Domande di Fisica Tecnica

Portata di massa con flusso monodimensionale

Ovvero quando compare la prima bolla di fase. Proprietà dei liquidi aeriforme. A tal punto la vaporizzazione comporterà un aumento di vapore e una diminuzione di liquido e allo stesso tempo la temperatura e la pressione rimarranno costanti.

Le proprietà nella zona del liquido possono essere calcolate partendo dall’osservazione che i liquidi, almeno negli stati non troppo vicini al punto critico o quando la differenza di pressione tra la fine e l’inizio della trasformazione non sia troppo elevata, si comportano come fluidi comprimibili. Ovvero all’aumentare della pressione il liquido non varia il volume specifico essendo v = cost.

Definizione della portata massica: è la massa nell’unità di tempo, l’unità di misura è.

Il flusso monodimensionale è un’idealizzazione che in natura non esiste, esiste solo nella nostra immaginazione. Un flusso monodimensionale è tale quando tutte le proprietà variano lungo la coordinata che ne identifica il moto; perciò, hanno un valore uniforme in una sezione ortogonale alla direzione del moto.

L’energia interna di un fluido incomprimibile è funzione della sola temperatura.

1

∆ = ∙ ∙ ∆ ∆ = ∙ ∙ ∆

1 1 1 1 1 1 1 = (, )

1∆ = ()

1 1lim = = ̇ ∆ ∆→0 = ( ) → =

Esperimento pvT

() =

Nell’esperimento pvT racchiudiamo una quantità nota della sostanza pura, all’interno di un sistema pistone-cilindro, ove il pistone può non essere sottoposto all’attrito, regime quasi statico. Partendo da una situazione equilibrio, al sistema viene fornito calore in maniera quasi statica, misurando man mano la temperatura e il volume specifico.

Se per l’energia interna vale la dipendenza dalla sola temperatura, non altrettanto si può dire per l’entalpia:

ℎ = () +

Differenziando si ottiene:

ℎ = () + +

= 0

Per l’ipotesi di incomprimibilità quindi:

ℎ = () +

ℎ ()

La procedura viene ripetuta per molti stati di equilibrio in modo da registrare una quantità di terne sufficienti pvt capace di descrivere il comportamento.

= ( ) =

Quindi il calore specifico non dipende dalla trasformazione perché Cp = Cv.

Fasi dell’esperimento

• Fase solida: il riscaldamento provoca una piccola crescita di volume.
• Fusione: continuando a fornire calore a un certo punto ha il processo di liquefazione, ovvero compare la prima goccia di liquido, fino a quel punto la temperatura rimarrà costante fino a quando non finirà il passaggio di fase, si avrà solo liquido.
• Fase liquida: in presenza della sola fase liquida, avremo quindi un aumento di temperatura e del volume specifico.
• Vaporizzazione: con l’aumento della temperatura e del volume specifico arriveremo alla vaporizzazione.
• Fase aeriforme: una volta che il liquido sarà divenuto tutto aeriforme, avremo di nuovo un aumento di temperatura e anche di volume.

Riportando tutto in un grafico tridimensionale pvT tramite le terne riusciremo ad ottenere l’andamento delle proprietà del sistema semplice.

Proprietà dei vapori

La zona cosiddetta del vapore saturo è quella contraddistinta dalla coesistenza delle fasi liquidi e aeriforme, situata nella superficie caratteristica al di sotto della figura a forma di campana. Questa è delimitata dal punto critico C, alla cui sinistra si sviluppa la curva limite inferiore, luogo dei punti di esistenza del liquido saturo, mentre alla destra si sviluppa la curva limite superiore, luogo dei punti di esistenza del vapore saturo secco.

La regola delle fasi ci dice che un sistema costituito da due fasi, cioè in condizioni di saturazione, possiede un solo grado di libertà e quindi troviamo una corrispondenza biunivoca tra la pressione e la temperatura. Il calcolo della proprietà nella zona dei vapori può essere semplificato utilizzando le tabelle e le relazioni:

( ) = + ∙ −

Z = − = = oppure

−

Quando un gas si comporta come un gas ideale

L’ipotesi su cui è costruito il modello di gas ideale, cioè con assenza di forze intermolecolari, suppone che esso sia tanto più vicino alla realtà quanto più le molecole del gas siano distanti una dall’altra, ovvero quando il gas sia poco denso, cioè se la pressione è bassa e la temperatura è alta. Il comportamento è valutato in termini del fattore di comprimibilità Z =.

Il valore 1 corrisponde al comportamento dei gas ideali, e man mano che ci si allontana da tale valore tanto più il comportamento è mal descritto dall’equazione dei gas.

Inoltre per il calcolo di variazioni finite di:

ℎ,.

2

Identificare la proprietà estensiva.

Ideali. Occorre introdurre un nuovo criterio generale che possa definire per ogni gas il valore di temperatura e di pressione oltre i quali il suo comportamento può essere descritto dal modello di gas ideale.

Il termine di confronto per generalizzare il risultato è dato dal valore che ha la pressione e la temperatura che assumono al punto critico, con conseguente utilizzo dei valori ridotti:

() ()() = ℎ() =

3

Fissare il tempo durante il quale si vuole osservare il sistema.

