Elettrotecnica

Domanda 1 Regolamento

Definire e commentare brevemente le grandezze energetiche Elettrotecnica proibito utilizzare testi e/o appunti usate per descrivere il funzionamento di un circuito in regime proibito utilizzare calcolatrici programmabili, pal- sinusoidale permanente. Enunciare e dimostrare il teorema di ari, ecc. conservazione della potenza complessa. (8 punti) proibito uscire dall’aula durante lo svolgimento esame 29/01/2009lla prova

Domanda 2

Descrivere brevemente la topologia di un circuito facendo riferimento al concetti di albero e co-albero ed individuare i gruppi di grandezze indipendenti ad essi associate. (8 punti)

Esercizio 1

Una struttura topologica è invariante R R1 2 rispetto ad una deformazione continua.

Albero

Un albero è un insieme connesso di rami FORMULE UTILI che tocca tutti i nodi e non forma percorsi chiusi.

t) (t)v C Rc 2 co-albero Un è l’insieme complementare jφ= + =z a jb Ae dell’albero. ȷ ffb√ 2 2= + = arctanA a b φ

Grandezze indipendenti

Le grandezze indipendenti sono: a [ ] [ ][ ] [ ]+ =riferimento allo schema circuitale mostrato in I A I 0!= cos(φ) = sin(φ)a A b A a correnti dei rami del co-albero Ilecolare la tensione (t) ai capi del condensatore v_c [ ] ( ) ( )c → − × − +c C A N 1 R N 1L−ptstante di tempo sapendo che = 2u (t), [V],V (t)Ce unon esistono per definizione tagli composti da soli rami del coalbero−→−1g +−1 s p { }[V], = 4 [Ω], = 2 [Ω], = 0.5 [F]. DireR R C = ±11 2 a 0;! 1 ijil circuito è stabile. (8 punti) L(t)u −→−1 s

[ ] [ ][ ] [ ]! + =V B V 0tensioni dei rami dell’albero Vle c aa [ ] ( ) ( )→ − + × −B R N 1 N 1essendo l’albero per definizione privo di maglie { }= ±1b 0;!E 2sercizio ij

Cognome: Matricola:

Domanda 1 Regolamento

Definire e commentare brevemente le grandezze energetiche utilizzare testi e/o appunti usate per descrivere il funzionamento di un circuito in regime utilizzare calcolatrici programmabili, pal- sinusoidale permanente. Enunciare e dimostrare il teorema di conservazione della potenza complessa. (8 punti) uscire dall’aula durante lo svolgimento

In un regime permanente sinusoidale le grandezze v(t) e i(t) hanno andamento sinusoidale isofrequenziale. Definita la pulsazione e i fasori della tensione e della corrente ω

Domanda 2

Descrivere brevemente la topologia di un circuito facendo = ϕI Ie jriferimento al concetti di albero e co-albero ed individuare i v

Esercizio 1

    gruppi di grandezze indipendenti ad essi associate. (8 punti)

1 ω ω ω ω⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎦− −= + ⋅ + =ϕ j t * j t j t * j t= p(t) Ve V e Ie I ej ⎣ ⎦ ⎣0 0 0 0V Ve i 4R2      1 1 ω ω⎡ ⎤ ⎡ ⎤−2= + + + =* * 2 j t * * j tVI V I VIe V I e⎣ ⎦ ⎣ ⎦

Potenza istantanea

Si può scrivere la potenza istantanea in funzione dei fasori 0 0 FORMULE UTILI4 4 (t)v C  R 1 1 ⎡ ⎤ωc 21 ⎡ ⎤ 2 j t= + 0*Re VI Re VIeω ω⎡⎣ ⎤⎦−= + ⎣ ⎦ ⎣ ⎦j t * j t jφ= + =z a jb Ae v(t) Ve V e0 0 2 22 ȷ ff b√ 1 12 2 ( )  = + = arctanA a b φ ⎡ ⎤ ω ϕ ϕ= + + +1 *ap(t) Re VI VI cos 2 t⎣ ⎦ω ω⎡ ⎤−= +j t * j ti(t) Ie I e⎣ ⎦0 0 0 v i2 2ento allo schema circuitale mostrato in = cos(φ) = sin(φ)a A b A2tensione (t) ai capi del condensatore v_c CL−pt

Potenza attiva

La potenza istantanea è quindi la somma di un termine costante e uno dipendente dal tempo il quale varia sinusoidalmente ed ha Potenza attiva. un valore medio pari al termine costante, lo definisco 1 ⎡⎣ ⎤⎦= *p Re VIa 2

La potenza attiva rappresenta la potenza ceduta in media al bipolo di carico dal generatore [W].

Potenza complessa

La potenza attiva non fornisce però elementi di valutazione del termine variabile della potenza istantanea, introduco quindi la Potenza complessa. 1= *P VIc 2

( ) = +p t p P (t)a v  1 1 1( ) ( )ω⎡⎣ ⎤⎦ ⎡⎣ ⎤⎦ ⎡⎣ ⎤⎦ω ϕ ω ϕ= = − − +* 2 j t * *P (t) Re VI e Re VI cos 2 t 2 i Im VI sen 2 t 2 i0v 0 02 2 2

Potenza reattiva

Il termine che si riferisce alla parte immaginaria della potenza complessa costituisce una misura dello scambio energetico con gli Potenza reattiva. elementi immagazzinatori di energia e prende il nome di

Teorema di Boucherot

Principio di conservazione della massa! La sommatoria delle potenze complesse in un circuito a regime permanente sinusoidale è nulla   N 1∑ = +⎡⎣ ⎤⎦ ⎡⎣ ⎤⎦= → ⋅ =T * P P iPP 0 V I 0c c a R2i=1 ∑ =P 0aii∑ =P 0Rii

Posso verificare l’ortogonalità dei vettori V e I uso il Teorema di Tellegen, il quale afferma che se ho 2 circuiti deve valere la seguente relazione, in analogia considerando il secondo circuito come il coniugato del primo dimostro la veridicità del teorema.    T T⎡⎣ ⎤⎦ ⎡⎣ ⎤⎦ ⎡⎣ ⎤⎦ ⎡⎣ ⎤⎦⋅ = ⋅ =V I V I 01 2 2 1

Domanda 2

Descrivere brevemente la topologia di un circuito facendo riferimento al concetti di albero e co-albero ed individuare i gruppi di grandezze indipendenti ad essi associate.

Esercizio 1

R R1 2 FORMULE UTILI+ (t)V (t)v C Rg- c 2 jφ= + =z a jb Ae ȷ ffb√ 2 2= + = arctanA a b φ a

Facendo riferimento allo schema circuitale mostrato in = cos(φ) = sin(φ)a A b Afigura calcolare la tensione (t) ai capi del condensatore v_c CL−ptper ogni istante di tempo sapendo che = 2u (t), [V],V (t)Ce u −→−1g +−1 s p(0) = 2 [V], = 4 [Ω], = 2 [Ω], = 0.5 [F]. Direv R R C1 2c 1inoltre se il circuito è stabile. (8 punti) L(t)u −→−1 s

Esercizio 2

LR1(t)I C R R2g 2

Elettrotecnica teoria completa

• Circuito a costanti concentrate
• Leggi di Kirchhoff
• Proprietà del circuito a costanti concentrate
• Relazioni costitutive
• Analisi su base maglie
• Analisi su base nodi
• Equazioni di vincolo
• Circuiti con memoria
• Componenti senza memoria