Domande complete Costruzioni di macchine

Analisi cinematica delle strutture

Schematizzazione strutturale

Spiegare cosa si intende con schematizzazione strutturale. Spiegare cosa si intende per grado di vincolo, cosa sono i vincoli ideali e le tipologie di vincoli più diffuse. Gli organi di una macchina possono essere schematizzati, ridotti a modelli ideali che approssimano il loro funzionamento reale. Nella schematizzazione strutturale si usano i vincoli ideali: vincoli privi di attrito, non cedevoli. Il numero dei gradi di libertà che il vincolo impedisce prende il nome di "grado di vincolo". Le tipologie più diffuse sono:

• Cerniera fissa: impedisce il moto traslatorio del punto, in qualsiasi direzione
• Bipendolo: impedisce moti di traslazione lungo un asse, e i moti di rotazione
• Appoggio semplice: impedisce il moto di traslazione nella direzione perpendicolare al piano del carrello
• Incastro a terra: impedisce qualsiasi tipo di moto

Strutture ipostatiche, isostatiche ed iperstatiche

Spiegare cosa si intende per strutture ipostatiche, isostatiche ed iperstatiche. Spiegare le possibili metodologie di risoluzione di una struttura isostatica. Una trave si dice:

• Isostatica: se il numero di gradi di vincolo ben posti è pari al numero di gradi di libertà
• Ipostatica: se il grado di vincolo è inferiore al grado di libertà della trave
• Iperstatica: se il numero di vincoli posti è superiore rispetto ai gradi di libertà della trave non vincolata

Per la risoluzione di una struttura isostatica:

• Si cancellano i vincoli presenti nella struttura, sostituendoli con le reazioni vincolari che essi esercitano
• Per ogni corpo libero si scrivono le equazioni di equilibrio della statica
• Le soluzioni del sistema rappresentano le reazioni vincolari incognite

È possibile, inoltre, usare il metodo delle equazioni ausiliarie: è sufficiente determinare le reazioni vincolari esterne per trovare gli equilibri della struttura, si suppone quindi che i vincoli interni siano solidificati, alle equazioni dei vincoli esterne si aggiungono quindi le equazioni ausiliarie che impongono l’equilibrio anche ai vincoli interni.

Azioni interne

Azione interna su una trave piana

Spiegare cosa si intende per azione interna e descrivere le azioni interne (o sollecitazioni) che sono presenti su una trave piana. Una trave rappresenta una struttura monodimensionale in cui la dimensione longitudinale predomina sulle dimensioni trasversali. Si supponga che la sezione della trave appartenga al piano e sia in equilibrio. In tal caso la trave si dice piana. Supponiamo di dividere la trave in due tratti effettuando un taglio in corrispondenza di una generica sezione, individuiamo così due tronchi di trave.

Anche se la trave era inizialmente in equilibrio, dopo il taglio, affinché il tronco rimanente rimanga in equilibrio è necessario applicare sulla sezione le azioni che il tronco tagliato esercitava sull’altro, attraverso la sezione. Tali azioni prendono il nome di azioni interne e per un problema piano sono:

• Sforzo normale N: È una componente di direzione parallela all’asse della trave e coincidente con la risultante di tutte le forze (attive e reazioni vincolari) che agiscono a destra (o a sinistra) della sezione di taglio in direzione assiale.
• Sforzo di taglio T: È una componente di direzione ortogonale all’asse della trave, che coincide con la risultante di tutte le forze agenti in tale direzione a destra (o a sinistra) della sezione di taglio.
• Momento flettente M: Coincide con il momento rispetto alla sezione di taglio di tutte le forze agenti a destra (o a sinistra) della sezione di taglio.

Sforzo normale

Dopo aver spiegato perché, ai fini dei calcoli di resistenza, non è opportuno utilizzare direttamente forze e momenti, spiegare cosa si intende per tensione normale, e ricavare l’espressione della tensione normale dovuta ad uno sforzo normale N, illustrando anche le ipotesi sotto le quali la relazione risulta valida. Forze e momenti non sono adatte a valutare la resistenza di un organo meccanico. Infatti, prendendo due travi di diversa sezione, entrambe sollecitate dalla stessa forza F, avranno lo stesso sforzo normale N. Tuttavia, però, è intuitivo vedere come una trave a sezione maggiore resisterà ad una forza maggiore prima di giungere a rottura.

Questo significa che le azioni interne (come lo sforzo normale N) non possono essere considerate delle grandezze di resistenza; invece, vengono usate grandezze con il nome di tensioni. Considerando una trave con sezione costante e soggetta a due forze P uguali e opposte all’estremità, ed effettuando un taglio in corrispondenza di una sezione ortogonale all’asse della trave, allora nella sezione è presente l’azione esercitata dalla parte rimossa, data dalle tensioni sigma. (sforzo normale = tensioni normali)

Si può ragionevolmente assumere che le tensioni siano distribuite in modo uniforme sulla sezione, se sono verificate le seguenti ipotesi:

• La trave è a sezione costante
• Il materiale è omogeneo
• La linea d’azione delle forze applicate passa per il baricentro della sezione

Allora possiamo indicare con N lo sforzo normale risultante delle tensioni sulla sezione considerata. Può essere pensata come una sorta di pressione interna. Per equilibrio: = ∫ σ = σ Ed essendo le sigma uniformemente distribuite, per equilibrio dovrà essere: → σ = Sigma positivo se di trazione, negativo se di compressione.

