1. Cinematica del punto

Cinematica - formulario

Moti rettilinei

Uniforme

x(t) = x₀ + vt     v = cost     a_t = a_n = 0

Uniformemente accelerato

x(t) = x₀ + v₀t + 1/2 at²

v(t) = v₀ + at

v²(t) = v₀² + 2a(x - x₀)

a_t = dv/dt = cost = a     a_n = 0

a = (v₂² - v₁²)/(2d)

Armonico

x(t) = A sen(Ωt + φ)

v(t) = AΩ cos(Ωt + φ)

T = 2π/Ω     F = 1/T

a_n = 0

a_t = dv/dt = -Ω²x(t)

A² = x₀² + (v₀²/Ω²)

tg φ = (Ωx₀)/v₀

Moti circolari

Gr. lineari          Gr. angolari

Moto uniforme

s(t) = s₀ + vt

v = cost

a_t = 0

a_n = v²/R

θ(t) = θ₀ + ωt

ω = cost = v/R

α = 0

a_t = αR = 0

a_n = ω²R

Moto uniformemente accelerato

s(t) = s₀ + v₀t + 1/2 at²

v(t) = v₀ + a_tt

a_t = dv/dt = cost

a_n = v²/R

v² = v₀² + 2a(s - s₀)

θ(t) = θ₀ + ω₀t + 1/2 αt²

ω = ω₀ + αt

α = cost = a_t/R

a_t = αR = cost

a_n = ω²R

ω² = ω₀² + 2α(θ - θ₀)

a = a_t + a_n

|a| = √(a_t² + a_n²)

Moto armonico

s(t) = S_max sen(Ωt + φ)

v(t) = S_maxΩ cos(Ωt + φ)

a_t = -Ω²s(t)

a_n = v²/R

θ(t) = Θ_max sen(Ωt + φ)

ω(t) = Θ_maxΩ cos(Ωt + φ)

α = -Ω²Θ(t)

a_t = αR

a_n = ω²/R

θ = s/R     ω = v/R     α = a_t/R

a_n = v²/R = ω²R

a(t) = a_t + a_n = αR ? + ω²R

N° giri = ψ/2π

Cinematica - formulario

Moti rettilinei

Uniforme

x(t) = x₀ + vt

v = cost

a_t = a_n = 0

Uniformemente accelerato

x(t) = x₀ + v₀t + 1/2 at²

v(t) = v₀ + at

a_t = dv/dt = cost = a

a_n = 0

v²(t) = v₀² + 2a(x - x₀)

a = (v₂² - v₁²)/(2d)

Armonico

x(t) = A sen(Ω t + φ)

v(t) = A Ω cos(Ω t + φ)

T = 2π/Ω

F = 1/T

a_n = 0

a_t = dv/dt = -Ω² x(t)

A² = x₀² + (v₀²/Ω²)

tg φ = (Ω x₀)/v₀

Moti circolari

Gr. lineari

Gr. angolari

Moto uniforme

s(t) = s₀ + vt

v = cost

a_t = 0

a_n = v²/R

θ(t) = θ₀ + ωt

ω = cost = v/R

α = 0

a_t = αR = 0

a_n = ω²R

Moto uniformemente accelerato

s(t) = s₀ + v₀t + 1/2 at²

v(t) = v₀ + at

a_t = dv/dt = cost

a_n = v²/R

v² = v₀² + 2a(s - s₀)

θ(t) = θ₀ + ω₀t + 1/2 αt²

ω = ω₀ + αt

α = cost = a_t/R

a_t = αR = cost

a_n = ω²R

ω² = ω₀² + 2α(θ - θ₀)

a = a_t + a_n

|a| = √(a_t² + a_n²)

Moto armonico

s(t) = s_max sen(Ωt + φ)

v(t) = s_max Ω cos(Ωt + φ)

a_t = -Ω²s(t)

a_n = v²/R

θ(t) = θ_max sen(Ωt + φ)

