Domande di studio Biomeccanica (primo parziale)

Politecnico di Milano – Dipartimento di elettronica, informazione e bioingegneria (DEIB)

Domande ed esercizi per l’esame di biomeccanica.

A cura di Vittoria Zennaro.

Corso di biomeccanica, A.A. 2021-2022, Prof. Redaelli.

Ingegneria biomedica.

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Indice degli argomenti

• 1 La matrice extracellulare (ECM) e materiali 3
• 2 Tessuto osseo 16
• 3 Tessuto muscolare 40

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1 La matrice extracellulare (ECM) e materiali

1. Descrivere sinteticamente le diverse tipologie di proteoglicani, illustrando in quali tessuti sono contenuti

Risposta

I proteoglicani si distinguono in base al peso molecolare. Esistono tre diverse tipologie:

• A basso peso molecolare come decorina, la fibromodulina e biglicano. Servono per ordinare la matrice extracellulare e si trovano nei tendini, nei legamenti e nelle ossa;
• Ad alto peso molecolare come i versicani e (15 catene di GAGs) e gli aggrecani (fino ad alcune centinaia di GAGs). Si trovano nelle cartilagini, nei tendini, nei legamenti, nell’umor vitreo dell’occhio e nei dischi intervertebrali. La loro funzione principale è, infatti, quella di mantenere idratato il tessuto;
• Ad altissimo peso molecolare come lo ialuronano. In quest’ultimo l’acido ialuronico, che normalmente non si lega a proteine per formare PG, si lega a speciali proteine che consentono un legame tra acido ialuronico e aggrecani, permettendo la formazione di giganti strutture molecolari. Si trova nelle cartilagini, nella pelle e nel fluido sinoviale.

2. Descrivere il ruolo della glicina nel collagene

Risposta

L’idrossiprolina e la prolina, a causa del loro ingombro sterico reciproco, tendono a ruotare l’una rispetto all’altra per non interferire tra di loro. La glicina, avendo come residuo solo l’idrogeno, è più piccola di entrambe e, per questo, funge da fulcro per la rotazione. La glicina espone il gruppo amminico verso il gruppo carbossilico di un residuo promuovendo la formazione di legami a idrogeno tra catene adiacenti con conseguente formazione della struttura a tripla elica caratteristica del collagene.

3. Descrivere la struttura dello ialuronano

Risposta

Lo ialuronano è un disaccaride molto lungo che si trova prevalentemente nelle cartilagini. Non è solfatato e, quindi, non attira l’acqua. Si tratta di macromolecole in cui l’acido ialuronico, che normalmente non si lega a proteine per formare PG, si lega a speciali proteine che consentono un legame tra acido ialuronico e aggrecani, permettendo la formazione di giganti strutture molecolari. È costituito da eliche del diametro di 50 nm disposte variamente nello spazio che giungono a toccarsi quando la concentrazione dello ialuronano è superiore a 1 mg/ml, ovvero 0.1%. Il cuore è una catena non solfatata che è in grado di attirare aggrecani che si legano alla catena centrale con legami non covalenti ed elettrostatici. Lo ialuronano è infatti presente dove è presente l’aggrecano in quanto lega a sé centinaia di queste proteine. Tende ad arrotolarsi su se stesso.

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4. Descrivere il ruolo della tripletta Gly-X-Y nel collagene

Risposta

La struttura base del collagene è costituita da tre amminoacidi essenziali: Gly (glicina) -X-Y, ovvero un residuo di glicina al quale si lega un secondo residuo (X) e un terzo (Y). I residui X e Y più frequenti sono rispettivamente Prolina e Idrossiprolina. Questa particolare sequenza è responsabile della struttura secondaria della molecola infatti la conformazione della catena è dovuta alla repulsione sterica tra prolina e idrossiprolina. Il ruolo della glicina è invece quello di fungere da fulcro per la rotazione reciproca degli altri due residui e di promuovere la formazione di legami a idrogeno tra catene adiacente con conseguente formazione della struttura a tripla elica.

5. Il modulo elastico dell’elastina è circa:

• A. 1 MPa
• B. 1 GPa
• C. 1 kPa
• D. Nessuna delle precedenti

Risposta

La risposta è l’opzione A. Il modulo elastico dell’elastina è circa 1 MPa.

6. Descrivere la struttura molecolare del collagene e il ruolo dell’amminoacido Gly

Risposta

Vedi domande 2 e 4.

