Economia finanziaria - la scelta di portafoglio

La scelta di portafoglio

Enrico Saltari 1

La scelta di portafoglio: il modo in cui un individuo decide di allocare la propria ricchezza tra più titoli.

Il mercato dei titoli è un’istituzione che consente all’individuo, attraverso lo scambio, di trasferire risorse da uno stato all’altro e di fronteggiare il rischio.

Un titolo ha un rendimento incerto, variabile a seconda dello stato del mondo; “paniere” o combinazione di redditi contingenti: un dato reddito se si verifica lo stato 1, un altro reddito se si verifica lo stato 2. 2

Il vincolo di bilancio

Soltanto due titoli. Il vincolo di bilancio come vincolo sul valore dei titoli, sulla scelta di portafoglio

AA A A + =+ = A P A WP A P A P 1 21 2 21 2 1

A A+ =P A P A W1 21 2

Con = A =WP ii i A AP A P A1 21 2+ = + =11 2W W

Soltanto due stati: è il rendimento del titolo , nello stato ,= 1 2,z i i ; sis= 1 2.s ;

I redditi contingenti che una data allocazione della ricchezza produce

= +y A z A z1 1 11 2 21

= +y A z A z2 1 12 2 22 3

AA e quindi

Poiché == A =W A W=PP i i ii ii z z11 21

= +y W W1 1 2A AP P1 2z z12 22

= +y W W2 1 2A AP P1 2

Il tasso di rendimento r isAz P zis isi = 1 + =r r R)is is isA AP Pi i dove rappresenta il rendimento totale del titolo nello stato R i s:is

= [ + ]y R R W1 1 11 2 21

= [ + ]y R R W2 1 12 2 22 4

ß àW= J + Jy R R1 1 11 2 21

+ =A AP A P A W1 21 2

ß àW= J + Jy R R2 1 12 2 22

I rendimenti dei due titoli nei due stati

L’individuo avrà un reddito che dipende dall’ammontare acquistato dei y s due titoli e dal loro tasso di rendimento in quello stato. 5

y 2 D α < 02 α =11WR 12 A α =12WR α < 022 B 1 C yWR WR 111 21

Il vincolo di bilancio in termini di redditi contingenti

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Se le quantità acquistate dei due titoli debbono essere non negative, il vincolo di bilancio individuale è limitato al tratto AB.

Il vincolo ha una pendenza negativa; in particolare, abbiamo supposto che se si verifica lo stato 1, il titolo 2 ha un rendimento più elevato del titolo 1 ( ), mentre l’opposto è vero se si verifica lo stato 2 ( ).R > R R > R21 11 12 22

Se così non fosse, se uno dei due titoli avesse un rendimento più elevato in tutti e due gli stati e risultasse perciò dominante sull’altro, non si porrebbe nemmeno un problema di scelta: verrebbe acquistato soltanto il titolo più redditizio. Vedremo più avanti che questa situazione non può verificarsi se è soddisfatta la condizione di non arbitraggio.

Le vendite allo scoperto implicano che gli possano assumere valori negativi: si vende un titolo che non si possiede prendendolo a prestito da qualcuno con l’impegno di restituirlo alla scadenza una volta che lo stato del mondo si sia rivelato; con il ricavato della vendita si acquista l’altro titolo. 7

Un’espressione formale per il vincolo di bilancio in termini di redditi contingenti

= [ +( ) ]y R R R W1 1 11 21 21

= [ +( ) ]y R R R W2 1 12 22 22

Ricaviamo dalla prima equazione

1 )( =W Ry 1 21=1 R R11 21

e sostituendo nella seconda equazione

R R12 22= [ ] +W Ry y W R2 1 21 22R R11 21

Non è consentito di trovarsi in uno stato del mondo con un reddito negativo. Il significato economico di questa condizione è che escludiamo il fallimento 8

La posizione di ottimo

La scelta ottima di portafoglio. Un modo molto semplice è uguagliare la pendenza delle curve di indifferenza a quella del vincolo

0 ( )U R Rdy y1 12 222 1= = =)0dy R R( )U y1 11 212 20 ( )U R Ry1 22 121 =0 R R( )U y 11 212 2