Tensioni e deformazioni

Tensioni normali e tangenziali

Spiegare cosa si intende per tensione normale e tensione tangenziale, illustrando la nozione da adottare e facendo alcuni esempi pratici. Spiegare inoltre il principio di reciprocità delle tensioni tangenziali. Spiegare infine cosa si intende per deformazione normale, contrazione laterale e scorrimento.

Tensione normale: si intende la somma delle tensioni perpendicolari ad una sezione di una trave, dovuta ad uno sforzo normale di trazione o compressione.

Tensione tangenziale: si intende la somma delle tensioni parallele ad una sezione di una trave, dovuta ad uno sforzo di taglio o di torsione. τ

Il principio di reciprocità delle tensioni tangenziali stabilisce che per ogni componente di tensione esiste anche la sua componente reciproca, questo perché se si è in uno stato di equilibrio, se non fosse presente la componente reciproca vi sarebbe un momento orario sulla sezione, che ne comporterebbe una rotazione.

Ad uno stato di tensione normale si accompagna uno stato di deformazione normale. Ad esempio, se le forze sono di trazione, la trave di lunghezza L tende ad allungarsi di Δ, possiamo quindi definire la deformazione come un allungamento pari a: Δε = Contemporaneamente alla deformazione normale, subisce una contrazione laterale pari a: ε = − ⋅ ε Con coefficiente di Poisson. Lo scorrimento è lo spostamento sull’asse parallelo della sezione, dovuto alle tensioni tangenziali. Esso vale: τ = ⋅ γ γ Con angolo di scorrimento e modulo di elasticità tangenziale = 2(1 + )

Flessione

Equazione di Navier

Dopo aver enunciato le ipotesi fondamentali, ricavare l’espressione del Navier che permette di determinare la distribuzione di tensione su una trave rettilinea soggetta a flessione pura. Si consideri un tratto di trave soggetto a flessione pura. La simmetria geometrica e di carico fa sì che tutti gli elementi della trave si deformino in modo identico. Questo è possibile solo se le sezioni inizialmente piane rimangono piane anche a deformazione avvenuta. Per poter rispettare questa ipotesi, le sezioni si possono deformare solo “ruotando” rispetto ad un particolare asse chiamato asse neutro indicato con , i segmenti e che rappresentano le sezioni deformate, si intersecano virtualmente nel centro di curvatura . La distanza tra il centro di curvatura e l’asse neutro rappresenta il raggio di curvatura.

Si supponga che il momento flettente applicato sia tale da far subire un allungamento alle fibre superiori, e una compressione alle fibre inferiori. Le fibre in corrispondenza dell’asse neutro rimangono di lunghezza invariata: = ρϕ, , , La fibra generica di lunghezza infinitesima compresa tra le sezioni e ad una generica distanza dall’asse neutro, a deformazione avvenuta avra lunghezza pari a: (ρ = − )ϕ = − 1 ρ E la deformazione della fibra generica risulta pari a: Δ − − 1 ε = = = = − ⋅ ρ Introducendo la legge di Hooke, è possibile ricavare la tensione normale → prendo da questa) ρ = ρϕ(ultimo passaggio ϕ(−σ = ⋅ ε = ⋅ ⋅ ) = − ⋅ ( ) = − ⋅ ρ Per ipotesi il concio era soggetto a un puro momento flettente, e quindi assenza di sforzi normali. Dovrà valere allora: ϕ ∫ σ = 0 → ∫ − ⋅ = 0 Si noti che:

• è costante sull’intera sezione poiché per ipotesi le sezioni inizialmente piane rimangono piane anche a dopo la deformazione
• Per i materiali da costruzioni, il modulo elastico è uguale sia in trazione che in compressione

Quindi rimane solo: ∫ ⋅ = 0 Per la definizione di distanza baricentrica si può concludere che l’asse neutro coincide con l’asse baricentrico della sezione. Per equilibrio alle rotazioni della generica sezione si ha: ∫ σ ⋅ ⋅ = σ Con M momento flettente agente. Sostituendo l’espressione per ϕ ϕ ϕ² = ∫ − ⋅ ⋅ ⋅ = − ∫ = − Dove è il momento geometrico del secondo ordine della sezione (momento di inerzia geometrico). Ricordando che: ϕ σ − = Sostituisco in M: σ = E quindi = Che prende il nome di Equazione di Navier σ Afferma che le tensioni dovute a flessione sono delle tensioni normale alla superficie e sono:

• Nulle sull’asse baricentrico
• Massime in modulo sulle superfici più distanti dall’asse baricentrico
• Cambiano segno sopra e sotto l’asse baricentrico

