1. Cinematica del punto

CINEMATICA - FORMULARIO

MOTI RETTILINEI

• UNIFORME
  • x(t) = x₀ + v t
  • v = cost
  • a_t = a_n = 0
• UNIFORMEMENTE ACCELERATO
  • x(t) = x₀ + v₀t + ½ a t²
  • v(t) = v₀ + a t
  • v²(t) = v₀² + 2 a (x - x₀)
  • a_l = dv/dt = cost = a
  • a_n = 0
  • a_l = (v₂ - v₁)/2d
• ARMONICO
  • x(t) = A sen(Ω t + φ)
  • v(t) = A Ω cos(Ω t + φ)
  • T = 2π/Ω
  • F = 1/T
  • a_n = 0
  • a_l = dv/dt = -Ω² x(t)

MOTI CIRCOLARI

Gr. lineari   Gr. angolari

• MOTO UNIFORME
  • s(t) = s₀ + v t
  • v = cost
  • q_(t) = q₀ + ω t
  • ω = cost = v/R
  • a_l = 0
  • a_n = v²/R
  • α_n = ω² R
• MOTO UNIFORM. ACCELERATO
  • s(t) = s₀ + v₀ t + ½ a t²
  • v(t) = v₀ + a_t t
  • a_l = dv/dt = cost
  • a_n = v²/R
  • v² = v₀² + 2 a (s - s₀)
  • q(t) = q₀ + ω₀ t + ½ α t²
  • ω = ω₀ + α t
  • α = cost
  • a_t = α R = cost
  • a_n = ω² R
  • ω² = ω₀² + 2 α (θ - θ₀)
  • α = a_t + a_n
• MOTO ARMONICO
  • s(t) = s_max sen(Ω t + φ)
  • v(t) = s_max Ω cos(Ω t + φ)
  • q(t) = q_max sen(Ω t + φ)
  • ω(t) = q_max Ω cos(Ω t + φ)
  • a_t = -Ω² s(t)
  • a_n = v²/R
  • a_l = α R
  • α = -Ω q(t)
  • a_n = ω² R

CINEMATICA - FORMULARIO

MOTI RETTILINEI

• UNIFORME

x(t) = x₀ + v t   v = cost   a_t = a_n = 0

• UNIFORMEMENTE ACCELERATO

x(t) = x₀ + v₀ t + ½ a t²

v(t) = v₀ + a t

v²(t) = v₀² + 2 a (x - x₀)

a_t = dv/dt = cost = a

a = v₂² - v₁² / 2d

a_n = 0

• ARMONICO

x(t) = A sen (Ω t + φ)

v(t) = A Ω cos (Ω t + φ)

T = 2π/Ω   F = 1/T

a_n = 0

a_t = dv/dt = -Ω² x(t)

MOTI CIRCOLARI

Gr. lineari   Gr. angolari

• MOTO UNIFORME

s(t) = s₀ + v t   q(t) = q₀ + ω t

v = cost   ω = cost = Y/R

a_t = 0   a_n = v²/R

• MOTO UNIFORMERT. ACCELERATO

s(t) = s₀ + v₀ t + ½ a t²

v(t) = v₀ + a_t t

q(t) = q₀ + ω₀ t + ½ a t²

ω = ω₀ + α t   α = cost

a_t = α R = cost   a_n = ω² R

v² = v₀² + 2 a (S - S₀)

ω² = ω₀² + 2 α (θ - θ₀)

α = a_t + a_n

• MOTO ARMONICO

s(t) = s_max sen (Ω t + φ)

v(t) = s_max Ω cos (Ω t + φ)

q(t) = Θ_max sen (Ω t + φ)

ω(t) = Θ_max Ω cos (Ω t + φ)

a_t = -Ω² s(t)   a_n = ω² R

CINEMATICA

x = x(t)

LEGGE ORARIA: variazioni di P rispetto al tempo

Δx = x(t₂) - x(t₁)

