Econometria - analisi econometrica

Analisi econometrica

Dispensa a cura di Gabriele Pelli

Università Commerciale Luigi Bocconi

Indice

ANALISI ECONOMETRICA................................................................ 1

• Algebra delle matrici ...................................................................6
• 1.1 La trasposta della somma ...................................................... 6
• 1.2 Matrici partizionate ............................................................... 6
• 1.3 La trasposta del prodotto ...................................................... 7
• 1.4 La matrice prodotto incrociato.............................................. 8
• 1.5 Prodotto incrociato di matrici partizionate .......................... 8
• 1.6 La traccia di una matrice ...................................................... 9
• 1.7 Rango di una matrice ............................................................ 9
• 1.8 Rango di una matrice prodotto ............................................. 9
• 1.9 Proprietà della matrice inversa ............................................. 9
• 2 Matrici negli OLS ..................................................................... 10
• 2.1 Il rango della matrice del prodotto incrociato ......................10
• 2.2 Lo stimatore OLS .................................................................10
• 2.3 Spazi vettoriali .....................................................................11
• 2.4 Spanning sets ........................................................................11
• 2.5 Spazi ortogonali ....................................................................12
• 2.6 Matrici di proiezione ............................................................12
• 2.7 Residui OLS e valori predetti ...............................................14
• 2.8 La matrice prodotto incrociato nel modello OLS .................14
• 3 Il modello di regressione lineare ................................................. 15
• 3.1 Il modello lineare della popolazione .....................................15
• 3.2 Dal modello lineare della popolazione al modello di regressione lineare ...............................................15
• 3.3 Le proprietà dell’ LRM ........................................................16
• 4 Le proprietà algebriche degli OLS .............................................. 17
• 4.1 OLS: definizioni e proprietà .................................................17
• 4.2 Regressione partizionata .......................................................18

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• 4.3 L’aggiunta di un regressore ..................................................21
• 4.4 Bontà della stima e analisi della varianza ............................23
• 4.5 Misure di bontà della stima centrate e non centrate ...........25
• 5 Le proprietà statistiche degli OLS in campioni finiti .................. 27
• 5.1 Non distorsione .....................................................................27
• 5.2 Il teorema di Gauss-Markov .................................................27
• 5.3 Stimare la matrice di covarianza degli OLS .........................29
• 5.4 Test esatti di significanza con errori distribuiti normalmente ........................................................31
• 5.5 La legge generale delle aspettative iterate (LIE) .................36
• 5.6 La distorsione da variabili omesse ........................................36
• Proxy variables La soluzione delle ........................................39
• 5.7 La varianza di un singolo coefficiente OLS ..........................41
• Le tre determinanti di Var(b |X) quando 1 è nella X .....42
• i (nx1)
• 5.8 I residui dalla regressione OLS partizionata ........................44
• 6 Risultati per gli stimatori OLS e GLS in grandi campioni .......... 45
• 6.1 Introduzione .........................................................................45
• 6.2 OLS con errori non sferici ....................................................45
• Consistenza ...........................................................................45
• Normalità asintotica con eteroschedasticità .........................46
• Lo stimatore di White consistente per gli standard errors OLS in caso di eteroschedasticità ..............................48
• Test di eteroschedasticità di White......................................48
• Clustering .............................................................................49
• 6.3 GLS ......................................................................................50
• Consistenza dei GLS ............................................................52
• Normalità asintotica .............................................................53
• Feasible GLS ........................................................................54
• 6.4 Test in grandi campioni .......................................................57
• Il t-ratio test .........................................................................57
• Il test Chi-quadro .................................................................58

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• Panel data
• 7 Modelli FE e RE con ................................................ 59
• 7.1 Il modello a effetti fissi (FE o LSDV) ..................................59
• Pooled OLS (POLS) .............................................................65
• 7.2 Il modello Random Effect (RE) ...........................................66
• The Feasible GLS .................................................................70
• 7.3 Hausman test (FE vs RE) ....................................................73
• 7.4 Risultati per lo stimatore LSDV (FE) in grandi campioni ..76
• Consistenza ...........................................................................77
• Normalità asintotica .............................................................77
• 7.5 Uno stimatore robusto per la matrice di covarianza ............79
• Panel non bilanciati..............................................................79
• 8 IV e stima GMM....................................................................... 81
• 8.1 Il metodo dei momenti .........................................................81
• Il modello di regressione lineare ...........................................82
• Il modello di regressione con variabili strumentali (IV) ......82
• Il metodo generalizzato dei momenti (GMM) ......................84
• Lo stimatore Two Stages Least Squares (TSLS) .................85
• 8.2 Stimatori robusti per la varianza .........................................86
• 8.3 Test di esogeneità Durbin-Wu-Hausman .............................87
• 9 Appendice: Stata implementation .............................................. 88
• 9.1 Come caricare i propri dati in Stata ....................................88
• Help
• 9.2 Il comando ....................................................................88
• Regress
• 9.3 Stima degli OLS con il comando ..............................88
• 9.4 Come salvare i risultati di un comando ...............................89
• Predict
• 9.5 Post estimation command: .......................................90
• Regress
• 9.6 Osservazioni sull’output del comando: .....................90
• 9.7 Come calcolare gli standard errors OLS robusti per eteroschedasticità ...........................................................92
• 9.8 Come implementare il test per eteroschedasticità di White ..................................................92

