’equazione finale: E = i_m(R₁ + R₂ + R₃). (1.5)

È quindi possibile risolvere la (1.5) e ricavare l’espressione della corrente i_m:

i_m = E / (R₁ + R₂ + R₃). (1.6)

e da essa determinare quella delle correnti nei resistori e della loro tensione. Si ottiene infatti:

v_k = [R_k / (R₁ + R₂ + R₃)]E, per k = 1, 2, 3, che viene detta formula del partitore di tensione. (1.7)

È facile verificare che la trattazione mostrata per tre resistori si estende al caso generale in cui i resistori collegati nella maglia siano N. Questo tipo di collegamento si dice di tipo serie in quanto i resistori sono attraversati dalla stessa corrente e le loro tensioni si sommano lungo la maglia.

Nel caso generale si ottiene:

i_m = E / Σ_i=1^N R_i. (1.8)

e quindi:

v_k = [R_k / Σ_i=1^N R_i]E, per k = 1, ..., N. (1.9)

Applichiamo il metodo al circuito esempio in fig. 1.2.

Si ottiene:

i_m = 24 / (30 + 20 + 10) = 0.4 A

e quindi:

v₁ = 0.4 · 30 = 12 V; v₂ = 0.4 · 20 = 8 V; v₃ = 0.4 · 10 = 4 V.

Figura 1.2: Esempio numerico di circuito serie.

Si noti che v₁ + v₂ + v₃ = 12 + 8 + 4 = 24 V, cioè il valore di tensione impresso dal generatore, come deve essere dalla KVL applicata alla maglia, inoltre il valore 24 V si ripartisce tra i resistori in modo proporzionale alle resistenze.

1.2 Circuito parallelo

Nel secondo esempio analizziamo il circuito descritto in figura 1.3 (Sinistra) dove tre resistori ed un generatore ideale di corrente sono collegati ai medesimi nodi A, B. Questo circuito viene talvolta chiamato "binodale".

Nella implementazione pratica questo circuito viene spesso realizzato sostituendo i due nodi con due conduttori, considerati ideali e modellabili come corto circuito, come mostrato in figura 1.3 (Destra).

Figura 1.3: (Sinistra) Circuito binodale. (Destra) Realizzazione in cui i nodi vengono sostituiti da due corto circuiti.

Le leggi/equazioni che governano i due circuiti in fig. 1.3 sono le stesse come di seguito riportato, quindi è indifferente considerare l’uno o l’altro:

• Dalla legge di Kirchhoff delle tensioni si ha: v₁ = v₂ = v₃ = v_AB. (1.10)
• Si scrivono i legami costitutivi nella forma controllata in tensione: i₁ = G₁v₁; i₂ = G₂v₂; i₃ = G₃v₃; i₄ = I_s. (1.11)

dove G_k = 1/R_k indica la conduttanza del resistore k.mo.

• Si scrive la legge di Kirchhoff delle correnti al nodo A per il circuito in fig. 1.3 (Sinistra) o equivalentemente alla superficie chiusa tratteggiata in rosso nel circuito in fig. 1.3 (Destra): i₁ = i₂ + i₃ + i₄. (1.12)

Il procedimento risolutivo segue i seguenti passaggi logici:

1. Si assume v_AB, cioè la tensione misurata ai nodi, come incognita del problema in quanto dalla sua conoscenza e dalla (1.10) si possono facilmente dedurre i valori di tutte le altre tensioni del circuito.

2. Si sostituisce v_AB nelle (1.11) ottenendo: i₁ = G₁v_AB; i₂ = G₂v_AB; i₃ = G₃v_AB; i₄ = I_s. (1.13)

3. Infine, si sostituiscono le (1.13) nella (1.12) pervenendo all’equazione finale: I_s = v_AB(G₁ + G₂ + G₃). (1.14)

È quindi possibile risolvere la (1.14) e ricavare l’espressione della tensione v_AB:

v_AB = I_s / (G₁ + G₂ + G₃). (1.15)

e da essa determinare quella delle tensioni sui resistori e della loro corrente. Si ottiene infatti:

i_k = [G_k / (G₁ + G₂ + G₃)]I_s, per k = 1, 2, 3, che viene detta formula del partitore di corrente. (1.16)

È facile verificare che la trattazione mostrata per tre resistori si estende al caso generale in cui i resistori collegati ai nodi siano N. Questo tipo di collegamento si dice di tipo parallelo in quanto i resistori hanno ai loro capi la stessa tensione v_AB ed inoltre le loro correnti si sommano al nodo, o attraverso una superficie chiusa.

Nel caso generale si ottiene:

v_AB = I_s / Σ_i=1^N G_i. (1.17)

e quindi:

i_k = [G_k / Σ_i=1^N G_i]I_s = [(1/R_k) / Σ_i=1^N(1/R_i)]I_s, per k = 1, ..., N. (1.18)

La formula (1.18) vale per qualunque numero di resistori in parallelo, tuttavia è istruttivo analizzare nello specifico il caso N = 2 di soli due resistori. In questo caso, per esempio nel calcolo di i₁, si trova:

i₁ = [(1/R₁) / (1/R₁ + 1/R₂)]I_s = [R₂ / (R₁ + R₂)]I_s

Similmente per i₂ vale:

i₂ = [(1/R₂) / (1/R₁ + 1/R₂)]I_s = [R₁ / (R₁ + R₂)]I_s

Applichiamo il metodo al circuito esempio in fig. 1.4.

Si ha:

v_AB = 11 / (1/1 + 1/2 + 1/3) = 6 V

da cui:

i₁ = 6 · 1 = 6 A; i₂ = 6 · 1/2 = 3 A; i₃ = 6 · 1/3 = 2 A.

Figura 1.4: Circuito parallelo con tre resistori.

Si noti che i₁ + i₂ + i₃ = 6 + 3 + 2 = 11 A, cioè il valore di corrente imposto dal generatore, come deve essere dalla KCL, inoltre il valore 11 A si ripartisce tra i resistori in modo proporzionale alle conduttanze e quindi inversamente proporzionale ai valori delle resistenze.

Infine, analizziamo l’esempio in fig. 1.5.

In questo caso risulta:

i₁ ≃ 1 · 10/11 = 0.91 A; i₂ ≃ 1 · 1/11 = 0.09 A

Figura 1.5: Circuito parallelo con due resistori.

cioè la corrente impressa dal generatore si ripartisce in modo da scorrere in larga misura nel resistore che "offre minore resistenza", cioè maggiore conduttanza.

1.3 Equivalenza tra bipoli

Aggregando tra di loro bipoli elementari, es. resistori, generatori, corto circuiti, è possibile costruire circuiti elettrici composti; se tali circuiti composti sono collegati/accessibili all’esterno attraverso due terminali essi stessi sono dei bipoli composti.

La figura 1.6 mostra due esempi di bipoli composti ottenuti, a sinistra, connettendo resistori e, a destra, collegando generatori ideali e resistori.

Figura 1.6: Bipoli composti ottenuti aggregando bipoli elementari.

I bipoli composti sono descritti dalle grandezze descrittive v ed i misurate ai morsetti e da un’equazione caratteristica che lega le grandezze descrittive, esattamente come in un bipolo elementare. Da ora in poi, dunque, col termine bipolo, o elemento a due terminali dall’inglese "two-terminal element", ci riferiremo sia a un bipolo elementare che ad un bipolo composto.

Si consideri o