Algebra lineare

Insieme delle parti

Sia A un insieme, si chiama insieme delle parti di A (P(A)), l'insieme i cui elementi sono tutti i sottoinsiemi di A.

∅ è sempre sottoinsieme.

L'insieme stesso.

Esempi: ∅ = {a, b}

A = ∅ → P(∅) = {∅}

A = {a} → P(a) = {∅, {a}}

A = {a, b, c} → P(a, b) = {∅, {a}, {b}, {a, b}}

A = ∅ → a = ∅

Oss: a** = {∅} → insieme stesso

B = {∅, {a}, {b}}

Non 2 (a, a, a) = ∅, (∅), {a}, {b}

Cardinalità

Sia A un insieme con un numero finito (±n) di elementi, scriveremo |A| = n (* A = n!) e diremo che A ha cardinalità n; se invece A non ha un numero finito di elementi diremo che A ha cardinalità infinita.

Oss: Cardinalità = Numero di elementi dell'insieme → |P(A)| = 2ⁿ n = elementi di A

Operazioni tra insiemi

• Intersezioni: A ∩ B: x | x ∈ A ∩ B
• Unione: A ∪ B: x | x ∈ A ∪ B
• Differenza: A \ B: x | x ∈ B

Oss: "A ∩ B" = cA, "A ∩ c" = B, A ∩ B = B \ A

Oss: ac = "A ∪ c" B = "a ∪ A ∪" B

Prodotto cartesiano

Prodotto cartesiano: A x B = l'insieme i cui elementi sono tutte le coppie ordinate (a, b) dove a ∈ A, b ∈ B

A x B = {(a, b) | a ∈ A, b ∈ B} = {(a, b), (b, a)} = A x B ≠ B x A

Esempio: B = {a, c}, a ∈ B x A = {(a, c), (b, a)} x a ∈ B

Per la prossima definizione partiamo da un esempio:

A = {a, b, c} B x a = {(a, *, b), (b, c), (a, b), (c, a)}

{(b, *, d), (c, d), (a, d), (b, c), (a, b)}

A x B x a = {(a, c), (b, a), (c, d), (a, b)} B x A x B

Posso costruire un sottoinsieme del prodotto cartesiano per associare all'insieme A certi elementi di B → corrispondenza tra due insiemi →

Dato due insiemi A e B si chiama corrispondenza da A in B un qualsiasi sottoinsieme di A x B.

Oss: anziché scrivere: 3 A x 51 si scrive C: A → B formalmente sono uguali

(A, *) E (E) si scrive A x B A x B

Due corrispondenze coincidono se e solo se: a) 2, [contengono le stesse coppie ordinate]

• Il dominio E lo stesso
• Il codominio E lo stesso

Insieme delle parti di A

➤ Sia A un insieme, si chiama insieme delle parti di A (P(A)), l'insieme i cui elementi sono tutti i sottoinsiemi di A.

Ø è sempre sottoinsieme.

L'insieme stesso.

Oss: A=Ø ⇔ A={Ø}

Esempi: A = {a,b,f } P(A) = {Ø, {a}, {b}, {f}, {a,b}, {a,f}, {b,f}, {a,b,f}}

A = {a, b,c } P(A) = {Ø, {a}, {b}, {c}, {a,b}, {a,c}, {b,c},{a,b,c}}

A = Ø P(P(Ø)) = {Ø, {Ø}}

L'insieme vuoto ha un solo sottoinsieme (tutti gli altri almeno due)

Oss: {Ø} ∪ Ø = insieme vuoto, l'altro E6 insieme che non conservando Ø}

Cardinalità degli insiemi

➤ Sia A un insieme con un numero finito (n=m) di elementi, scriveremo |A|=n (∗A=ø) e diremo che A ha cardinalità n; se invece A non ha un numero finito di elementi diremo che A ha cardinalità infinita.

Oss: Cardinalità = numero di elementi dell’insieme → |P(A)|= 2^m; m=elementi di A

Operazioni tra insiemi

■ Operazioni tra insiemi

• Intersezioni: A ∩ B={x | x ∈ A œ x ∈ B } Oss: " ∩ B ⊂ A, " ∩ B ⊂ B
• Unione: A ∪ B ={ x | x ∈ A œ x ∈ B} Ooss: A ⊂ " ∪BB, " ⊂ " ∪ , A ∪ B= U"A
• Differenza: A $\setminus$B ={x | x ∈ A $\wedge$ x ∉ B}

Oss: " $\setminus$B=" ∩ $" \neg " ∉ B

Prodotto cartesiano e corrispondenza

Prodotto cartesiano A✱B= l’insieme cui elementi sono tutte le coppie ordinate (a, b) dove a∈A, b∈B

A ✱ B = { (a,b)|a∈A, b∈B } ⊆ A ✱ |B|=|a|=[]

Esempio: A = {2,a, b,c } e B = {1,*} A× B = { ( B × } = *2,∗), ( , *) ,  *), Oss: A× B = P( Ø_1 x Ø_2 è_Orderatime vo_1all: )

A= Ø "∈ Ze×XA= B ≠ ∉A×=ŹA× B× AA≠=A=...

Per la prossima definizione. A è un esempio:

B = 1, A×D= {(( ),A _y(IED(ordine per viuvd A_B&2-{} (1x) - odine: A _TB= B×A=dominio della corrispondenza Corrovinutez Oss: ricieve funzioni

Funzioni e applicazioni

• Una corrispondenza \( f: A \rightarrow B \) si dice funzione (o applicazione) se vale:

  \[\forall x \in A : \exists! y \in B \, t.c. \, x \rightarrow y\]

• La corrispondenza \( \{ A \rightarrow A \ |\ x \rightarrow x \} \) è detta funzione identità perché ad ogni elemento dell'insieme A associa l'elemento stesso:

  \[id_{A} = \{(x, x) \varepsilon A \times A \, | \, x \varepsilon A\} \subseteq A \times A\]

• Sia \( f: A \rightarrow B \) una funzione, si chiama immagine di f:

  \[Im_{f} = \{y \varepsilon B \ | \ \exists x \varepsilon A \, t.c. \, y = f(x)\} \subseteq B\]

• Una funzione \( f: A \rightarrow B \) si dice biettiva (o biunivoca) se:

  \[\forall y \varepsilon B: \exists! x \varepsilon A \, t.c. \, y = f(x)\]

• Sia \( f: A \rightarrow B \) una funzione biettiva, si chiama funzione inversa la funzione:

  \[f^{-1}: B \rightarrow A \, t.c. \, \forall a \varepsilon A \, f(f^{-1}(a)) = a \quad \forall b \varepsilon B \, f^{-1}(f(b)) = b\]