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• 9.9 Come calcolare gli standard errors OLS robusti per cluster correlation ...........................................................92
• 9.10 Come generare una variabile come logaritmo di una variabile già esistente ................................................93
• 9.11 Come identificare i dati come serie storiche .........................93
• 9.12 Come implementare una regressione con Panel Data ..........95
• 9.13 Come implementare una regressione con Panel Data usando il classico comando regress invece di xtreg ..............95
• 9.14 Come implementare un Hausman Test ................................96
• 9.15 Come rendere le stime panel robuste per cluster correlation e eteroschedasticità .................................98
• 9.16 Come eseguire un test di Breush-Pagan di omogeneità degli errori con panel data ................................99
• 9.17 Come implementare lo stimatore TSLS ...............................99
• 9.18 Come implementare lo stimatore GMM (lineare) ................99
• 9.19 Come eseguire il test di esogeneità DWH ............................99
• 9.20 Come testare per strumenti deboli ..................................... 100
• 9.21 Come eseguire stime quando si hanno strumenti deboli .... 100

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1 Algebra delle matrici

1.1 La trasposta della somma

Date due matrici dello stesso ordine e , abbiamo che: ( ) ( )

1.2 Matrici partizionate

Il partizionamento di una matrice è un’importante operazione che non trasforma la matrice in sé, ma soltanto la sua rappresentazione.

Si consideri la seguente matrice:

E si traccino due linee tratteggiate perpendicolari tra loro separando così la matrice in quattro blocchi, come segue:

La matrice può quindi essere rappresentata come:

Cioè come una matrice di matrici, dove sono dette sottomatrici e (nell’ultima sua rappresentazione) è detta matrice partizionata.

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In termini generali, il partizionamento di una generica matrice ( ) in quattro sottomatrici (come nell’esempio presentato) è detto “partizionamento ” e può essere sempre rappresentato come:

dove: e .

La trasposta di una matrice partizionata è la trasposta della matrice delle sottomatrici, a loro volta trasposte. Tale operazione può essere effettuata in due passaggi:

• Primo, trasporre la matrice delle sottomatrici come se i suoi elementi non fossero matrici;
• Secondo, trasporre tutte le sottomatrici.

Ad esempio, sia:

Allora:

1.3 La trasposta del prodotto

Date due matrici e conformabili per il prodotto di per ( )( ), abbiamo che ( )

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1.4 La matrice prodotto incrociato

Data una matrice e un vettore , la matrice quadrata di ( ) ( ) ordine data da è detta (matrice) prodotto incrociato per :

Ed il vettore colonna di ordine , dato da è detto (vettore) prodotto incrociato di e :

1.5 Prodotto incrociato di matrici partizionate

( ) ( ). Sia una matrice partizionata Allora, il prodotto incrociato di è dato da:

A volte, potrebbe essere conveniente calcolare il prodotto incrociato della outer product matrice (detto anche prodotto esterno - o – di )

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1.6 La traccia di una matrice

{ }, Essa è definita solo per matrici quadrate. Data una matrice ( ), la traccia di , denotata con , è uno scalare definito come:

1.7 Rango di una matrice

( ), Def: Data una matrice , il rango di , cioè è definito come il massimo numero di colonne linearmente indipendenti di .

Def: Una matrice è quindi detta di rango colonna pieno ( ) ( )(f.c.r.) se e solo se .

1.8 Rango di una matrice prodotto

Date due matrici e conformabili per il prodotto , avremo: ( ) , ( ) ( ) - ( )

1.9 Proprietà della matrice inversa

Assumiamo che sia di rango pieno, allora valgono le seguenti proprietà:

• [1] Esiste unica ;
• [2] ;
• [3] Se e sono matrici quadrate dello stesso ordine: ( )( )
• [4] ( )

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2 Matrici negli OLS

2.1 Il rango della matrice del prodotto incrociato

( ). Sia una matrice ( )

Dimostriamo che se e solo se è di rango colonna pieno.

( )Supponiamo che (cioè che è f.c.r.). Se , allora ( ), il che implica che . Ma dal momento che ( )(per assunzione), allora , il che prova che .

( )Adesso, supponiamo che . Se , allora e ( )dal momento che , avremo che , il che prova che  ( ) .

( )( ).Esercizio: Sia una matrice Dimostrare che se e solo se è di rango colonna pieno.

( )Soluzione: Supponiamo che (cioè che è f.c.r.). Se, allora , il che implica che .

