Equazioni goniometriche

Equazioni goniometriche

Le equazioni goniometriche si risolvono esattamente come tutte le altre equazioni

algebriche: l’unica differenza è che stavolta intervengono a complicare un po’ la questione

anche le leggi della trigonometria.

Si inizia col dire che l’incognita, in questo particolare tipo di equazione, è l’argomento di

una funzione goniometrica (seno, coseno, tangente, cotangente…).

Vediamo come si risolvono caso per caso, partendo da quelli più semplici:

sen (x) = 1

1) Si vuole stabilire quanto vale l’angolo x. La domanda da farsi è dunque: qual è

l’angolo il cui valore del seno è pari a 1?

Dalla trigonometria si sa che hanno un seno pari ad 1 l’angolo /2 e tutti i suoi

π

multipli.

Poiché per la funzione seno (come per il coseno) il periodo è pari a 2 , la soluzione

π

finale sarà così scritta:

x = + 2kπ

π/2

P.S. Per le funzioni trigonometriche in cui compaiono invece tangente e cotangente, è

necessario tener presente che queste hanno –a differenza di seno e coseno- un

x = ….+ kπ

periodo pari a anziché 2 . La soluzione dunque avrà soluzione:

π π

sen (x) = √2/2

2) In questo caso x è pari ad un angolo di 45°, cioè /4. Tuttavia /4 non è il solo

π π

angolo ad avere un seno pari a √2/2: se si tiene presente la circonferenza

goniometrica si ricorderà facilmente che anche il suo supplementare ha lo stesso

valore per seno (e contrario per il coseno). La soluzione pertanto, in questo particolare

doppia.

caso, sarà x = /4 + 2k x = - /4 + 2k

Si scriverà dunque: e

π π π π π

REGOLA: Tutto questo ci permette di stabilire una prima regola importante: per gli

angolo il cui seno (compreso tra 1 e –1) sia diverso da 1 o –1, l’equazione goniometrica

un angolo ed il suo supplementare

ammette due soluzioni: .

cos (x) = √2/2

3) Anche in questo caso x è pari ad un angolo di 45°, cioè /4. Ed anche in questo caso

π

/4 non è il solo angolo ad avere un coseno pari a √2/2: se si tiene presente la

π

circonferenza goniometrica si ricorderà che stavolta anche il suo contrario ha lo

doppia.

stesso valore di coseno. La soluzione pertanto, sarà ancora una volta

x = /4 + 2k x = - /4 + 2k

Si scriverà dunque: e

π π π π

REGOLA: Tutto questo ci permette di stabilire una seconda regola importante: per gli

angolo il cui coseno (compreso tra 1 e –1) sia diverso da 1 o –1, l’equazione

un angolo ed il suo contrario