Δt = t₂ - t₁

• VELOCITÀ MEDIA

  v_m = Δs/Δt = tg α

• VELOCITÀ ISTANTANEA

  lim_{Δt → 0} Δx/Δt = dx/dt

• ACCELERAZIONE MEDIA

  Δv/Δt

• ACCELERAZIONE ISTANTANEA

  lim_{Δt → 0} Δv/Δt = dv/dt

se conosco l'accelerazione

a(t) = dv/dt

dv = a ⋅ dt

Δv = ∫_v₀^v ds = ∫_t₀^t a(t) dt → v₁ = v₀ + ∫_t₀^t a dt

se conosco la velocità

v(t) = dx/dt

dx = vdt

Δx = ∫_x₀^x₁ dx = ∫_t₀^t v(t)dt → x₁ = x₀ + ∫_t₀^t v dt

MOTI SU TRAIETTORIA NOTA

MOTI RETTILINEI

• UNIFORME

  v(t) = cost a(t) = 0

  x(t) = x₀ + vt

• UNIFORMEMENTE ACCELERATO

  a(t) = cost = dv/dt

  v(t) = v₀ + at

  x(t) = x₀ +v₀t + 1/2 at²

  v²(t) = v₀² + 2a (x - x₀)

  a = (v₂² - v₁²)/2d

MOTO ARMONICO

• x(t) = A sen (Ωt + Φ)
• (Ωt + Φ), fase istantanea al tempo t
• v(t) = AΩ cos (Ωt + Φ)
• a(t) = -AΩ² sen (Ωt + Φ) = -Ω² x(t)

AΩ² = ampiezza di a

-A ≤ x(t) ≤ A

Per un incremento di 2π le funzioni riprendono gli stessi valori - Ωt = 2π

PERIODO

T = ^2π/_Ω

FREQUENZA

ν = ¹/_T = ^Ω/_2π

x(t)

v(t)

t= 0

• X₀ = A sen Φ
• V₀ = AΩ cos Φ

tg Φ = ^{X₀ Ω}/_V0

Φ = arctg ^X₀/_V0/Ω

MOTI SU TRAIETTORIA NOTA

s: ascissa curvilinea

• Δs: s(t + Δt) - s(t)

V_s,m = ^{s(t + Δt) - s(t)}/_Δt = ^Δs/_Δt

V_s(t) = lim_Δt→0 ^Δs/_Δt = ^ds/_dt

A_s,m = ^{v(t + Δt) - v(t)}/_Δt = ^Δv/_Δt

A_s(t) = lim_Δt→0 ^Δv/_Δt = ^dv_s/_dt = ^d2s/_dt²

GRANDEZZE VETTORIALI

_Δs = Ṗ₂ - Ṗ₁ con |Δs| ≠ |Ṗ₂ - Ṗ₁|

Δs = arco Ṗ₂ Ṗ₁ = vettore

Ṽ_m = Δs / Δt per Δt → 0

|Δs| = |Ṗ₂ Ṗ₁|

Ṽ(t) = lim_Δt→0 Δs / Δt = ds_t / dt = ds_t / dt τ

ṽ(t) = v_s τ

Q_m = v(t + Δt) - v(t) / Δt = Δv / Δt

a(t) = lim_Δt→0 Δv / Δt = dv / dt = d[Ẋs(t) · v(t)] / dt = dṼ_s / dt τ + v_s d^t τ

Q_t = dṽ_s / dt τ - a_s τ

a_n = v_s^{2 τ}_e

NB: l'accelerazione tg è dovuta alla variazione della v_s Se il moto è uniforme a^t è costante o nulla

MOTO TRAIETTORIA NOTA

a = Q_t + a_n = modulo a = Q_t² + a_n²

• MOTO RETTILINEO τ = cost \ a_n = 0 \ e = ∞
• MOTO RETTILINEO UNIFORME: v_s = cost \ a_n = a_t = 0
• MOTO CIRCOLARE UNIFORME: L'ACCELERAZIONE NORMALE È CENTRIPETA E VALE v_s² / R_i