ω(t) = θ_max Ω cos(Ωt + φ)

α = -Ω²θ(t)

a_t = αR

a_n = ω²/R

θ = s/R

ω = v/R

α = a_t/R

a_n = v²/R = ω²R

a(t) = a_t + a_n = αR t? + ω²R

n° giri = t/2π

Cinematica

x = x(t)      Legge oraria: variazioni di P rispetto al tempo

Delta x = x(t₂) - x(t₁)      Delta t = t₂ - t₁

Velocità media

Vm = Delta x / Delta t = tg. θm

Velocità istantanea

lim_{Delta t→0} Delta x / Delta t = dx/dt

Accelerazione media

Delta v / Delta t

Accelerazione istantanea

lim_{Delta t→0} Delta v / Delta t = dv/dt

Se conosco l'accelerazione

a(t) = dv/dt

dv = a · dt

Delta v = ^v_v0 dv = ^t_t0 a(t) dt → v₁ = v₀ + ^t_t0 a(t) dt

Se conosco la velocità

v(t) = dx/dt

dx = v dt

Delta x = ^x1_x0 dx = ^t_t0 v(t) dt → x₁ = x₀ + ^t_t0 v dt

Moti su traiettoria nota

Moti rettilinei

Uniforme

v(t) = cost     a(t) = 0

x(t) = x₀ + vt

Uniformemente accelerato

a(t) = cost = dv/dt

v(t) = v₀ + at

x(t) = x₀ + v₀t + 1/2 at²

v²(t) = v₀² + 2a(x - x₀)

a = (v₂² - v₁²)/2d

v > 0 moto progressivo

Moto armonico

x(t) = A sen(Ωt + ^ϕ)

A = ampiezza [m]

Ω = pulsazione [rad/s]

^ϕ = fase iniziale

(Ωt + ^ϕ) : fase istantanea al tempo t

v(t) = AΩ cos(Ωt + ^ϕ)

a(t) = -AΩ sen(Ωt + ^ϕ) = -Ω²x(t)

AΩ = ampiezza di v

AΩ² = ampiezza di a

-1 T = 2π/Ω

Ω(t + T) + ^ϕ = Ωt + ^ϕ + 2π -> ΩT = 2π

Frequenza -> ν = 1/T = Ω/2π

t = 0

x = x₀

v = v₀

x₀ = A sen ^ϕ

v₀ = AΩ cos ^ϕ

tg ^ϕ = x₀Ω/v₀

^ϕ = arctg x₀/(v₀/Ω)

- Moto su traiettoria nota -

Grandezze scalari

s : ascissa curvilinea

Δs : S(t + Δt) - S(t)

V_sm : S(t + Δt) - S(t) / Δt = Δs/Δt

V_s(t) = lim_{Δt -> 0} Δs/Δt = ds/dt

spost. scalare istantanee

Qs_m : V(t + Δt) - V(t) / Δt = Δv/Δt

Qs(t) = lim_{Δt -> 0} Δv/Δt = dv_s/dt = d²s/dt

P₁P₂

P₂'

Δs

O

Grandezze vettoriali

Δs = P₁P₂ con |Δs| ≠ |P₁P₂|

Δs = arco     P₁P₂ = vettore

v_m = Δs/Δt    per Δt → 0    |Δs| = |P₁P₂|

v(t) = lim_Δt→0 Δs/Δt = ds/dt = ds/dt c

versore della tg alla curva

velocità vett. istantanea

v(t) = Vs c

a_m = [v(t+Δt) - v(t)]/Δt = Δv/Δt

accelerazione scalare

a(t) = lim_Δt→0 Δv/Δt = dv/dt = d[Vs(t) c(t)]/dt = dVs/dt c + Vs dc/dt

acc. tg

acc. normale

a_t = dVs/dt c = a_s c

a_n = Vs² n/e

versore curva

raggio di curvatura

NB: l'accelerazione tg è dovuta alla varia della Vs. Se il moto è uniforme a_t è costante o nulla

