Elettrostatica: conduttori e condensatori

Elettrostatica

È noto fin dai tempi antichi che bastoncini di ambra, vetro, ebanite, strofinati con un panno di lana, acquistano la proprietà di attrarre dei corpi leggerissimi, come pezzettini di carta. Si dice che le sostanze che hanno acquistato questa proprietà sono elettricamente cariche o possiedono una certa quantità di carica elettrica.

Se appendiamo una bacchetta di vetro elettrizzata per il suo baricentro e avviciniamo ad essa un'altra bacchetta, anch'essa elettrizzata, ma di ebanite, le due bacchette si attraggono; se, invece, avviciniamo una bacchetta elettrizzata di vetro, si osserva che la bacchetta sospesa viene da questa respinta.

Ciò dimostra l'esistenza di due tipi di carica elettrica: si è chiamata negativa la carica elettrica assunta per strofinio dall'ebanite e positiva quella assunta dal vetro.

Un corpo elettrizzato è capace di conferire ad un altro corpo una carica elettrica dello stesso segno e che cariche elettriche dello stesso segno si respingono e che cariche di segno opposto si attraggono.

Le cariche elettriche e la loro misura

La materia è costituita da particelle piccolissime chiamate atomi. Ogni sostanza ha i suoi atomi caratteristici che ne causano le svariate proprietà. A sua volta ogni atomo è formato da più tipi di particelle: elettroni, protoni e neutroni.

Nel nucleo si concentrano i neutroni e i protoni; questi ultimi hanno carica elettrica positiva e così il nucleo assume una carica elettrica positiva proporzionale al numero dei protoni da esso contenuti. Intorno al nucleo si muovono gli elettroni, ciascuno dei quali portatore di una carica elettrica negativa. Poiché l'atomo è privo di carica, il numero dei protoni deve essere uguale al numero degli elettroni.

Nel fenomeno di elettrizzazione di una bacchetta di vetro per strofinio, il panno di lana è capace di asportare degli elettroni al vetro e dunque gli atomi del vetro interessati si caricano positivamente, mentre il panno di lana, a cui rimangono attaccati gli elettroni, si carica negativamente.

La carica elettrica è una grandezza fisica e come tale può essere misurata. Come unità di misura si può prendere la quantità di carica posseduta da un elettrone (carica elementare), ma essa è molto piccola e si è deciso di prendere un suo multiplo, il coulomb, uguale alla carica di 6,25 miliardi di cariche elementari.

Il campo elettrico E

Un corpo caricato elettricamente è capace di dare origine, intorno a sé, ad un campo elettrico. In particolare, due corpi carichi elettricamente, anche se non sono a contatto, esercitano l'uno sull'altro delle forze elettriche.

Si chiama campo elettrico una regione di spazio in cui avvengono fenomeni elettrici.

Si chiamano linee di forza di un campo elettrico quelle linee tali che la tangente ad esse in un punto rappresenta la direzione lungo la quale agirebbe la forza del campo su una carica posta in quel punto.

Nella figura sono riportate le linee di forza di campi elettrici generati rispettivamente da due cariche di segno opposto e da due di uguale segno.

Legge di Coulomb

Due corpi elettricamente carichi si respingono o si attraggono a seconda del segno delle rispettive cariche, con una certa forza F che può essere calcolata per mezzo della legge di Coulomb.

Per corpi puntiformi Coulomb dimostrò sperimentalmente che la forza che si esercita tra loro è direttamente proporzionale ai valori assoluti delle cariche da essi possedute ed inversamente proporzionale al quadrato della loro distanza.

Se q₁ e q₂ sono le cariche ed r è la loro distanza, si può dunque scrivere:

F = K q₁q₂ / r²

Dove K è una costante che dipende dalle unità di misura usate e dalla natura del mezzo dove sono poste le cariche.

Nello sviluppo formale dell'elettrostatica si preferisce sostituire la costante K con l'espressione 1/(4 0), introducendo la nuova quantità 0 che prende il nome di costante dielettrica del vuoto.

Pertanto l'espressione più utilizzata per la forza di Coulomb è: F = 1/(4 0) q₁q₂ / r².

Conduttori

Dal punto di vista elettrico i materiali possono dividersi in conduttori ed isolanti. Nei primi sono presenti delle cariche elettriche che si possono muovere liberamente e possono migrare da una parte all'altra del corpo sotto l'azione di forze elettriche. I metalli sono buoni conduttori.

Negli isolanti le cariche sono vincolate a posizioni praticamente fisse, anche se una certa mobilità della carica è presente in tutte le sostanze.

Nell'elettrizzazione per strofinio o per induzione non si ha creazione di carica elettrica, ma solo separazione di cariche preesistenti. Ciò va sotto il nome di principio di conservazione della carica elettrica: la carica di un sistema isolato non può cambiare, anche se possono avvenire trasferimenti di carica da una parte all'altra del sistema, come nello strofinio o nell'induzione.

Tutti gli elementi chimici sono costituiti da atomi, che a loro volta sono formati da tre particelle elementari: l'elettrone, il protone ed il neutrone.

Dimensioni    massa    carica

e    0    9,11 · 10^-31 kg    -1,60 · 10^-19 C

p    10^-15 m    1,67 · 10^-27 kg    +1,60 · 10^-19 C

n    10^-15 m    1,67 · 10^-27 kg    0

La prima particella ad essere scoperta fu l'elettrone, nel 1896, da J.J. Thompson. Fu solo nel 1922 che Rutherford ed i suoi collaboratori dimostrarono l'esistenza di una particella, il protone, avente massa uguale a quella dell'atomo di idrogeno, carica uguale ed opposta a quella dell'elettrone.

