Algebra lineare

Sia A un insieme, si chiama insieme delle parti di A (P(A)), l'insieme i cui elementi sono tutti i sottoinsiemi di A.

• ∅ è sempre sottoinsieme.
• L'insieme stesso.

Esempi: ∅ = {a, b}

A = ∅ → P(∅) = {∅}

• A = {a} → P(a) = {∅, {a}}
• A = {a, b, c} → P(a, b) = {∅, {a}, {b}, {a, b}}
• A = ∅ → a = ∅

Oss: a** = {∅} → insieme stesso

• B = {∅, {a}, {b}}

NON 2 (a, a, a) = ∅, (∅), {a}, {b}

Sia A un insieme con un numero finito (±n) di elementi, scriveremo |A| = n (* A = n!) e diremo che A ha cardinalità n; se invece A non ha un numero finito di elementi diremo che A ha cardinalità infinita.

OSS: Cardinalità = Numero di elementi dell'insieme → |P(A)| = 2ⁿ n = elementi di A

Operazioni tra insiemi

• Intersezioni: A ∩ B: x | x ∈ A ∩ B
• Unione: A ∪ B: x | x ∈ A ∪ B
• Differenza: A \ B: x | x ∈ B

Oss: "A ∩ B" = cA, "A ∩ c" = B, A ∩ B = B \ A

Oss: ac = "A ∪ c" B = "a ∪ A ∪" B

Prodotto cartesiano: A x B = l'insieme i cui elementi sono tutte le coppie ordinate (a, b) dove a ∈ A, b ∈ B

• A x B = {(a, b) | a ∈ A, b ∈ B} = {(a, b), (b, a)} = A x B ≠ B x A
• Esempio: B = {a, c}, a ∈ B x A = {(a, c), (b, a)} x a ∈ B

Per la prossima definizione partiamo da un esempio:

A = {a, b, c} B x a = {(a, *, b), (b, c), (a, b), (c, a)}{

• (b, *, d), (c, d), (a, d), (b, c), (a, b)}

A x B x a = {(a, c), (b, a), (c, d), (a, b)} B x A x B

Posso costruire un sottoinsieme del prodotto cartesiano per associare all'insieme A certi elementi di B → corrispondenza tra due insiemi →

Dato due insiemi A e B si chiama corrispondenza da A in B un qualsiasi sottoinsieme di A x B.

• Oss: anziché scrivere: 3 A x 51 scrive C: A → B formalmente sono uguali
• (A, *) E (E) si scrive A x B A x B

Due corrispondenze coincidono se e solo se: a) 2, [contengono le stesse coppie ordinate]

1. Il dominio E lo stesso

2. Il codominio E lo stesso

➤SIA A UN INSIEME, SI CHIAMA INSIEME DELLE PARTI DI A ( P(A) ), L'INSIEME I CUI ELEMENTI SONO TUTTI I SOTTOINSIEMI DI A.

• Ø è SEMPRE SOTTOINSIEME
• L'INSIEME STESSO

OSS: A=Ø ⇔ A={Ø}

ES._EMPI: A = {a,b,f } P(A) = {Ø, {a}, {b}, {f}, {a,b}, {a,f}, {b,f}, {a,b,f}}

A = {a, b,c } P(A) = {Ø, {a}, {b}, {c}, {a,b}, {a,c}, {b,c},

{a,b,c}}

A = Ø P(P(Ø)) = {Ø, {Ø}}

L'INSIEME VUOTO HA UN SOLO SOTTOINSIEME (TUTTI GLI ALTRI ALMENO DUE)

OSS: {Ø} ∪ Ø = INSIME VUOTO, L'ALTRØ E6 INSIEME CHE NON CONSERVANDO Ø}

➤SIA A UN INSIEME CON U N NUMERO FINITO (n=m) DI ELEMENTI, SCRIVEREMO |A|=n ( ∗A=ø

) E DIREMO CHE A HA CARDINALITÀ N ; SE INCE A NON HAN UN NUMERO FINITO DI ELEMENTI DIREMO CHE A HA CARDINALITÀ INFINITA.

OSS: CARDINALITÁ = NUMERO DI ELEMENTI DELL’INSIEME → |P(A)|= 2^m; m=ELEMENTI DI A

■ OPERAZIONI TRA INSIEMI

• INTERSEZIONI: A ∩ B={x | x ∈ A œ x ∈ B }

OSS: " ∩ B ⊂ A, " ∩ B ⊂ B

• UNITONE: A ∪ B ={ x | x ∈ A œ x ∈ B}

OOSS: A ⊂ " ∪BB, " ⊂ " ∪ , A ∪ B= U"A

• DIFFERENZA: A $\setminus$B ={x | x ∈ A $\wedge$ x ∉ B}

OSS: " $\setminus$B=" ∩ $" \neg " ∉ B

• PRODOTTO CARTESZIANTU A

✱B= L’INSIEME CUI ELEMENTI SONO TUTTE LE COPPIE ORDINATE ( a , b ) DOVE a∈A, b∈B

A ✱ B = { (a,b)|a∈A, b∈B } ⊂= A ✱ |B|=|a|=[]

ES._EMPIDIO : A = {2,a, b,c } e B = {1,*}

A× B = { ( B × } = *2,∗), ( , *) ,  *),

OSS: A× B = P( Ø_1 x Ø_2 è_ORDERATIME VO_1ALL: )

1. A= Ø "∈ Ze×X
2. A= B ≠ ∉A×=ŹA× B× A
3. A≠=A=...

PER LA PROSSIMA DEFINIZIONE.

• A È UN ESEMPIO:

B = 1, A×D= {(( ),

A _y(IED(ORDINE PER VIUVID A_B&2-{} (1x) - ODINE: A _TB= B×A=

DOMINIO DELLA CORRISPONDENZA CORROVINUTEZ

OSS: RICIEVE

FUNZIONI

• Una corrispondenza \( f: A \rightarrow B \) si dice funzione (o applicazione) se vale:

\[\forall x \in A : \exists! y \in B \, t.c. \, x \rightarrow y\]

• La corrispondenza \( \{ A \rightarrow A \ |\ x \rightarrow x \} \) è detta funzione identità perché ad ogni elemento dell'insieme A associa l'elemento stesso:

\[id_{A} = \{(x, x) \varepsilon A \times A \, | \, x \varepsilon A\} \subseteq A \times A\]

• Sia \( f: A \rightarrow B \) una funzione, si chiama immagine di f:

\[Im_{f} = \{y \varepsilon B \ | \ \exists x \varepsilon A \, t.c. \, y = f(x)\} \subseteq B\]

• Una funzione \( f: A \rightarrow B \) si dice biettiva (o biunivoca) se:

\[\forall y \varepsilon B: \exists! x \varepsilon A \, t.c. \, y = f(x)\]

• Sia \( f: A \rightarrow B \) una funzione biettiva, si chiama funzione inversa la funzione:

\[f^{-1}: B \rightarrow A \, t.c. \, \forall a \varepsilon A \, f(f^{-1}(a)) = a \quad \forall b \varepsilon B \, f^{-1}(f(b)) = b\]