Meccanica dei materiali e metallurgia: fondamenti e applicazioni

di Matteo Puzzle

matematicare@hotmail.com

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“Elementi di meccanica dei materiali e metallurgia” di Matteo Puzzle – matematicare@hotmail.com

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PROPRIETA’ Matteo Puzzle

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DATA DI CREAZIONE 23 Settembre 2005

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SITO 1

“Elementi di meccanica dei materiali e metallurgia” di Matteo Puzzle – matematicare@hotmail.com

PARTE I: generalità sui materiali duttili e fragili .............................................................3

Resistenza, duttilità ed energia di frattura ........................................................................3

PARTE II: tensioni piane e tridimensionali (cerchi di mohr) ..........................................9

Sforzi combinati: introduzione ..........................................................................................9

Cerchio di mohr per uno stato di sforzo piano..................................................................9

Cerchio di mohr per gli stati di deformazione piani.........................................................16

Cerchio di mohr per uno stato di sforzo tridimensionale.................................................18

Sollecitazione locale e quadrica indicatrice ...................................................................20

PARTE III: criteri di snervamento ...................................................................................22

Criterio del massimo sforzo di taglio (criterio di Tresca).................................................22

Criterio della massima energia di distorsione (criterio di Von Mises) .............................23

Confronto tra il criterio di Tresca e di Von mises............................................................30

PARTE IV: introduzione ai processi di lavorazione meccanica...................................31

Determinazione dei carichi per la trafilatura e la fucinatura da considerazioni tensionali:

introduzione....................................................................................................................31

Lavoro per variare la lunghezza di un elemento rettilineo ..............................................31

Applicazione dell’equazione del lavoro: determinazione della massima possibile

riduzione di una sezione in un unico passaggio .............................................................34

Estrusione di una sbarra ................................................................................................35

PARTE V: il processo di trafilatura ................................................................................36

Processo di trafilatura: introduzione ...............................................................................36

Sbarra cilindrica trafilata con una matrice conica ...........................................................37

Legami sforzo – deformazione nel processo di trafilatura ..............................................42

Determinazione della massima riduzione di un trefolo ...................................................46

Esempio di trafilatura......................................................................................................47

Osservazioni ..................................................................................................................50

Elaborazioni grafiche......................................................................................................51

Esempi di trafilatura di un filo .........................................................................................54

Trafilatura di un tubo ......................................................................................................62

PARTE VI: micrografie e macrografie ............................................................................65

PARTE VII: appendice .....................................................................................................76

Il patentamento ..............................................................................................................76

Il microscopio .................................................................................................................78

Microscopi ottici ..........................................................................................................78

I microscopi elettronici ................................................................................................81

BIBLIOGRAFIA.................................................................................................................84

2

“Elementi di meccanica dei materiali e metallurgia” di Matteo Puzzle – matematicare@hotmail.com

PARTE I: generalità sui materiali duttili e fragili

Resistenza, duttilità ed energia di frattura

I materiali strutturali vengono tradizionalmente catalogali, in base alle caratteristiche della

( )

σ ε

curva tensione - deformazione , in due distinte categorie: materiali duttili e materiali

( )

σ ε

fragili. Mentre i primi mostrano ampi tratti non lineari nel diagramma , prima di

pervenire alla rottura, i secondi si rompono in modo improvviso, quando la risposta é

ancora sostanzialmente elastica e lineare. Una seconda caratteristica che li distingue

nettamente è il rapporto tra resistenza a trazione e resistenza a compressione.

Mentre per i materiali duttili tale rapporto é vicino all'unità, per i materiali fragili esso si

presenta di molto inferiore (in alcuni casi, e ). Le differenze di comportamento

− −

1 2

10 10

dipendono in gran parte dai meccanismi microscopici di danneggiamento e di frattura, che,

nei vari materiali di impiego strutturale, si presentano notevolmente diversi. Nelle leghe

metalliche, ad esempio, si verificano degli scorrimenti tra i piani atomici e cristallini, che

danno luogo ad un comportamento di tipo plastico o duttile, con notevoli deformazioni

permanenti. Nei calcestruzzi e nelle rocce, d'altra parte, le microfessure e gli scollamenti

tra i componenti granulari e la matrice, possono estendersi e concorrere a formare una

fessura macroscopica che separa improvvisamente in due parti l’elemento strutturale.

Questo processo di fessurazione instabile produce un comportamento di tipo fragile.

Peraltro, non é sempre evidente quale sia l'ambito microscopico in cui avvengono i

meccanismi di danneggiamento. Tale ambito può presentare dimensioni assai diverse, in

funzione della natura dei meccanismi e della eterogeneità del materiale. Nei cristalli il

danneggiamento avviene a livello atomico, con le vacanze e le dislocazioni; nelle leghe

metalliche le cricche si propagano a livello intergranulare o transgranulare; nei

calcestruzzi, infine, le fessure si enucleano all'interfaccia tra gli inerti granulari e la matrice

cementizia. Si comprende quindi come la scala del danneggiamento venga a dipendere

dalla regolarità del solido e quindi dalla dimensione delle eterogeneità in esso presenti.