7. Definire i GAGs e spiegare il loro ruolo nei tessuti

Risposta

I glicosaminoglicani (GAGs) si trovano sia disposti sulla superficie della membrana cellulare sia all’interno della matrice extracellulare. Essi sono carboidrati costituiti dalla ripetizione di un numero variabile di unità disaccaridi che possono andare incontro a modifiche di natura chimica. Si dividono in due tipi principali: i solfatati (subiscono solfatazione, si legano a e−SO 3 poi si legano covalentemente ad altre strutture proteiche per formare i PG) e l’acido ialuronico (catene di disaccaridi molto più lunghe, non subisce solfatazione e non si lega ad altre proteine). Costituiscono la matrice amorfa nella quale sono integrate le fibre di collagene, sono presenti nei tessuti e si comportano come materiali viscosi che interagiscono con le proteine, con le quali, legandosi, danno origine ai PG. Si legano facilmente con l’acqua e con altri gruppi grazie alla reattività dei gruppi laterali.

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8. Definire il modulo elastico di un materiale composito (con componenti elastici lineari) secondo il modello di Voigt

Risposta

Figura 1: Forza di trazione applicata al modello di Voigt.

Nel modello di Voigt, in cui le inclusioni sono lamine parallele alla direzione di applicazione, l’allungamento imposto al materiale composito coincide con l’allungamento subito dalle Δlc inclusioni e dalla matrice. Si ha dunque:

Δl Δli m F = F + Fc i m

in quanto la forza che agisce sul blocco di materiale composito è bilanciata dalla sommatoria delle forze reattive della matrice e delle inclusioni (il modello di Voigt è anche detto in parallelo).

Inoltre si ha che: l = l = l ; A = A + A ; Δl = Δl = Δl0 0 0 0 0 0 0 0 0c m c m c mi i i

da cui Δl Δl Δlc i m = = =⇒ ε = ε = ε .c i ml l lc i m

Usando la definizione di sforzo ingegneristico si ottiene:

σ = σ A + σ A .c i 0 m 0mi

Nell’ipotesi di materiale elastico lineare si può scrivere:

E ε A = E ε A + E ε Ac c 0 i i 0 m m 0c mida cui, semplificando la deformazione e moltiplicando per :ε l0

E l A = E l A + E l A =⇒ E V = E V + E V .c 0 0 i 0 0 m 0 0 c c i i m mc c m mi i V e si ottiene:

Esprimendo in frazione volumetrica (V∗ ∗∗ V + V = 1)= m iVc ∗ ∗E = E V + E V .c m im i

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9. Un polimero, schematizzato con un modello di Voigt, sottoposto ad uno sforzo di compressione costante nel tempo:

• A. Varia esponenzialmente la sua deformazione nel tempo
• B. Varia linearmente la sua deformazione nel tempo
• C. Mantiene costante la sua deformazione nel tempo
• D. Nessuna delle risposte è esatta

Risposta

La risposta è l’opzione A.

10. La rottura a fatica avviene:

• A. In condizioni impulsive
• B. In condizioni cicliche
• C. Sempre
• D. Nei materiali fragili

Risposta

La risposta è l’opzione B. La rottura a fatica si verifica su un materiale sottoposto a carico ciclico di valore massimo inferiore a quello limite.

11. Per un materiale viscoelastico con proprietà meccaniche note che subisce una prova come mostrato in figura (due deformazioni e1 e e2 consecutive e costanti nel tempo), schematizzare il diagramma dello sforzo nel tempo. Non sono richiesti calcoli.

Figura 2: Diagramma storia di rilassamento.

Risposta

Figura 3: Diagramma della risposta alla prova di rilassamento.

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12. Durante gli istanti iniziali di un impatto, un materiale:

• A. Presenta un lavoro di deformazione maggiore del lavoro delle forze esterne
• B. Presenta un lavoro di deformazione minore del lavoro delle forze esterne
• C. Presenta un lavoro di deformazione uguale al lavoro delle forze esterne
• D. Nessuna delle risposte è esatta

Risposta

La risposta è l’opzione B.

13. Il modulo elastico di una fibra di collagene è circa:

• A. 1 GPa
• B. 1 MPa
• C. 1 kPa

Risposta

La risposta è l’opzione A.

14. Un materiale composito di Voigt con fibre in carbonio e matrice polimerica:

• A. Ha un modulo elastico il cui valore aumenta all’aumentare della frazione volumetrica delle fibre
• B. Al tendere del modulo elastico delle fibre all’infinito tende ad un valore finito
• C. Ha un modulo elastico il cui valore diminuisce all’aumentare del modulo elastico della matrice
• D. Nessuna delle risposte è esatta

Risposta

La soluzione è l’opzione A.