A primo membro avremo tutte le quantità che contribuiscono ad accrescere il contenuto di (P), mentre a secondo membro quelle che contribuiscono a diminuire il contenuto di (P) nel sistema, più la differenza di contenuto nel tempo di osservazione che dà conto della variazione di (P).

2 ()∆ = ∫ descritto dal modello di gas ideale. 2

Per molti gas che possono essere modellati come gas ideali nell’intervallo di temp è lecito porre:

= =

∆ℎ = ∫

2

= = ∆ = 100 °

[ ] [ ] [ ] [∆]+ = + +[ ]

Si nota che nel punto critico e negli stati vicini allo stato critico la deviazione è enorme. È evidente invece la tendenza delle sostanze ad avvicinarsi al valore Z = 1 quando la pressione ridotta tende a 0.

Quest’equazione verrà applicata alla massa, entalpia ed entropia.

∆ = ∆ ∆ℎ = ∆

Quando poi la temperatura ridotta diventa abbastanza alta, Principio degli stati corrispondenti, : > 2, allora l’influenza della pressione diventa trascurabile.

Stabilisce che le proprietà ridotte di tutti i fluidi sono sostanzialmente le stesse se confrontate a uguali temperature e pressioni ridotte. Non è rigorosamente esatto, inoltre afferma che per tutte le sostanze vale la rispettiva equazione:

In definitiva:

< 0,01 ≅ 1

Allora il gas reale si può approssimare a ideale.

< 0,1 1 < < 2

≅ 1 ≅ 2

= ( , )

Una caratteristica estremamente importante del gas ideale è che:

= ()

Cioè, l’energia interna del gas ideale non è funzione di due proprietà indipendenti, ma è funzione della sola temperatura. La conseguenza diretta è che l’entalpia dipendendo da u, anche essa è funzione della sola temperatura.

ℎ = + = () → ℎ() = ℎ

Dalla relazione possiamo renderci conto che:

()

() = ( ) = =

ℎ ℎ()

() = ( ) = =

Derivando l’espressione dell’entalpia per un gas ideale:

ℎ() = () +

Rispetto la temperatura otterrò:

= +

Relazione di Mayer.

Perciò queste equazioni di stato, anche le più complesse, possono essere in forma ridotta. Note la temperatura e la pressione ridotte sul diagramma generalizzando si legge il corrispondente fattore di comprimibilità Z e da qui, determino il volume specifico. Temperature e pressioni ridotte mi permettono di normalizzare i valori di T e P confrontandoli con i valori critici della sostanza.

Equazione di bilancio di una proprietà estensiva

L’equazione di bilancio è lo strumento basico delle analisi ingegneristiche, che può essere applicato a qualsiasi grandezza estensiva di qualsiasi sistema.

I passaggi per costruirla sono:

• 1 - Identificare il sistema termodinamico.
• 2 - Identificare la proprietà estensiva.
• 3 - Fissare il tempo durante il quale si vuole osservare il sistema.

Grandezze di stato o grandezze di scambio

L’energia si può presentare sia come grandezze di stato, energia interna, entalpia, entropia, sia come grandezza di scambio, lavoro, calore. Le grandezze di stato sono funzioni di punto, è definita dallo stato in cui si trova il sistema anziché dal percorso fatto dal sistema per raggiungere un determinato stato. La grandezza di scambio invece al contrario sono di linea, è definita sul cammino percorso per raggiungere un certo stato finale partendo da uno stato iniziale e dipende da quel cammino.

Una grandezza di stato è definita soltanto in un preciso stato termodinamico, cioè all’equilibrio e non è definita lungo una trasformazione, mentre le grandezze di scambio sono definite solo lungo una trasformazione, ovvero dal passaggio da uno stato di equilibrio ad un altro. Un’ultima differenza è che le grandezze di stato sono differenziali esatti al contrario delle grandezze di scambio, l’integrale esteso ad un qualsiasi cammino ciclico è identicamente nullo in quelle di stato.

Equazioni di bilancio dell’energia per i sistemi chiusi

Nei sistemi chiusi non c’è flusso di massa tra i sistemi e ambiente esterno, per cui gli scambi di energia possono avvenire solo come calore o come lavoro. L’equazione di bilancio, considerando la massa di controllo che rappresenta il sistema di controllo:

( )∆∆ =

[∆ ][∑|| + ∑|| ] = [∑|| + ∑|| ] +

∑|| + ∑|| − ∑|| − ∑|| = ∆

∑|| − ∑|| = ∑|| − ∑|| =

− = ∆

Q → rappresenta la differenza tra calore in ingresso e quello in uscita dal sistema.

L → rappresenta la differenza tra il lavoro in uscita e quello in ingresso.

∆ → rappresenta la variazione dell’energia totale nel sistema chiuso tra la fine e l’inizio del tempo di osservazione del sistema.