( )Ma dal momento che (per assunzione), ( )allora , il che prova che .

( )Adesso, supponiamo che . Se , allora ( )e dal momento che , avremo che  ( ), il che prova che .

2.2 Lo stimatore OLS

Si consideri il modello di regressione lineare in forma matriciale, cioè:

ordinary least squares

E si assuma che sia f.c.r. Lo stimatore OLS ( ) per , che indicheremo con , è tale che il prodotto incrociato tra ogni regressore in e i residui OLS:

( )Sia uguale a zero, cioè:

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O equivalentemente:

Poiché è di rango colonna pieno, e la matrice è di rango pieno e quindi invertibile, avremo che lo stimatore OLS esiste ed è dato dalla seguente formula: ( ) ( )

E la formula dei valori OLS predetti sarà: ŷ ( )

2.3 Spazi vettoriali

Uno spazio vettoriale è definito come la collezione di vettori (colonna) tali che, dati due vettori e in , allora e per ogni scalare . Lo spazio euclideo -dimensionale è uno spazio vettoriale.

2.4 Spanning sets

( ),Data una matrice ogni colonna di appartiene a ( )e l’insieme di tutte le combinazioni lineari delle colonne di è ( ).detto spanning set di (o anche il range di ), denotato con ( )

Si può facilmente dimostrare che è un sottospazio vettoriale di ( ). Poiché inoltre ogni elemento di è un vettore di componenti, esso è detto essere uno spazio vettoriale di ordine ., )-( ), (La dimensione di denotata con è il massimo numero ( ).di vettori linearmente indipendenti in, )-( ( ).

Esercizio: Dimostrare che ( )

Soluzione: Dal momento che ogni vettore può essere scritto ( ),come , dove è un qualche vettore allora ( )ogni collezione di vettori in può essere espressa come il seguente prodotto tra matrici: ( ) ( )

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( )Allora, per la disuguaglianza vale che: ( )( )( ) ( )Con l’uguaglianza che vale se e se è non ( )singolare. , )-( ( ).il che prova che Ovviamente se è , )-(f.c.r. allora .

2.5 Spazi ortogonali

Due vettori colonna dello stesso ordine e sono detti ortogonali se e solo se (oppure ). ( )L’insieme di tutti i vettori in che sono ortogonali a è denotato con . ( ) ( ) ( )

È facile dimostrare che: ( ),Ci si riferisce comunemente a come allo spazio ortogonale a o ( ).complemento ortogonale anche il di

2.6 Matrici di proiezione

Si assuma che sia f.c.r. e si definisca l’operatore come:, -( ), -

Si può facilmente verificare che è una matrice simmetrica, -( ) e idempotente ( )., - , -, - , - , -Ogni matrice con le due suddette proprietà è detta proiettore ortogonale, e dunque è . In termini geometrici, proietta vettori, - , -( )su lungo una direzione che è parallela ad (cioè allo spazio ( )).ortogonale ad

Simmetricamente, abbiamo che:, - , -

è il proiettore ortogonale che proietta vettori su lungo una direzione ( )parallela a (cioè allo spazio ortogonale a ).

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( ),Esercizio: Date due matrici e nello spazio ( )entrambe di rango colonna pieno, dimostrare che se ( ) ( ) allora ., - , -( ) ( ),

Soluzione: Se allora ogni colonna di appartiene a ( ) e in quanto tale può essere espressa come combinazione lineare delle colonne di , cioè , ( ).dove è una matrice

( )Quindi, . Poiché sia che, - ( ), hanno rango pari a , alla luce della disuguaglianza, ( )-abbiamo che , il che implica che ( ) ( ), e poiché è impossibile, ( )necessariamente avremo che e quindi è non singolare.

Infine, per la proprietà dell’inversa del prodotto di matrici quadrate: ( ), - ( ) ( )( )., -

Esercizio: Dimostrare che e sono ortogonali, cioè ., - , - , - , -( )

Soluzione: ., - , - , - , -, - , -

Esercizio: Dato un qualsiasi vettore a coefficienti reali che giace ( )( ),su dimostrare che e che, - , -( ),

Soluzione: Dal momento che vale che .( )Allora avremo che: ( ), -

Dato ciò, avremo che: ( ) ., - , - , -

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2.7 Residui OLS e valori predetti

( ),Usando la formula degli OLS della il vettore dei residui OLS può essere formulato come: ( ), -( ), - ( ), -

Quindi, il vettore dei residui OLS è ortogonale alla proiezione di ( )).sullo spazio (cioè sullo spazio ortogonale a Per questo motivo è chiamato a volte anche il “residual maker”., - ( ) ( )

Dalle equazioni e segue che: ŷ ( ) ( ), -

E quindi il vettore dei valori predetti OLS è la proiezione ortogonale su ( ) (cioè sullo spazio generato dai regressori in ).

ŷChiaramente, poiché , avremo che , quindi i