Domande esame Costruzioni Idrauliche

Domande aperte capitolo 2

ES.1) Modello del serbatoio lineare

Modello del serbatoio lineare: in un bacino perfettamente impermeabile di area A, la trasformazione afflussi-deflussi è rappresentabile con il modello matematico del serbatoio lineare:

a) Ricavare l’espressione dell’idrogramma unitario istantaneo per tale modello e rappresentare qualitativamente l’andamento grafico;

Il modello del serbatoio lineare è un modello pratico in cui si considera un bacino, il quale viene assimilato ad un serbatoio, tale per cui entra una determinata portata di pioggia netta p(t) e ne esce una portata, dovuta al solo deflusso superficiale, q(t). Il serbatoio contiene al suo interno un certo volume W(t).

Questo serbatoio viene valutato in un tempuscolo infinitesimo di durata dt che è compreso tra gli istanti t e t+dt, tramite un’equazione di conservazione della massa.

Nel tempuscolo infinitesimo entra una quantità d’acqua pari a p(t)dt, che è un volume infinitesimo, se si moltiplica per la densità ρ si trova la massa che entra; mentre il volume che esce è pari a q(t)dt e se anche in questo caso si moltiplica per la densità ρ si ottiene la massa che esce. La massa entrante meno quella uscente deve essere uguale alla variazione della massa all’interno del serbatoio.

Dato che la densità ρ può essere considerata costante, può essere portato fuori dal segno di integrale in modo da poter essere semplificato sia a destra che a sinistra dell’uguale, inoltre se si dividono per dt entrambi i membri dell’equazione si può ottenere l’equazione di continuità, secondo cui la differenza tra la portata entrante e quella uscente è uguale alla variazione di volume nell’unità di tempo, cioè la derivata di W rispetto al tempo t:

Ora occorre trovare la relazione tra W(t) e q(t), perché in generale nei casi pratici è noto solamente p(t).

Avendo una sola equazione con due incognite, si stabilisce un certo legame di tipo lineare tra la portata uscente e il volume contenuto:

Nell’equazione si può sostituire k*q(t) a W(t), dove k è una costante caratteristica del serbatoio e che ha le dimensioni di un tempo; sostituendo e portando fuori dal segno di derivazione la costante k si ottiene:

Si portano tutti i termini che contengono q(t) al primo membro lasciando invece la portata p(t) al secondo; quest’equazione deriva direttamente dall’equazione di continuità con l’aggiunta di serbatoio lineare.

Per individuare lo IUH e cioè la funzione h(t) del modello, bisogna risolvere l’equazione differenziale che definisce il serbatoio lineare e per risolverla conviene prima moltiplicare entrambi i membri per e^(t/k) e poi dividere per k:

Osservando il primo membro si riconosce che questo è la derivata rispetto al tempo di q(t)*e^(t/k), derivata di un prodotto, perciò è possibile riscrivere l’equazione in questo modo:

A questo punto si moltiplicano entrambi i membri per dt così da semplificare il primo membro, andando poi a scrivere l’integrale; l’integrale di una derivata è pari al termine dentro il segno della derivata quindi si ottiene che q(t)*e^(t/k) è uguale all’integrale del secondo membro, in cui si considera come variabile τ per non fare confusione con “t” che è solo l’estremo di integrazione in questo caso. Volendo isolare q(t) si dividono per e^(t/k) entrambi i membri dell’equazione e portando l’esponenziale dentro il segno di integrale, sommando gli esponenti delle due e, così facendo si ottiene:

Confrontando l’integrale appena ricavato con l’integrale di convoluzione si nota che le due espressioni sono molto simili tra loro, in particolare è possibile riconoscere che h(t – τ) corrisponde al termine esponenziale, con quel particolare esponente negativo, contenuto nell’integrale, visto che il resto è uguale. Dalla relazione tra i due integrali si ricava l’idrogramma unitario istantaneo (IUH) del metodo del serbatoio lineare:

Lo IUH vale per ogni t ≥ 0, con h(t=0) = 1/K, invece per t > 0 all’aumentare di t, il fattore esponenziale, che inizialmente a tempo t=0 è 1, tende a diminuire perché lo si può considerare come un fattore di smorzamento e ciò significa che la curva tende a 0 per t che tende all’infinito essendo un’esponenziale negativa:

Tale curva possiede le proprietà che ha un idrogramma unitario istantaneo, ovvero:

• Ha dei valori positivi;
• È definita per t ≥ 0, viene imposto arbitrariamente;
• Se si va a calcolare l’area sottesa dalla curva si ottiene che l’integrale è uguale a 1.

