Equazioni differenziali ordinarie 27

Risolvere il problema differenziale

 ′′ x

u (x) + 4u(x) = 5e

 u(0) = 1

u(a) = b



al variare di a 6 = 0 e b ∈ R.

Il polinomio caratteristico è

soluzione. 2

λ + 4

che ha come radici i valori λ = ±2i; due soluzioni indipendenti dell’equazione omogenea

1/2

associata sono quindi u (x) = cos 2x u (x) = sin 2x.

1 2

Passando alla non omogenea, si vede subito che una soluzione particolare è

x

v(x) = e .

Dunque 1 = u(0) = 1 + c =⇒ c = 0.

1 1

Inoltre a

b = u(a) = e + c sin 2a

2

da cui a π

b − e , a 6 = k , (k ∈

c = Z)

2 sin 2a 2

e finalmente a

b − e π

x

u(x) = e + sin 2x, a 6 = k , (k ∈ Z).

sin 2a 2 π

π k

per qualche intero k, allora si hanno infinite soluzioni se b = e , date da

Se invece a = k 2

2 x

u(x) = e + c sin 2x

2

π

k

mentre se b 6 = e , non si hanno soluzioni.

2