Concetti Chiave
- L'errore casuale è un errore di misurazione che può influenzare il valore misurato in entrambe le direzioni e si riduce con ripetizioni dell'esperimento.
- La legge normale di Gauss descrive la distribuzione della probabilità degli errori casuali, applicabile con un numero elevato di misure grazie al Teorema del Limite Centrale.
- Per descrivere una serie di osservazioni sperimentali sono necessari parametri che definiscono la localizzazione (media aritmetica) e la dispersione (varianza e deviazione standard).
- La varianza misura la dispersione delle osservazioni e si calcola come la media degli scarti quadrati dalla media, mentre la deviazione standard è la radice quadrata della varianza.
- Secondo le ipotesi di Gauss, le probabilità che una misura esatta cada in determinati intervalli rispetto alla media e alla deviazione standard sono rispettivamente del 68%, 95% e 99%.
una serie ripetuta di misurazioni comporta la progressiva riduzione dell'errore casuale, poiché i singoli scostamenti si annullano reciprocamente.
Questo genere di errore è prodotto da fenomeni aleatori derivati da errori di lettura degli strumenti o fluttuazioni indotte da fenomeni esterni, come disturbi, variazioni di temperatura ecc. Più uno strumento è preciso e meno questi fenomeni aleatori influenzano la misurazione (e dunque più relativamente piccoli sono mediamente gli errori casuali associati).
Gauss ha elaborato una teoria sugli errori casuali, ed è riuscito ad esprimere la distribuzione della probabilità di un errore casuale.
La legge che ne deriva prende il nome di legge normale di Gauss.
Va detto che non è affatto certo che qualsiasi evento aleatorio di tipo probabilistico segua la legge di Gauss, ma se il numero di misure è molto alto, è molto probabile che accada, a causa del Teorema del Limite Centrale.
I risultati che stanno per essere dati sono conseguenza di questa ipotesi.
Data una serie di osservazioni sperimentali, se queste sono abbastanza numerose appare essere non possibile il fissare l’attenzione su ciascuna di esse (troppe informazioni equivalgono a nessuna informazione).
E’ quindi necessario definire (inventare) pochi parametri essenziali, capaci di descrivere con sufficiente precisione i caratteri fondamentali dei dati osservati.
Sono stati identificati, quali parametri necessari per dare una descrizione essenziale di una nube di osservazioni:
- un parametro capace di descrivere la loro localizzazione;
- un parametro capace di descrivere la loro dispersione;
Il parametro più usato per localizzare l’insieme delle osservazioni è la media aritmetica. Se indichiamo con x_i (i = 1 .. N) il risultato di ogni singola misura, la media della misura viene calcolata con la relazione:
Una volta localizzate le osservazioni, è facile riconoscere nelle differenze degli indicatori di dispersione. Per evitare gli inconvenienti che derivano dal fatto che le differenze anzidette sono sia positive che negative (a somma zero), si definisce, come parametro descrittivo della dispersione, la varianza dell’insieme delle osservazioni:
Per ragioni di omogeneità nelle unità di misura, si preferisce usare, come parametro indicatore finale, la radice quadrata della varianza, a cui viene dato il nome come scarto quadratico medio o deviazione standard.
Viene dimostrato, nell’ambito delle ipotesi di Gauss, che, se un insieme di osservazioni ha media
-
- la probabilità che la misura esatta cada nell’intervallo
- la probabilità che la misura esatta cada nell’intervallo
- la probabilità che la misura esatta cada nell’intervallo
Spesso, per Teoria degli Errori si intende (tacitamente) la teoria degli errori accidentali, in quanto è solo questa parte che offre lo spunto per analisi teoriche, dal contenuto e dalle conseguenze notevoli.
Domande da interrogazione
- Che cos'è l'errore casuale e come influisce sulle misurazioni?
- Qual è il ruolo della legge normale di Gauss negli errori casuali?
- Quali parametri sono necessari per descrivere una serie di osservazioni sperimentali?
- Come si calcola la varianza e perché è importante?
- Qual è la probabilità che una misura esatta cada in determinati intervalli secondo la teoria di Gauss?
L'errore casuale è un errore di misurazione che può influenzare il valore misurato sia in aumento che in diminuzione, dovuto a fluttuazioni statistiche inevitabili. Ripetere l'esperimento aiuta a misurare e ridurre questi errori (testo).
La legge normale di Gauss descrive la distribuzione della probabilità degli errori casuali. Sebbene non tutti gli eventi aleatori seguano questa legge, è probabile che lo facciano con un numero elevato di misure, grazie al Teorema del Limite Centrale (testo).
Per descrivere una nube di osservazioni, sono necessari due parametri: uno per la localizzazione (media aritmetica) e uno per la dispersione (varianza) (testo).
La varianza si calcola come la media dei quadrati delle differenze tra ogni misura e la media. È importante perché fornisce un indicatore della dispersione delle osservazioni (testo).
Secondo la teoria di Gauss, la probabilità che una misura esatta cada nell'intervallo [μ - σ, μ + σ] è circa 68%, nel range [μ - 2σ, μ + 2σ] è circa 95%, e in [μ - 3σ, μ + 3σ] è circa 99% (testo).
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