Equazioni differenziali ordinarie 27

Risoluzione del problema differenziale

Risolvere il problema differenziale

u^″(x) + 4u(x) = 5e^x

u(0) = 1

u(a) = b

al variare di a ≠ 0 e b ∈ R.

Il polinomio caratteristico è

λ² + 4

soluzione.

che ha come radici i valori λ = ±2i; due soluzioni indipendenti dell’equazione omogenea associata sono quindi u₁(x) = cos 2x e u₂(x) = sin 2x.

Passando alla non omogenea, si vede subito che una soluzione particolare è

v(x) = e^x.

Dunque 1 = u(0) = 1 + c₁ ⇒ c₁ = 0.

Inoltre

b = u(a) = e^a + c₂ sin 2a

da cui

c₂ = (b − e^a) / sin 2a, a ≠ kπ/2, (k ∈ Z)

e finalmente

u(x) = e^x + (b − e^a) / sin 2a sin 2x, a ≠ kπ/2, (k ∈ Z).

Se invece a = kπ/2 per qualche intero k, allora si hanno infinite soluzioni se b = e^a, date da

u(x) = e^x + c sin 2x

mentre se b ≠ e^a, non si hanno soluzioni.