15. Ricavare il modulo elastico complessivo di un materiale composito a lamine parallele sollecitato nella direzione delle lamine.

Risposta

Si tratta del modello di Voigt, vedi domanda 8.

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16. Descrivere la risposta di un materiale viscoelastico quando è sottoposto ad una deformazione costante nel tempo utilizzando il modello più appropriato.

Risposta

Un materiale viscoelastico sottoposto a una deformazione costante nel tempo sta subendo una prova di rilassamento degli sforzi e risponde con uno sforzo che diminuisce nel tempo.

Figura 4: Risposte di un materiale viscoelastico a prove di creep (b) e di rilassamento (c). In evidenza la curva di isteresi (a).

17. La rigidezza di un tessuto biologico

• A. Aumenta sempre all’aumentare del carico imposto
• B. Diminuisce sempre all’aumentare del carico imposto
• C. Dipende dal tipo di tessuto considerato
• D. Nessuna delle risposte è esatta

Risposta

La soluzione è l’opzione D. Aumentando la velocità di deformazione aumenta la rigidezza.

18. Un campione metallico sottoposto ad una prova di fatica meccanica con un protocollo che prevede per un elevato numero di cicli (> ):710

• A. Si rompe sempre prima di 7> 10
• B. Ha il 50% di probabilità di rompersi quando il numero di cicli è pari a 7> 10
• C. Si rompe solo se è soggetto a forze di compressione
• D. Nessuna delle risposte è esatta

Risposta

La soluzione è l’opzione D. Dopo solitamente si ha la rottura a fatica del materiale. 7> 10

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19. Ricavare il modulo elastico complessivo di un materiale composito a lamine parallele sollecitato nella direzione perpendicolare alle lamine.

Risposta

Si tratta del modello di Reuss, duale del modello di Voigt, nel quale le inclusioni sono perpendicolari alla direzione di applicazione del carico.

Figura 5: Forza di trazione applicata al modello di Reuss.

Nel caso del modello di Reuss la forza agente sulla matrice e quella agente sulle inclusioni coincidono con la forza agente sul composito mentre l’allungamento del composito è dato dalla somma degli allungamenti dei costituenti. Si ha dunque:

F = F = Fc i m

e: l = l + l ; A = A = A ; Δl = Δl + Δl0 0 0 0 0 0 0 0 0c m c m c mi i i

Essendo uguali tra loro sia le forze F che le aree A, si ha: . Quindi:σ = σ = σc i m

Δl Δl σ σ σ Δl 0 c m0 i0 mc il = l + l =⇒ ε l = ε l + ε l =⇒ l = l + l0 0 0 c 0 i 0 m 0 0 0 0c m c m c mi i il l l E E E0 0 0 c c mc mi

Da cui, semplificando e moltiplicando per , si ottiene:σ A01 1 1l A = l A + l A0 0 0 0 0 0c c m mi iE E Ec i m V si ha:

Essendo e utilizzando le frazioni volumetriche (V e ∗∗ ∗ = 1)V = lA = V + Vm iVc−1!∗ ∗1 1 1 V V E Em im iV = V + V =⇒ E = + =c i m c ∗∗E E E E E E V + E Vc i m m i i mm i

20. Descrivere la risposta di un materiale viscoelastico quando è sottoposto ad uno sforzo costante nel tempo utilizzando il modello più appropriato.

Risposta

Un materiale viscoelastico sottoposto a uno sforzo costante nel tempo sta subendo una prova di creep o di scorrimento viscoso e risponde con una deformazione che aumenta nel tempo.

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Figura 6: Risposte di un materiale viscoelastico a prove di creep (b) e di rilassamento (c). In evidenza la curva di isteresi (a).

21. I parametri viscoelastici

• A. Sono parametri estensivi
• B. Trovano corrispondenza nel modello analogo elettrico di Maxwell
• C. Dipendono dal tempo e dal tipo di tessuto considerato
• D. Nessuna delle risposte è corretta

Risposta

La soluzione è l’opzione C.

22. Una prova di fatica meccanica:

• A. È una prova viscoelastica
• B. È una prova di resilienza
• C. È una prova ciclica
• D. Nessuna delle risposte è corretta

Risposta

La soluzione è l’opzione C.

23. Quale è la geometria che meglio approssima la geometria di una molecola di collagene di tipo 1

• A. Sfera
• B. Cilindro
• C. Elissoide

Risposta

La soluzione è l’opzione B.

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24. Illustrare il fenomeno di rottura a fatica.

