Equazioni differenziali e applicazioni: Studio delle soluzioni matematiche per problemi di elasticità e deformazione dei corpi

ITIS “E. Fermi” Fuscaldo

D.S. Prof. Ing. Nicola De Nardi

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Equazioni differenziali e applicazioni

Lavoro prodotto nel centro servizi multimediale dell’Itis “E. Fermi”

Coordinatore prof. Vittorio Grandinetti Covello Davide, Cuomo Alessandro

Autori alunni: Buonasperanza Paolino,

D’Amico Salvatore, Magnone Paolo, Martello Panno, Pizzuto Sandro

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Equazioni differenziali e applicazioni matematiche

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Un viandante che si rifiuti di oltrepassare un ponte fino a quando non abbia personalmente verificato la solidità di ogni sua parte è destinato a non andare molto lontano; qualche volta bisogna rischiare, anche in matematica.

Horace Lamb

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Indice

1 Introduzione

2 Le equazioni differenziali ordinarie del primo ordine

3 Equazioni differenziali del primo ordine a variabili separabili

4 Equazioni differenziali del primo ordine lineari

5 Equazioni differenziali del primo ordine omogenee

6 Il problema di Cauchy

7 Integrale particolare

8 Integrale singolare

9 Le equazioni differenziali ordinarie del secondo ordine

10 Equazioni differenziali del secondo ordine omogenee

11 Equazioni differenziali lineari del secondo ordine non omogenee (1° caso)

12 Equazioni differenziali lineari del secondo ordine non omogenee (2° caso) 4 2

13 Principio di sovrapponibilità

14 Applicazioni

15 Applicazioni in geometria

16 Applicazioni in chimica e fisica

17 Legge di crescita malthusiana ed applicazioni in economia

18 Programma in Pascal per calcolare l’interesse di un deposito bancario

19 Risoluzione numerica di una equazione dedifferenziale “Metodo di Eulero”

20 Il metodo di Eulero con il foglio elettronico

21 Bibliografia 5

Introduzione

I matematici cercarono di usare il calcolo infinitesimale per risolvere nuovi problemi fisici e si trovarono presto costretti a trattare una nuova classe di problemi.

Essi fecero più di quanto si erano prefissi di fare.

I problemi più semplici conducevano a quadrature che potevano essere valutate mediante le funzioni elementari.

Una di queste è costituita dai problemi che rientrano nell’area oggi generalmente nota come teoria dell’elasticità. 6 3

Quelli un poco più difficili conducevano a quadrature che non potevano essere espresse in questo modo, come nel caso degli integrali ellittici.

Entrambi questi tipi di problemi cadevano nel raggio d’azione del calcolo infinitesimale.

Tuttavia, la soluzione di problemi ancora più complicati richiedeva l’uso di tecniche specialistiche; fu così che nacque la teoria delle equazioni differenziali.

Numerose classi di problemi fisici fornirono le motivazioni alle ricerche sulle equazioni differenziali.

Un corpo è elastico se si deforma sotto l’azione di una forza e riacquista la sua forma originale quando la forza viene rimossa. 7

I problemi più pratici hanno a che fare con le forme assunte dalle travi, verticali e orizzontali, quando vi vengono applicati dei carichi.

Questi problemi, trattati empiricamente dai costruttori delle grandi cattedrali medievali, furono affrontati dal punto di vista matematico durante il Seicento da uomini quali Galileo, Edme Mariotte (1620-84), Robert Hooke (1635-1703) e Wren.

Il comportamento delle travi è una delle due scienze discusse da Galileo nei “Discorsi intorno a due nuove scienze”. GALILEO GALILEI 8 4

Le ricerche di Hooke sulle molle lo condussero alla scoperta della legge secondo la quale la forza esercitata su una molla in tensione è proporzionale allo spostamento.

Gli scienziati del Settecento, armati di una maggior quantità di matematica, iniziarono le loro ricerche sull’elasticità affrontando problemi quali la forma assunta da una fune anelastica ma flessibile sospesa a due punti fissi, la forma assunta da una catena anelastica ma flessibile sospesa a un punto fisso e posta in vibrazione, la forma assunta da una corda elastica vibrante tenuta fissa alle sue estremità, la forma assunta da una verga fissata alle sue estremità e soggetta a un carico e la forma assunta da una verga quando è posta in vibrazione. 9

Il pendolo continuò ad interessare i matematici.

L’equazione differenziale esatta del pendolo circolare

θ θ

+ =

2 2

d / dt mg sin 0

sfidava ogni trattazione, ma anche quella approssimata ottenuta sostituendo

θ θ

sin con

doveva ancora essere trattata analiticamente. Inoltre, il periodo di un pendolo circolare non è strettamente indipendente dall’ampiezza del moto e venne perciò intrapresa la ricerca della curva lungo cui la massa pendolare deve oscillare perché il periodo sia strettamente indipendente dall’ampiezza. Huygens aveva risolto geometricamente questo problema con l’introduzione della cicloide, ma la soluzione analitica doveva ancora essere foggiata. 10 5

Il pendolo era strettamente collegato con altri due campi di ricerca fondamentali del Settecento, la forma della Terra e la verifica della legge di attrazione gravitazionale. Il periodo approssimato di un pendolo

π

=

T 2 l g

veniva usato per misurare la forza di gravità in vari punti della superficie terrestre perché il periodo dipende dall’accelerazione g determinata da questa forza.