∆ = ∆ + ∆ + ∆

Inoltre in un sistema chiuso l’energia cinetica e potenziale sono nulle o trascurabili, perciò, si semplifica:

− = ∆

In maniera specifica:

− = ∆ = () ∙ ( )

Moltiplico per e otterrò:

− = = (ṁ ∙ ) ∙ ∆( )

In un processo ciclico, la variazione di energia interna in un ciclo è nulla perché dipende dalla posizione iniziale e finale:

− = 0

Equazioni di bilancio dell’energia per i sistemi aperti

Nei sistemi aperti la superficie di controllo è fissa e il volume del sistema è costante mentre la massa non lo è perciò uso l’approccio del volume di controllo VC, mantenendo l’ipotesi di flusso monodimensionale, nel attraverso il varco di entrata viene introdotto un volume di fluido pari a:

Il binomio (u+pv) è un termine sempre presente nei bilanci di energia dei sistemi aperti e lo possiamo porre:

ℎ = +

h è l’entalpia specifica.

Analogamente, nel varco di uscita e nello stesso tempo esce dal sistema un volume di fluido pari a:

( )∆∆ =

Al volume di fluido in entrata è associata una massa pari a:

∆ = ( ) ∙ ∙ ∆

E anche un’energia pari:

2

+ = + ℎ +

( )∆ = ∙ ∙ ∆

2

Avremo così:

()ṁ = = ( )

ṁ ṁ

2

si definisce potenza e si misura in watt

+ ∑ ( + ℎ + ) ṁ ∙ ∆] =

2

Ottengo così:

2(ṁ ) (ṁ )∆ = ∙ ∙ ∆ ∆ = ∙ ∙ ∆

= ∑ ( + ℎ + ) ṁ ∙ ∆ + ∆

2

Il lavoro compiuto per permettere il volumetto di fluido di entrare nel sistema si chiama lavoro di pulsione, ed è fatto dall’ambiente sul sistema.

Ponendo:

∆( )

, ,

2

⃗ = ∑|| − ∑|| = ∑|| − ∑||

= ∫ ∙ = ∆

1

Ottenendo così:

ṁ = = ( )

2

− + + ℎ + ) ṁ ∙ ∆

∑ (

2

= + ℎ + ) ṁ ∙ ∆ + ∆

∑ (

2

In termini infinitesimi:

Considerando un sistema che opera in un regime stazionario con le variabili non dipendenti dal tempo e con un solo varco di entrata e uno solo di uscita.

− = ∙ ∆ℎ ∙ ∆

Scrivendo l’equazione di bilancio per sistemi aperti ottengo:

− = ṁ ∙ ∆ℎ

− = ṁ ∙ ∆ℎ

[∑|| + ∑|| + ∑( ∙ ) ṁ ∙ ∆] =

[∆ ] = [∑|| + ∑|| + ∑( ∙ ) ṁ ∙ ∆]

Essendo l’energia totale:

− = ∆ℎ [ ]

21

2 = + + = + + 2 2

Aggiungendo (pv) termine caratteristico del lavoro di pulsione ottengo:

2∆

+ = + + +

2

Entalpia

L’entalpia è una combinazione lineare di proprietà e compare tutte le volte che si analizza un sistema aperto.

Entropia

L’energia, attraverso la sua conservatività ed equazione di bilancio è la proprietà estensiva che permette di sistematizzare il 1° principio della termodinamica, l’entropia ha la stessa funzione nel 2° principio. Si postula quindi l’esistenza di una proprietà estensiva della materia, che si misura in e che a differenza dell’energia, non è conservativa ma caratterizzata da generazione e definita solo dall’equilibrio.

+ = [ ⁄ ]

∆ < 0 impossibile

E siccome l’insieme sistema-ambiente costituisce un sistema isolato.

Per un sistema isolato invece, essendo un sistema chiuso che non ammette trasferimento di calore e lavoro attraverso i suoi confini.

∆ = ∆ + ∆ ≥ 0

Secondo il postulato appena introdotto, durante i processi viene generata entropia che non è possibile distruggere.

Le due cause di irreversibilità più importanti sono l’attrito e il trasferimento di energia termica con differenza di temperatura infinita.

∑ + = Δ ∑ = 0

L’energia generata è una quantità sempre positiva.

= ∆ > 0

In conclusione in un sistema isolato:

• L’energia rimane costante.
• L’entropia è sempre in aumento.

L’entropia generata non è una proprietà termodinamica ma una grandezza di scambio.

Equazione di bilancio dell’entropia

L’equazione di bilancio dell’entropia rappresenta la formulazione del 2° principio della termodinamica.

In un sistema aperto l’entropia può variare a causa del flusso entropico termico e trasferimento di massa quindi:

ṁ ṁ

[ ] [ ] [∆] [ ]+ = + = 0[ ]

ṁ∑ + ∑ ṁ ∙ + = ∑ + ∑ ṁ ∙ +

Verso di una trasformazione

Introducendo due sistemi immaginari, il serbatoio di energia termica SET e il serbatoio di energia meccanica SEM, che servono a idealizzare gli scambi di calore e di lavoro tra un sistema termodinamico e l’ambiente esterno. Il SET è un sistema ideale capace di trasferire il calore senza che la sua temperatura vari e senza generazione entropica.