Il neutrone fu scoperto per ultimo nel 1932 da J. Chadwick; il suo nome sottolinea il fatto che la particella è priva di carica.

L'uguaglianza del numero di elettroni con quello dei protoni negli atomi ha come risultato il bilanciamento degli effetti elettrici.

Potenziale elettrico

Abbiamo visto che una carica posta in un campo elettrico tende a muoversi perché su di essa agisce la forza di Coulomb; ma è noto dalla meccanica che un corpo in moto compie lavoro, per cui possiamo concludere che ogni carica elettrica in ogni punto P di un campo possiede energia che dipende dalla sua posizione: si dice allora che nel punto P del campo si ha energia potenziale elettrica o semplicemente potenziale elettrico.

Il potenziale in un punto del campo è misurato dal lavoro necessario per trasferire la carica positiva di un coulomb da quel punto a distanza infinita o praticamente fuori del campo.

L'unità di misura del potenziale elettrico è il volt (V), e si ha la seguente definizione:

Si dice che in un punto si ha potenziale di 1 volt quando per portare da quel punto a distanza infinita la carica di 1 coulomb occorre compiere il lavoro di 1 joule.

Se indichiamo con V_A il potenziale in un punto A del campo, con V_B il potenziale in un altro punto B dello stesso campo, si dimostra che il lavoro L necessario per trasportare la carica Q da A a B non dipende dal cammino percorso ed è dato dalla formula: L = Q . (V_A - V_B), dove V_A - V_B si dice differenza di potenziale o voltaggio.

Capacità elettrica

Consideriamo un conduttore isolato e colleghiamolo con un elettrometro. L'esperimento mostra che comunicandogli una carica Q le cariche si distribuiscono sulla superficie del conduttore, accumulandosi nelle parti più curve, mentre tutti i punti acquistano lo stesso potenziale V. Se la carica è 2Q il potenziale diventa 2V, se la carica è 1/2Q anche il potenziale è 1/2V; quindi possiamo dire che la carica fornita ad un corpo è direttamente proporzionale al potenziale, cioè Q = C . V, dove C è detta capacità.

Si può anche scrivere C = Q/V. Per cui

La capacità di un conduttore isolato è data dal rapporto tra la carica che esso possiede e il potenziale che assume.

L'unità di misura della capacità è il farad (F), e si ha la seguente definizione:

Un conduttore ha la capacità di un farad se richiede la carica di 1 coulomb per acquistare il potenziale di 1 volt.

Condensatori

Prendiamo in esame i conduttori solidi, metalli, in cui le cariche mobili sono gli elettroni. Un condensatore è un sistema formato da due conduttori affacciati, detti armature o piatti. Si assume che essi siano totalmente isolati dall'ambiente circostante e che si trovino nel vuoto.

Un condensatore viene detto carico se le sue armature portano cariche uguali ed opposte +q e -q. C'è una proporzionalità diretta tra il modulo della carica q in un condensatore e la differenza di potenziale V tra le sue armature. Cioè q = CV, in cui C è chiamata capacità del condensatore.

Il calcolo della capacità dipende dalla geometria del condensatore. Il procedimento consiste nei seguenti passi:

1. Si assume che ci sia una carica q sulle armature;
2. Si calcola il campo elettrico E tra le due armature in funzione della carica q, utilizzando la legge di Gauss;
3. Conoscendo E, si calcola la differenza di potenziale V tra le armature;
4. Si calcola C dalla relazione C = q/V.

Il condensatore a piatti paralleli

Il campo elettrico è dato dall’equazione E = q / ₀A, dove A è l’area dei piatti. Quindi la differenza di potenziale è V = qd / ₀A. Da questa equazione si deduce che C = ₀A / d, cioè la capacità dipende solo da fattori geometrici come l’area A e la distanza d tra i piatti.

Condensatori in serie e in parallelo

Condensatori collegati in parallelo

Per i condensatori collegati tra loro è utile conoscere la capacità equivalente C_eq.

Per ogni condensatore possiamo scrivere q₁ = C₁V, q₂ = C₂V, ..., q_n = C_nV. Per quanto riguarda la carica, sappiamo che la carica totale è uguale alla somma delle cariche sui singoli condensatori, cioè q = q₁ + q₂ + ... + q_n. Da qui, per il condensatore equivalente si ha q = C_eqV.

Sostituendo i dati precedenti si ottiene C_eqV = C₁V + C₂V + ... + C_nV, cioè C_eq = C₁ + C₂ + ... + C_n.

Concludendo, per i condensatori collegati in parallelo, la capacità equivalente è data dalla somma delle capacità dei singoli condensatori.

Condensatori collegati in serie

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La figura mostra tre condensatori collegati in serie. Per i singoli condensatori possiamo scrivere

V₁ = q/C₁, V₂ = q/C₂ e V₃ = q/C₃ con la stessa carica q per ciascun condensatore, ma con differenze di potenziale diverse. Per la proprietà dei condensatori in serie si ha che V = V₁ + V₂ + V₃.

Si cerca la capacità equivalente C_eq che possa descrivere il comportamento della connessione:

V = q/C_eq.

Sostituendo le equazioni precedenti si ottiene q/C_eq = q/C₁ + q/C₂ + q/C₃, cioè 1/C_eq = 1/C₁ + 1/C₂ + 1/C₃.

Dunque la capacità equivalente di un insieme di condensatori connessi in serie è pari al reciproco della somma dei reciproci delle singole capacità.