Accanto ai materiali da costruzione tradizionali, si sono aggiunti oggi nuovi materiali,

altamente eterogenei ed anisotropi, poiché rinforzati da fibre e composti da più lamine. Tali

materiali, detti compositi, possono essere a matrice polimerica, metallica, ceramica o

cementizia. In essi i meccanismi di danneggiamento sono essenzialmente due: lo

sfilamento delle fibre e la delaminazione (cioè lo scollamento degli strati).

La distinzione tra materiali duttili e materiali fragili non è sempre così netta nella pratica,

anche perché la duttilità del materiale dipende dalla temperatura ambientale e anche dalla

dimensione dell'elemento strutturale.

Quest’ultima è la dipendenza concettualmente più ardua da intendere, poiché in questo

modo la duttilità cessa di essere una proprietà del materiale per diventare una proprietà

dell’intera struttura.

Si consideri una prova di trazione uniassiale eseguita su di un provino o campione di

materiale duttile, ad esempio un acciaio (fig. 1.1). Il provino abbia l'usuale forma a

clessidra, per evitare che la rottura avvenga nella zona terminale di ammorsamento alla

macchina di prova. 3

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Figura 1.1 Figura 1.2

l'area della sezione trasversale iniziale del provino nella zona mediana ed la

Sia A l

0 0

distanza iniziale tra due sensori incollali in due punti distinti della zona mediana. Tale

distanza venga misurata da un dispositivo elettrico che collega i due punti. Si definisca la

tensione nominale , come il rapporto tra la forza trasmessa dalla macchina di prova

σ F

e l'area iniziale .

A

0 F

σ = A

0

Si trascurano cosi le contrazioni laterali elastiche ed, eventualmente, plastiche.

Si definisca poi la dilatazione convenzionale , come il rapporto tra la variazione di

ε

distanza tra i due sensori e la distanza iniziale :

∆ l

l 0

− ∆

l l l

ε = =

0

l l

0 0

Tale dilatazione è quella media, relativamente al tratto sotto controllo. É molto probabile

che, durante la prova, e specialmente in regime non lineare, la dilatazione non sia

uniforme e quindi non sia puntualmente coincidente con quella media.

Si riportino ora sul piano tutte le coppie di punti registrati durante il processo di

σ ε

−

caricamento (figura 1.2). Tra i punti e il diagramma è lineare ed elastico. Da in poi

L L

O

la risposta non è più lineare ed il materiale comincia a snervarsi. Scaricando il provino, si

evidenziano delle deformazioni permanenti . In questo modo parte dell'energia di

ε p

deformazione è restituita (triangolo ), cioè quella relativa alla deformazione , mentre

ε

'

ABA el

la restante è dissipata plasticamente (area ). Caricando nuovamente il provino, si

'

OLAA

ripercorre elasticamente il tratto , parallelo al tratto . Giunti in , il provino si snerva

' A

OL

A A

di nuovo ad una tensione .

σ σ

> l

II materiale vergine, quindi, si snerva a livelli di tensione più bassi di quanto non faccia il

materiale già precedentemente snervato. Tale fenomeno è detto incrudimento del

materiale (in inglese: “hardening”).

Continuando ad aumentare la forza applicata , si riprende a percorrere il tratto non -

F

lineare . In questa fase l’incremento di tensione per incremento unitario di dilatazione

AU

(ciò che si chiama solitamente rigidezza tangenziale) continua a diminuire, finché non si

annulla nel punto . Giunti nel punto , se il processo di caricamento è pilotato dalla

U U

forza esterna , il provino si rompe, poiché non può ulteriormente aumentare.

F F 4

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Figura 1.3 Figura 1.4 (cioè,

D’altra parte, se il processo di caricamento é pilotato dalla variazione di distanza ∆

l

elettronicamente si impone a tale grandezza una rampa nel tempo), é possibile indagare

sul comportamento del materiale al di là del punto di resistenza ultima . Oltre il punto ,

U U

infatti, la rigidezza tangenziale diventa negativa e, ad incrementi positivi di spostamento

, corrispondono incrementi negativi della forza . Ciò è dovuto al fenomeno della

∆ F

l

contrazione trasversale plastica o strizione (figura 1.3), per cui l'area della sezione

A

effettiva diventa notevolmente minore di , in una banda localizzata compresa tra i due

A

0

sensori. Infine, raggiunto un punto terminale, il provino cede di schianto, sebbene il

S

processo di caricamento sia a deformazione controllata.