Al variare di K, se si considera un K di valore maggiore rispetto a K succede che il punto sull’asse delle ordinate si sposta e la decaduta risulterà essere più lenta rispetto alla prima curva in maniera tale da mantenere l’area sottesa sempre e comunque unitaria.

b) Ricavare analiticamente l’andamento dell’idrogramma di piena avente durata “teta” ed intensità costante “i” durante la durata stessa e rappresentarlo graficamente;

c) Confrontare tale idrogramma con quello che si ottiene per una pioggia della medesima durata e di intensità “2i”. = i * A P1 P2 P = 2i * A Q2 P2 -θ/K Q = P (1 – e) P1 1 -θ/K Q = P (1 – e) P2 2 QP P11

Si ha una curva crescente fino ad un valore di massimo che si realizza al tempo t = θ, dove θ indica la durata della pioggia. Il primo ramo sarà seguito da una curva decrescente che tende asintoticamente a 0.

ES.2) Espressione dell’IUH per il modello dell’invaso e modello di Nash

Determinare l’espressione dell’IUH per il modello dell’invaso, tracciarne il grafico e l’espressione per 3 serbatoi posti in serie Nash.

Il modello del serbatoio lineare è un modello pratico in cui si considera un bacino, il quale viene assimilato ad un serbatoio, tale per cui entra una determinata portata di pioggia netta p(t) e ne esce una portata, dovuta al solo deflusso superficiale, q(t). Il serbatoio contiene al suo interno un certo volume W(t). Questo serbatoio viene valutato in un tempuscolo infinitesimo di durata dt che è compreso tra gli istanti t e t+dt, tramite un’equazione di conservazione della massa.

Dato che la densità ρ può essere considerata costante, può essere portato fuori dal segno di integrale in modo da poter essere semplificato sia a destra che a sinistra dell’uguale, inoltre se si dividono per dt entrambi i membri dell’equazione si può ottenere l’equazione di continuità:

A questo punto è necessario trovare la relazione tra W(t) e q(t), perché in generale nei casi pratici si conosce quanto vale p(t). Quindi si ha una sola equazione con due variabili incognite, perciò si usa stabilire l’esistenza di un certo legame tra la portata uscente e il volume contenuto, che è di tipo lineare:

Ora occorre trovare la relazione tra W(t) e q(t), perché in generale nei casi pratici è noto solamente p(t). Avendo una sola equazione con due incognite, si stabilisce un certo legame di tipo lineare tra la portata uscente e il volume contenuto:

Per individuare lo IUH e cioè la funzione h(t) del modello, bisogna risolvere l’equazione differenziale che definisce il serbatoio lineare ma prima di farlo è conveniente moltiplicare entrambi i membri per e^(t/k) e poi dividere per k:

È possibile riscrivere l’equazione in questo modo:

A questo punto si moltiplicano entrambi i membri per dt così da semplificare il primo membro, andando poi a scrivere l’integrale;

Confrontando l’integrale appena ricavato con l’integrale di convoluzione si nota che le due espressioni sono molto simili tra loro e dalla relazione tra i due integrali si ricava l’Idrogramma Unitario Istantaneo (IUH) del metodo del serbatoio lineare:

Lo IUH vale per ogni t ≥ 0, con h(t=0) = 1/K, invece per t > 0 all’aumentare di t, il fattore esponenziale, che inizialmente a tempo t=0 è 1, tende a diminuire perché lo si può considerare come un fattore di smorzamento e ciò significa che la curva tende a 0 per t che tende all’infinito essendo un’esponenziale negativa:

Tale curva possiede le proprietà che ha un idrogramma unitario istantaneo, ovvero:

• Ha dei valori positivi;
• È definita per t ≥ 0, viene imposto arbitrariamente;
• Se si va a calcolare l’area sottesa dalla curva si ottiene che l’integrale è uguale a 1.

