Economia finanziaria - il rischio economico

Il rischio e l’atteggiamento verso il rischio

Enrico Saltari 1

L’atteggiamento verso il rischio

Un individuo è neutrale al rischio se per lui è indifferente ottenere con certezza una somma oppure come valore atteso di una distribuzione: ( )E w [ ( )] = [ ( )]U E w E U w

È invece avverso al rischio se preferisce la somma certa alla distribuzione di probabilità: [ ( )] [ ( )]U E w > E U w

È infine propenso al rischio se preferisce la distribuzione di probabilità alla somma certa: [ ( )] [ ( )]U E w < E U w

Nel caso di neutralità al rischio la funzione di utilità è una retta ( ( ) =U w) e il criterio dell’utilità attesa coincide con quello del valore atteso+a bw( La definizione di avversione al rischio implica che( ) = [ ( )]).E w E U w

La funzione di utilità è concava, mentre nel caso di propensione al rischio è convessa. 2

Esempio. Avversione al rischio

Supponiamo che: p, e che

• La funzione di utilità sia ( ) = wU w
• Il rischio consista in una distribuzione di probabilità che consente di ottenere o con la stessa probabilità sicché 0 200 ( ) = 5 0 + 5 200 = 100E w : : :

Allora p pp 100 = 10 0 + 200 = 7 07( ( )) = ( ( )) = 0 5U > E :E w U w :

L’individuo cioè preferisce ottenere 100 con certezza piuttosto che partecipare al gioco. 3

Avversione al rischio

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Esempio. Propensione al rischio

Supponiamo che: 2

• La funzione di utilità sia , e che( ) =U w w
• Il rischio consista in una distribuzione di probabilità che consente di ottenere o con la stessa probabilità sicché Allora 0 200 ( ) = 5 0+ 5 200 = 100E w : : :

22 4 4( ( )) = 100 = 10 ( ( )) = 0 5 (200) = 2 10U E w < E U w :

L’individuo cioè preferisce il gioco alla certezza di ottenere il suo valore atteso. 5

Propensione al rischio

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Un approfondimento. Avversione al rischio e concavità

Avversione al rischio e concavità coincidono nella definizione appena data [ ( )] [ ( )]U E w > E U w

Il motivo è dovuto alla cosiddetta disuguaglianza di Jensen. Questa stabilisce che, data una funzione dove è una variabile casuale, ( ) ( ( ))f x x f E x >

Se e solo se è una funzione concava.[ ( )] ( )E f x f x 7

l(x)f(x) xE(x)

Poiché la funzione è concava, cioè la retta tangente( ) = + ( ),l x a bx f x giace sempre sopra la Solo nel punto le due funzioni hanno lo stesso( ). ( ),f x E x valore.

Vale a dire, nel punto si ha inoltre, poiché( ) ( ( )) = ( ( )) ;E x l E x f E x è una funzione lineare Perciò,( ( )) = ( ( )) ( ( )) = ( ( )) =l l E x E l x : f E x l E x

La disuguaglianza segue dal fatto che( ( )) ( ( )) ( ) ( ) 0E l x E f x : l x f x :

Prendendo l’aspettativa, e quindi[ ( ) ( )] 0 ( ( )) ( ( ))E l x f x ; E l x E f x : 8

Misure dell’avversione al rischio

Il premio per il rischio, (w).RCostituisce la somma certa che un individuo avverso al rischio è disposto a pagare per risultare indifferente tra l’avere con certezza e la distribuzione di+ ( )w E w0 probabilità :

+w w0 ( + ( ) ( )) = [ ( + )]U w E w R w E U w w0 0

Esempio. Il premio al rischio

Supponiamo che: 9pa.

• La funzione di utilità sia , e che la ricchezza iniziale sia( ) = =U w w w 01000
• Il rischio consista in una distribuzione di probabilità che consente di ottenere o con la stessa probabilità sicché Allora 0 200 ( ) = 5 0+ 5 200 = 100E w : : :

p+ 1100 = 33 16( )) =( E :U ww 0

e p p( ( + )) = 0 5 1000 + 1200 = 33 13E U w w : :0

Il premio per il rischio è dato da quel valore che uguaglia le precedenti espressioni ( + ( ) ( )) = ( ( + )) = ( )U w E w R w E U w w E U0 0

Esso è dato dalla seguente espressione1 1+ ( ) ( ) = ( ( )) ( ) = + ( ) ( ( ))w E w R w U E U R w w E w U E U!0 02( ) = 1000 + 100 33 13 = 2 4R w : : 10

Mentre l’equivalente di certezza è( ) = ( ) ( ) = 100 2 4 = 97 6C w E w R w : :

Si noti che ( + ( )) = ( ) = 33 13U w C w E U :0 11

+Dw)U( w0U(E( w)) U(w)E(U( w))-Dw)wU( 0 R(w) w-Dw +Dww +C(w)w w +E(w) w00 0 0 12

Esempio. Il rischio puro

Il rischio è definito puro quando il suo valore atteso è nullo. Supponiamo che per prender parte al gioco definito prima occorra pagare una posta di 1001 12 2200 100! !100 + =0 100! !1 12 2

La forma finale del gioco mostra che il rischio è puro. Il premio al rischio è definito da +( ( )) = [ ( )]U R ww w E U w0 0

Se la funzione di utilità è logaritmica e il gioco è quello rappresentato= 1000,w 0 nel diagramma 1 (ln (900) + ln (1100))ln (1000 ) =R !2p1000 = 900 1100 = 1000 995 = 5R R! 13

Si preferisce cioè pagare 5 (o meno di 5) piuttosto che sopportare il rischio connesso al gioco. A quanto ammonta l’equivalente di certezza?

Il coefficiente di avversione al rischio

• È una misura della concavità della funzione di utilità tale da renderla indipendente da trasformazioni lineari: 00 ( )U w 0( =)w 0 0 )(U w 0

In questo caso si parla di avversione assoluta al rischio perché il rischio entra in forma additiva, +w w:0 14

Esempio. Avversione assoluta al rischio

p 110 00

Allora, ea. la funzione di utilità sia ( ) = ( ) = ( ) =w: U w UU w w w22321 Il coefficiente di avversione al rischio èw :4 3100 w 1( )U w 20 14= =( ) = ww 0 10 2( )U w 10 w 22 10 00

b. la funzione di utilità sia eAllora,( ) = ln ( ). ( ) = ( ) =U Uw w U w w w2 Il coefficiente di avversione al rischio èw : 200 )(U w w