Misurando lungo un meridiano le successive lunghezze corrispondenti al cambiamento di un grado di latitudine è possibile con l’aiuto di un po’ di teoria e dei valori di g, determinare la forma della Terra. In effetti, servendosi della variazione del periodo osservata in vari punti della superficie terrestre, Newton n’aveva dedotto che la Terra è più gonfia all’equatore. 11

Dopo che Newton aveva concluso mediante il suo ragionamento teorico che il raggio all’equatore era di 1/230 più lungo del raggio al polo (questo valore è di un 30 per cento troppo grande), gli scienziati europei erano ansiosi di trovarne una conferma sperimentale.

NEWTON 12 6

Un metodo possibile sarebbe stato quello di misurare la lunghezza di un grado di latitudine vicino all’equatore e vicino ad un polo: se la Terra fosse effettivamente appiattita, il grado di latitudine dovrebbe essere leggermente più lungo ai poli che all’equatore.

Jacques Cassini (1677-1756) e i membri della sua famiglia effettuarono queste misurazioni e nel 1720 ottennero il risultato opposto, trovando che il diametro da polo a polo era di 1/95 più lungo del diametro equatoriale.

Per risolvere la questione una volta per tutte, negli anni 1730 l’Académie des Sciences francese inviò una spedizione in Lapponia, guidata dal matematico Pierre-Louis Moreau de Maupertuis, e un’altra in Perù. 13

Il gruppo guidato da Maupertuis comprendeva anche il suo amico matematico Alexis-Claude Clairaut.

Le loro misure confermarono che la Terra è piatta ai poli e Voltaire salutò Maupertuis con l’appellativo di “appiattitore dei poli e dei Cassini”.

In effetti, il valore dato da Maupertuis era di 1/178, che è meno accurato di quello di Newton.

Il problema della forma della Terra continuò a rivestire grande importanza e per lungo tempo rimase aperta la questione di sapere se essa fosse quella di uno sferoide oblato, di uno sferoide prolato, di un ellissoide generale o di qualche altro solido di rotazione. 14 7

Il problema connesso di verificare la legge di gravitazione poteva essere affrontato una volta che fosse nota la forma della Terra. Data la forma, sarebbe stato possibile determinare la forza centripeta necessaria per mantenere un oggetto sulla o vicino alla superficie della Terra. Allora, conoscendo l’accelerazione g dovuta alla forza di gravità sulla superficie, si sarebbe potuto verificare se l’intera forza di gravità, che fornisce l’accelerazione centripeta e g, proprio quella data dalla legge di gravitazione.

Clairaut, uno di coloro che ne misero in dubbio la validità, pensò in un certo momento che essa potesse essere della forma

= +

2 3

F A / r B / r . 15

I due problemi della legge d’attrazione e della forma della Terra sono ulteriormente connessi tra loro perché, quando la Terra viene trattata come un fluido rotante in equilibrio, le condizioni per l’equilibrio coinvolgono l’attrazione che le particelle del fluido esercitano una sull’altra.

Il campo d’interessi fisico che dominò il secolo fu l’astronomia.

Newton aveva risolto quello che viene chiamato problema dei due corpi, cioè il moto di un singolo pianeta sottoposto all’attrazione gravitazionale del Sole, dove ciascun corpo viene assunto essere un punto materiale.

Aveva anche compiuto alcuni passi in direzione della trattazione del problema fondamentale dei tre corpi, cioè del comportamento della Luna sottoposta all’attrazione della Terra e del Sole. 16 8

Tuttavia, questo era soltanto l’inizio degli sforzi compiuti per studiare i moti dei pianeti e dei loro satelliti sottoposti all’attrazione gravitazionale del Sole e alla mutua attrazione di tutti gli altri corpi.

Inoltre, le ricerche di Newton contenute nei Principia, pur costituendo in effetti la soluzione di certe equazioni differenziali, dovevano essere tradotte in forma analitica e questo fu fatto gradualmente durante il Settecento.

Questo lavoro fu iniziato, incidentalmente, da Pierre Varignon, un fine matematico e fisico francese, che voleva liberare la dinamica dall’ingombro della geometria.

Newton aveva risolto alcune equazioni differenziali in forma analitica, ad esempio nella Methodus fluxionum del 1671 e nel Tractatus del 1676, dove aveva osservato che la soluzione dell’equazione 17

=

n n

d y / dx f ( x )

è arbitraria, nel senso che vi si può aggiungere un qualsiasi polinomio di grado n - 1 in x.

Nello scolio alla proposizione della terza edizione dei Principia Newton si limita ad enunciare un risultato sulla forma dei solidi di rotazione che offrono la minima resistenza al moto in un fluido, ma in una lettera a David Gregory del 1694 spiega come vi è giunto e nella spiegazione si serve di equazioni differenziali.

Fra i problemi astronomici, quello del moto della Luna ricevette le maggiori attenzioni perché il metodo comune per determinare la longitudine delle navi in mare, così come altri metodi usati nel Settecento, dipendeva dalla conoscenza in ogni momento della direzione della Luna rispetto a una posizione standard (che, a partire dalla fine del secolo, fu quella di Greenwich in Inghilterra). 18 9

Era necessario conoscere questa direzione della Luna con un’approssimazione di 15 secondi di grado per determinare l’ora di Greenwich con l’approssimazione di un minuto; già un errore di questo genere poteva condurre ad un errore di 30 chilometri nella determinazione della posizione della nave.