Moto traiettoria nota → a = a_t + a_n → modulo a = radice quadrata di a_t² + a_n²

Moto rettilineo    c = cost    a_n = 0    ρ = oo

Moto rettilineo uniforme:    Vs = cost    a_n = a_t = 0 → a vett = 0

Moto circolare uniforme: l'accelerazione normale è centripeta e vale Vs²/R

Moto circolare uniforme

s(t) = s₀ + vt     Vs = cost     a_s = 0     |a| = Vs²/R

un punto che si muove su una circonferenza di raggio R con Vs = cost

ha un'accelerazione che è diretta verso il centro della circonferenza

L'accelerazione centripeta

Moto circolare uniformemente accelerato

as = cost

vs = v0t + as t

s = s0 + v0t + 1/2 as t²

a = at + an

at = cost

an = v²/R

v²_s = v²_s0 + 2as(s - s0)

v = vs t

ds = ds t

Grandezze angolari scalari

Θ = s/R

ΔΘ = Δs/R

Spostamento angolare

Velocità angolare ω = dΘ/dt = 1/R ds/dt = vs/R

v(t) = ωR

Accelerazione angolare α = dΘ/dt² = 1/R dv/dt = at/R

a(t) = a_t + a_n = αR + ω²R

ω: giri al secondo

ω = 2π n

n = ω/2π

Grandezze angolari vettoriali

ω

|ω| = |v|/R

direzione al piano del moto

V = ω x R

α = dω/dt

|α| = |at|/R

Rappresentazione cartesiana del moto

P = P(t)

componenti del vettore: coordinate di P

x = x(t)

y = y(t)

z = z(t)

r(t) = i x(t) + j y(t) + k z(t)

r(t + Δt) = i x(t + Δt) + j y(t + Δt) + k z(t + Δt)

Δr = r(t + Δt) - r(t) = i Δx + j Δy + k Δz

Velocità: vm = Δr/Δt

v(t) = i dx/dt + j dy/dt + k dz/dt

|v| = √(v_x² + v_y² + v_z²)

Θ = arctg(v_y/v_x)

Accelerazione: a = dv/dt = i d²x/dt² + j d²y/dt² + k d²z/dt²

a = i a_x + j a_y + k a_z

|a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)

Moto dei gravi

Poiché durante il moto a.g (ax = 0, ay = -g)

v(t) = v0 + gt

componenti iniziali

V0x(t) = V0 cos θ

V0y(t) = V0 sen θ

Vx(t) = V0 cos θ = V0x

Vy(t) = V0 sen θ - gt

r(t) = r0 + v0 t - 1/2 gt²

x(t) = V0 t

y(t) = h + V0y t - 1/2 gt²

Caso 1. V0 = 0 (corpo lasciato cadere)

V0x = 0

V0y = 0

Vx = 0

Vy = -gt

x(t) = 0

y(t) = h - 1/2 gt²

Tempo per arrivare a terra

y = 0 t = sqrt(2h/g)

Velocità con cui arriva

Vy = -gt = -sqrt(gh)

Caso 2. V0 != 0 (lancio del corpo verso l'alto e il basso)

V0x = 0

V0y != 0

Vx = 0

Vy = V0y - gt

x = 0

y = h + V0y t - 1/2 gt²

Tempo per arrivare a terra lo trovo ponendo y = 0

Lancio verso l'alto: hMAX = h + V0²/2g

t = V0/g -> quando si arresta il corpo

Caso 3. Lanci obliqui

V0x != 0 = cosθ . V0

V0y != 0 = senθ . V0

Vx = V0 cosθ

Vy = V0 senθ - gt

Gittata xG = V0²/g sen(2α) -> gittata MAX (45°) = V0²/g

h parabola = V0² sen²α/2g = V0y²/2g

t volo = 2V0 senα/g

|V| = sqrt(Vx² + Vy²)

modulo velocità