Equazione della linea elastica

Ricavare l’equazione della linea elastica di una trave inflessa. L’equazione della linea elastica, detta anche equazione differenziale della linea elastica, consente di legare gli spostamenti η, della trave, espressi come freccia alla geometria e ai carichi di momento flettente applicati. La trattazione dipende da Navier: σ = Grazie alla legge di Hooke, l’equazione può essere riformulata in termini di deformazione: σ = ⋅ ε ) Σ = ricordando ε= ⋅ Dato il seguente schema: 1 ϕ = ρϕ → = = ρ ϕ = ρ Possiamo quindi introdurre la deformazione, ricordando che vale l’ipotesi che le sezioni piane restano piane, quindi l’angolo è costante nel concio considerato: (ϕ ρ Δ − ϕ) − ϕ ε = = = − 0 ρ, ϕ → Possiamo riscrivere l’equazione in funzione del raggio sostituendo ρ ⋅ ε = − = − ⋅ ρ ρ Uguagliando l’equazione a Navier si otiene: 1 = − → = − ρ ρ 1 η. Per completare la trattazione riconduciamo a Lo si fa considerando la flessione della trave: ρ (ϕ) = ϕ, ≈ ): dalla trigonometria (per ipotesi dei piccoli spostamenti η η (ϕ) = → ϕ = Perciò: ϕ = → ϕ = ρ ρ Uguagliando le due ultime equazioni si ottiene la freccia in funzione del raggio di curvatura 21 η = 2 ρ Uguagliando l’equazione con Navier otteniamo l’equazione della linea elastica = − ⋅

Taglio

Distribuzione di tensione da sollecitazione di taglio

Ricavare l’equazione che fornisce la distribuzione di tensione dovuta ad una sollecitazione di taglio. Particolareggiare l’equazione nel caso di una sezione rettangolare e descrivere l’andamento della tensione in tale sezione, determinandone il valore massimo. Si consideri una condizione in cui sia presente non solo momento flettente puro, ma anche una sollecitazione di taglio. L’esistenza del taglio è sempre associata ad una variazione del momento flettente lungo la trave. Si consideri inoltre inizialmente, che la trave sia dotata di una sezione rettangolare. Si supponga che il momento flettente sia tale da tendere le.fibre sopra l’asse neutro e che il momento risulti crescente all’aumentare della coordinata.

Si consideri quindi un concio di trave, e si isoli al suo interno un elemento infinitesimo di lunghezza e altezza. Indichiamo con la generica distanza tra il baricentro dell’elemento considerato e l’asse baricentrico della sezione. Per effetto della variazione del momento flettente, che indichiamo, con le facce di sinistra e di destra dell’elemento infinitesimo isolato, sono soggette a delle tensioni normali di diversa entità. In particolare: σ = ( + ) σ = Esse danno luogo alle seguenti forze risultanti sull’elementino = ∫ σ = ∫ ( + ) = ∫ σ = ∫ σ Dove è la superficie dell’elemento su cui agiscono e E chiaro che se fossero presenti solo le componenti di tensione dovute alla flessione, l’elemento non sarebbe in equilibrio alla traslazione, in quanto vi sarebbe una forza in eccesso verso destra di: Δ = − = ∫ ⋅ Ricordando che, dato T sforzo di taglio: = → = Sostituendo si ottiene: ⋅ Δ = ∫ ⋅ = ∫ ⋅ E necessario quindi, per garantire l’equilibrio, che sulla faccia inferiore siano presenti delle componenti di tensione, parallele alla faccia stessa. Esse sono le componenti di tensione tangenziali. E necessario formulare un’ipotesi che prevede che le tensioni di taglio siano uniformemente distribuite su tutta la larghezza. Tale ipotesi è ragionevolmente verificata se le facce della sezione sono parallele. Se questa ipotesi è verificata la loro risultante viene espressa come: = τ ⋅ ⋅ Δ E dovrà essere uguale a per l’equilibrio. Uguagliando quindi le due equazioni si ottiene: ⋅ τ = ∫ ⋅ = ⋅ Che rappresenta l’equazione di Jourawskj. è il momento statico del primo ordine dell’area dell’elemento considerato, indicato come Nel caso delle tensioni di taglio su una trave a sezione rettangolare: Si consideri una generica sezione rettangolare di base e altezza. Si applichi quindi l’espressione di Jourawskj. Si consideri una linea orizzontale distante dall’asse baricentrico.

Nell’espressione di Jourawskj, rappresenta il momento statico del primo ordine dell’area delimitata da questa linea. ∫ = ∫ ⋅ ⋅ = → ⋅ − ( ) 2 2 4 0 , , Si noti come l’andamento sia parabolico. Inoltre nell’espressione sono costanti. Questo significa che la variazione lungo la sezione delle tensioni tangenziali è controllata dall’andamento di, ed è parabolico. Le tensioni sono nulle sulla superficie inferiore e superiore della sezione, e massime in corrispondenza dell’asse baricentrico, dove: = 0 → = 2 4 Da cui risulta: ⋅ 3 3 8 τ = = = 1 2 3 ⋅

Torsione su una trave a sezione circolare

Ricavare l’espressione di Coulomb che permette di determinare le tensioni tangenziali indotte da un’azione di torsione su una trave a sezione circolare. Le tensioni tangenziali nelle sezioni rette delle travi