-Moto Circolare uniforme-

S(t) = S_o + vt \ v_s = cost \ Q_s = 0 _{\ a² \ = \ vs² / Ri \}

Un punto che si muove su una circonferenza di raggio R cos v_s = cost ha un'accelerazione che è diretta verso il centro della circonferenza L'ACCELERAZIONE CENTRIPETA

Moto Circolare Uniformemente Accelerato

a_s=cost { V_s=V₀+a_s·t s=s₀+V₀t+½ a_st² } a₂=a_t²+a_n²      a_t=cost      a_n={v²/R} V_s=V_s0²+2a_s(s-s₀)

Grandezze Angolari Scalari

Θ=s/R      ΔΘ=Δs/R      Spostamento Angolare Velocità Angolare ω:      Δγ/t=1/R      Δs/t=V_s/R v(t)=ωR Accelerazione Angolare α: Δω/t²=1/R      Δv/t = a_t/R a(t)=a_t+a_n &=nbsp; αRu_t+ω²Ru_n ω: Giri al Secondo      ω=2πn      n=ω/2π

Grandezze Angolari Vettoriali

ω^→   {ω}=|v|/R   direzione ⊥ al piano del moto V = ωR α^→=\(\frac{dω}{dt}\)      |α|=|a_t|/R

Rappresentazione Cartesiana del Moto

P_→(t)   ⟹ componenti del vettore + coordinate di P r^→(t) = i^→ x(t) + j^→ y(t) + k^→ z(t) r^→(t+Δt) - r^→(t) = i^→ Δx + j^→ Δy + k^→ Δz Velocità: v^→=     v(t)= i dx/dt + j dy/dt + k dz/dt a(i)=     \(\sqrt{v_x²+v_y²+v_z²}\) Θ = arctg      V_d/v_x Accelerazione: a^→= \(\frac{dv}{dt}\) = \(\frac{dx²}{dt²}\) + \(\frac{dy²}{dt²}\) + \(\frac{dz²}{dt²}\) a^→ = i^→ a_x + j^→ a_y + k^→ a_z Vettore accelerazione Q = √(a_x² + a_y² + a_z²)

MOTO DEI GRAVI:

Poichè durante il moto a=g (a_x=g_x=0, a_y=g_y=-g)

v(t) = v₀ + gt

_Componenti

{ v_0x(t) = v₀cosα

v_0y(t) = v₀senα

{ v_x(t) = v_0xcosα = v_x

v_y(t) = v₀senα - gt

r(t) = r₀ + v₀ t = ½ gt²

{ x(t) = v₀ t

y(t) = h + v_0yt - ½ gt²

CASO 1

v₀ = 0 (Corpo lasciato cadere)

{ v_0x = 0

v_0y = 0

{ v_x = 0

v_y = - gt

{ x(t) = 0

y(t) = h - ½ gt²

• TEMPO PER ARRIVARE A TERRA y=0 t = √2h/g
• VELOCITÀ CON CUI ARRIVA v_y = -gt = -√2gh

CASO 2

v₀ ≠0 (Lancio del corpo verso l'alto o il basso)

{ v_0x = 0

v_0y ≠0

{ v_x = 0

v_y = v_0y - gt

{ x = 0

y = h + v_0yt - ½ gt²

• TEMPO PER ARRIVARE A TERRA PONENDO y=0
• LANCI VERSO L'ALTO: h_MAX = h + ^v₀²/_2g
• t = ^v₀/_g quando si arresta il corpo

CASO 3 - LANCI OBLIQUI

{ v_0x ≠ 0 = cosα . v₀

v_0y ≠ 0 = senα . v₀

{ v_x = v_0xcosα

v_y = v₀senα - gt

• GITTATA x_g = ^v₀²/_g sen (2xα) + gittata_MAX (45º) = ^v₀²/_g
• h parabola = ^{v₀²sen²α}/_2g + ^v_0y²/_2g
• t volo = ^2v₀senx/_g

|v| = √v_x²+v_y²

modulo velocità