Risposta

La rottura a fatica si verifica a causa del propagarsi di una cricca in seguito all’applicazione ciclica di un carico inferiore al carico massimo di rottura. Tutto infatti si origina da un’imperfezione localizzata che, a causa delle sollecitazioni ripetute nel tempo, genera una microcricca che avanza ad ogni ciclo fino ad arrivare a rottura, che si verifica quando la cricca ha dimensioni troppo elevate e il pezzo non è più in grado di sopportare i carichi. Dopo la rottura la superficie creata dalla frattura presenta due zone: una zona d’avanzamento (superficie levigata e con linee caratteristiche dette di spiaggia, questo è dovuto allo sfregare delle due superfici una sull’altra mentre la cricca avanza) e una zona di frattura (generata al momento della rottura completa del pezzo meccanico, è irregolare e con asperità).

25. Illustrare il comportamento viscoelastico

Risposta

Un materiale si definisce viscoelastico quando la relazione tra sforzo e deformazione non è più biunivoca ma varia anche in base alla storia temporale di sollecitazione. Questo tipo di materiali presenta infatti diversi valori di sforzo in corrispondenza della medesima deformazione (e viceversa) a seconda che si stia considerando la fase di carico o quella di scarico, andando a formare delle curve di isteresi. Per un materiale viscoelastico, a velocità di deformazione differenti corrispondono curve sforzo-deformazione differenti.

26. Illustrare il fenomeno del reclutamento

Risposta

Il fenomeno del reclutamento riguarda le fibre di collagene e si verifica quando, all’allungamento, la percentuale delle fibre di collagene impiegate varia e, in particolare, aumenta all’aumentare della deformazione. Immaginiamo di avere 3 fibre di collagene "immerse" nell’elastina e, inizialmente, nessuna di esse è tesa. Successivamente immaginiamo di applicare una forza di trazione e che, di conseguenza, solo una di queste 3 fibre si "attivi", distendendosi. Applicando nuovamente una forza di trazione anche la seconda fibra si tenderà e infine anche la terza. Applicando per una quarta volta la forza, questa andrà ad agire su tutte e tre le fibre tese.

Figura 7: Illustrazione schematica del fenomeno del reclutamento (caso con 3 fibre di collagene)

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Si avrà quindi (chiamando l’allungamento imposto ad ogni applicazione):

ΔL F = K ΔLe 1

la fibra 1 è stata tesa solo da− −F = K ΔL + K (ΔL ΔL ) =⇒ (ΔL ΔL )e 2 c 2 1 2 11 − −F = K ΔL + K (ΔL ΔL ) + K (ΔL ΔL )e 3 c 3 1 c 3 21 2− − −F = K ΔL + K (ΔL ΔL ) + K (ΔL ΔL ) + K (ΔL ΔL )e 4 c 4 1 c 4 2 c 4 31 2 3

Passando dal discreto al continuo, considerando un numero n di fibre infinito, si ha che:

εZ· · 0−σ = E ε + E (ε ε )dnel c0

dove è la deformazione in cui la fibra viene reclutata e dn è il numero di fibre che progressi-0εvamente vengono coinvolte.

Considerando ora la velocità di reclutamento delle fibre come:

n˙dn(ε 0 ) 00 −Bεn˙ = = Aε edε 0

Sostituendo: εZ· · 0 0 0−σ(ε) = E ε + E (ε ε )n˙(ε )dεel c0

Normalizzando e integrando per parti:

∞∞ ZZ 0 dε integrazione per parti0 −Bε 2⇒ ⇒⇒ Aε = 1 A = Bn˙dε = 1 e00

Da cui, sostituendo: εZ 0· · dε0 0 −Bε 02−σ(ε) = E ε + E (ε ε )B ε eel c0

Il primo addendo è dato dal contributo dell’elastina mentre il secondo dal collagene, più aumenta n più fibre di collagene vengono reclutate rendendo più rilevante il secondo contributo. All’aumentare di B il reclutamento avviene prima.

27. Ricavare l’espressione del modulo elastico di un modello di materiale composito di Reuss a lamine parallele e calcolare il suo valore nell’ipotesi che il modulo elastico della matrice sia pari a 3 GPa, il modulo delle inclusioni sia pari a 300 MPa e la frazione volumetrica delle inclusioni sia pari al 30%:

Risposta

Per ricavare l’espressione del modulo di Reuss vedi domanda 19. Il risultato che si ottiene è:

−1!∗∗ V E EV m iim =E = +c ∗∗E E E V + E Vm i i mm i