L’individuo massimizza la propria utilità attesa dato il vincolo di bilancio

max ( ) = ( ) + ( )E U U y U y1 1 2 2;1 2

dove gli sono y s = [ + = 1 2]y R R W; s ;s 1 1s 2 2

se la massimizzazione è soggetta al vincolo + = 1 :1 2

= ( ) + [1 ( + )] =E UL )1 2 9

@L 0 0= + =0( ) ( )U y W R U y W R1 1 11 2 2 12@ 1

@L 0 0= + =0( ) ( )U y W R U y W R1 1 21 2 2 22@ 2

L = 1 ( + = 0)1 2@

Si ricava

0 0 0 0+ = +( ) ( ) ( ) ( )U y R U y R U y R U y R1 1 11 2 2 12 1 1 21 2 2 222

Dalla definizione di rendimento R is z is= =R )is APih i h i

0 0( ) = ( ) =E U y R E U y R )s s1s 2s

0 00 0 ( ) + ( )+( ) ( ) U y z U y zU y z U y z 1 1 21 2 2 221 1 11 2 2 12 =A AP P1 2 10

L’individuo nella posizione di ottimo ripartisce la propria ricchezza tra i due titoli in modo tale che l’ultimo euro impiegato nell’acquisto del titolo 1 fornisca la stessa utilità marginale attesa dell’ultimo euro impiegato nell’acquisto del titolo 2.

La scelta di portafoglio: il caso generale

titoli, con La ricchezza viene allocata tra questi titoli in modo 2.N N W da rispettare il vincolo di bilancio

NX A =P A Wii1

Il vincolo di bilancio come vincolo sulle quote di ricchezza investite in ciascun 11 titolo

NN A XX AP ii = =1iW 11

Il valore finale della ricchezza derivante da una data allocazione dipende dai tassi di rendimento (contingenti) dei titoli acquistati.

Nel caso di titoli il reddito contingente che deriva da una data allocazione N della ricchezza è

NNX X(1 + ) == Rr Wy Ws i is i is11

Il problema di ottimo consiste nel massimizzare l’utilità attesa del reddito contingente y s SXmax ( ) = ( )E U U ys si 1 12

nel rispetto del vincolo di bilancio

NX =1i1

Formando il lagrangiano L 0 1NX@ A= ( ) + 1E UL i1

derivando rispetto a e ,iS

@L P 0= ( ) = 0 = 1U y W R ; i ; : : : ; Ns s is@ 1i

N@L P=1 =0i@ 1

h i h i0 0= = =( ) ( )E U E U ; i jy R y R) 6s sis js 13

Esercizio

Due stati con probabilità e Vi sono soltanto due titoli. Gli = 1 3 = 2 3= = :1 2 sono indicati qui di seguito R is

• Titolo 1 21 3 0
• Stato 2 0 3

Posto che la funzione di utilità sia logaritmica, determinare le ( ) = ln ( )u y y ; quote di portafoglio investite nei due titoli.

Risposta. Scriviamo la condizione di ottimo in questo caso

SP 0 =0 = 1 2( )U y W R ; i ;s s is1

cioè

0 0 0 0+ = +( ) ( ) ( ) ( )U U U U y Ry R y R y R1 1 11 2 2 12 1 1 21 2 2 222 14

o ancora

0 ( ) R RU y 1 22 121 =0 R R( )U y 11 212 2

Sostituendo

1 3y 2 = = = 2y y) 2 12 3y 1

Date le definizioni di e e la precedente condizione può essere = 1y y ;1 2 2 1 scritta come

= = 2 = 2 (( ) + ( ) + )y R y RR R R R2 1 12 22 22 1 1 11 21 21

da cui

1 2( 3) + 3 = 2 ( (3)) = = ; =)1 1 1 23 3

Il titolo non rischioso

Accanto agli titoli considerati, ve ne sia un altro privo di rischio con N rendimento = 1 +R r :0 0 15

titoli sicché il vincolo di bilancio è

+ 1N NX =1i0

Il problema di ottimo rimane immutato e alle FOC va aggiunta

SX 0 =0( )U y W Rs s 01

Sottraendo questa equazione da tutte le altre condizioni del primo ordine N