Modello di Nash

Partendo da tale modello semplice, con opportune combinazioni si può ottenere un modello complesso, proprio come nel caso del “Modello della cascata di serbatoi lineari”, nel quale si immagina una sequenza di serbatoi disposti in serie, caratterizzati tutti quanti dalla stessa costante k, per semplicità, nel primo serbatoio entra la sollecitazione p(t) mentre l’uscita dell’ultimo serbatoio è q(t).

Conoscendo l’Idrogramma Unitario Istantaneo di ciascuno dei modelli componenti si vuole ricavare lo IUH della serie, cioè h(t). Per determinare l’Idrogramma Unitario Istantaneo, siccome è la risposta del sistema, che in questo caso è composto da n serbatoi in serie, ad una sollecitazione unitaria e impulsiva, anziché considerare un ingresso generico p(t) si adotta il cosiddetto “Delta di Dirac” δ(t).

Nel primo serbatoio entra δ(t) mentre la sua uscita prende il nome di q1 che entra a sua volta nel secondo serbatoio, la cui uscita è invece pari a q2, quest’ultima si versa nuovamente nel terzo serbatoio che rappresenta proprio l’ultimo serbatoio, la cui l’uscita corrisponde proprio ad h(t) in questo caso specifico avendo inserito come ingresso δ(t).

Considerando che tutti i risultati ottenuti hanno la stessa forma questa espressione può essere generalizzata:

Questa espressione definisce la portata in uscita da un serbatoio, quando entra la sollecitazione unitaria e impulsiva δ(t). Essendo la risposta del sistema a tale sollecitazione è proprio l’Idrogramma Unitario Istantaneo dello stesso sistema. Per cui l’espressione dell’IUH per 3 serbatoi posti in serie di Nash è:

In figura è riportato come varia lo IUH di Nash per un k fissato, k=1h, con n=3.

In particolare, si può notare come ricordi la forma di un’onda di piena, infatti per n = 3 la curva è composta da un primo ramo ascendente e successivamente da un ramo discendente che tende a 0 al tendere all’infinito del tempo.

ES.3) Serbatoio lineare e modello di Nash

Serbatoio lineare (IUH, idrogramma di piena, confrontare con idrogramma di evento di intensità 2i) e modello di Nash.

Il modello del serbatoio lineare è un modello pratico in cui si considera un bacino, il quale viene assimilato ad un serbatoio, tale per cui entra una determinata portata di pioggia netta p(t) e ne esce una portata, dovuta al solo deflusso superficiale, q(t). Il serbatoio contiene al suo interno un certo volume W(t). Questo serbatoio viene valutato in un tempuscolo infinitesimo di durata dt che è compreso tra gli istanti t e t+dt, tramite un’equazione di conservazione della massa.

Dato che la densità ρ può essere considerata costante, può essere portato fuori dal segno di integrale in modo da poter essere semplificato sia a destra che a sinistra dell’uguale, inoltre se si dividono per dt entrambi i membri dell’equazione si può ottenere l’equazione di continuità:

A questo punto è necessario trovare la relazione tra W(t) e q(t), perché in generale nei casi pratici si conosce quanto vale p(t). Quindi si ha una sola equazione con due variabili incognite, perciò si usa stabilire l’esistenza di un certo legame tra la portata uscente e il volume contenuto, che è di tipo lineare:

Ora occorre trovare la relazione tra W(t) e q(t), perché in generale nei casi pratici è noto solamente p(t). Avendo una sola equazione con due incognite, si stabilisce un certo legame di tipo lineare tra la portata uscente e il volume contenuto:

Per individuare lo IUH e cioè la funzione h(t) del modello, bisogna risolvere l’equazione differenziale che definisce il serbatoio lineare ma prima di farlo è conveniente moltiplicare entrambi i membri per e^(t/k) e poi dividere per k:

È possibile riscrivere l’equazi