Nel caso di alcune leghe metalliche, come gli acciai a basso tenore di carbonio, al limite di

proporzionalità segue uno snervamento improvviso, così che la dilatazione aumenta di

L

una quantità finita sotto carico costante (figura 1.4). In questi casi è quindi facile

individuare il valore della tensione di snervamento uniassiale , essendo questa

σ p

coincidente con il limite di proporzionalità . Quando invece al limite di proporzionalità

σ l

segue il tratto incrudente, è più difficile definire . Si usa allora, per convenzione, quel

σ P

valore della tensione la cui dilatazione permanente allo scarico è pari al 0,2%.

ε p

Mentre i materiali duttili presentano comportamenti simili a trazione c compressione, i

materiali fragili mostrano comportamenti considerevolmente diversi. I calcestruzzi, ad

esempio, sono duttili in compressione e fragili in trazione, e presentano una resistenza

ultima a compressione che è circa di un ordine di grandezza maggiore di quella a trazione.

Una prova di trazione su di un campione di calcestruzzo, se condotta pilotando il carico

(come si suole dire, a carico controllato), mostra una risposta approssimativamente

elastica e lineare e poi, all'improvviso, una brusca caduta del carico stesso, che

corrisponde alla repentina formazione di una fessura. Tuttavia, le moderne tecniche

elettroniche permettono oggi di pilotare la deformazione (input = deformazione , output

ε

= tensione ).

σ

Cosi facendo, si evidenzia la curva di risposta post - rottura del materiale cementizio

(figura 1.5). Solo recentemente ci si è resi conto dell’esistenza di un esteso ramo di

incrudimento negativo (in inglese: “softening”) e della possibilità di dissipare, da parte del

materiale, una notevole quantità di energia per unità di volume. Tale energia è

( )

σ ε

rappresentata dall'area sottesa dalla curva . 5

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Figura 1.5 Figura 1.6

Ancora più recentemente si è potuto dimostrare che l’energia in realtà non è dissipata

uniformemente nell’unità di volume, bensì è dissipata su una banda localizzata, la quale

diventa in seguito una fessura (lo stesso fenomeno avviene nei materiali duttili con la

strizione). In altre parole, la dilatazione puntuale tra i due sensori di figura 1.1, non è una

funzione costante. Al contrario, essa mostra un notevole picco in corrispondenza della

fessura in via di formazione. Idealmente si può immaginare che la funzione sia una di

δ

ε

Dirac, essendo la dilatazione infinita ove si verifica una discontinuità della funzione

spostamento assiale. ( )

σ ε

In conseguenza della localizzazione della deformazione , il ramo decrescente viene

ε

a dipendere dalla lunghezza della base di misura. Ciò che invece risulta essere una

l

0 ( )

σ

vera caratteristica del materiale è il diagramma , che rappresenta la tensione

w

trasmessa attraverso la fessura, in funzione della apertura (o larghezza) della fessura

stessa (figura 1.6). Tale legge di decadimento indica, naturalmente, un indebolimento

dell'interazione all'aumentare della distanza tra le facce (o superfici libere) della fessura.

w

Quando raggiunge il valore limite , l'interazione si spegne totalmente e la fessura

w

w c

diventa una sconnessione completa che divide in due parti distinte il provino. L'area

( )

σ

sottesa dalla curva rappresenta l'energia dissipata sulla superficie unitaria di frattura.

w ( )

σ

Essendo la legge coesiva una caratteristica del materiale, che dipende dalla struttura

w

intima e dai meccanismi di danneggiamento del materiale stesso, anche l’energia di

frattura risulta essere una proprietà intrinseca del materiale:

∑ ( )

w

∫ σ

∑ = c w dw

0

L'energia dissipata sulla superficie della fessura vale essendo dimensionalmente

∑ ⋅ ∑

A

0 [ ][ ]

−

un lavoro per unità di superficie e quindi una forza per unità di lunghezza, .

1

F L

Poiché, peraltro, si è supposto che la dissipazione energetica avvenga soltanto sulla

superficie fessurata e non nel volume di materiale integro, l'energia dissipata globalmente

nel volume è ancora pari a (cioè rigorosamente valido in assenza di

⋅ ∑ ⋅

A l A

0 0 0

incrudimento positivo).

Se si riportano allora le curve di risposta sul piano , all'aumentare della lunghezza

− ∆ l

F l 0

del provino, si ottengono tratti elastici a rigidezza calante e tratti “softening” a pendenza

negativa crescente e, oltre un certo limite, a pendenza positiva (figura 1.7). L'area sottesa

da ciascuna curva deve infatti essere costante e pari a .

∑ ⋅ A

0 6

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Figura 1.7 Figura 1.8

(figura 1.8) la transizione appena descritta, è rappresentata da un unico

Sul piano σ ε

−

tratto elastico lineare e da un ventaglio di rami “softening”, al variare della lunghezza .

l

0

∑

L'area sottesa, infatti, in questo caso varia con , essendo pari a .

/ l

l 0

0

Per il ramo “softening” diventa orizzontale e rappresenta una risposta strutturale

→

l 0