Domande - Aerodinamica

Spiegare la differenza tra descrizione euleriana e descrizione lagrangiana indicando come si passa dall’una all’altra, chiarendo perché di solito è necessario usarle entrambe

Scrivere l’espressione di derivata materiale chiarendo il significato dei vari termini. Dimostrare il teorema del trasporto di Reynolds discutendone il significato.

Studiando la fluidodinamica, si incontrano grandezze (densità, pressione, velocità…) che variano nello spazio e nel tempo, ciò significa che sono diverse in ogni punto dello spazio e da istante a istante: in ogni punto ci saranno diversi valori di quelle grandezze, per lo studio la fluidodinamica si ha bisogno di conoscerli tutti. Per descrivere il moto di un fluido possono essere sfruttati due approcci:

• L’approccio euleriano, detto “fisso”, consiste nel considerare l’espressione del campo fluidodinamico in un determinato spazio supponendo che l’osservatore sia fermo. Per ogni singola grandezza si avrà quindi un’espressione che mostra il suo valore in ogni punto dello spazio e in ogni istante di tempo, ad esempio per una generica proprietà A del campo A = A(x,y,z,t). Per studiare un fenomeno con questo tipo di approccio, il “determinato spazio” sopracitato è definito da un volume di controllo, ovvero un certo volume fissato nello spazio nel quale si studia il campo fluidodinamico che varia al suo interno.
• L’approccio lagrangiano che invece consiste nello scegliere una certa quantità di fluido e “seguirla” nel suo moto (si contrassegna una quantità di fluido) vedendo come variano le grandezze caratteristiche. Per far ciò si sceglie un sistema fluido che varia nel tempo (spesso si considera la “particella fluida”).

Entrambi gli approcci sono dunque fondamentali. L’approccio lagrangiano aggiunge alla descrizione una grande quantità di informazioni che attraverso la descrizione euleriana sarebbe invisibile: ad esempio, in un regime stazionario, le grandezze descritte con approccio fisso non variano nel tempo, mentre usando l’approccio mobile si nota che ogni particella cambia la sua proprietà.

Allo stesso tempo però studiando le interazioni tra flussi e corpi finiti, ci interessa seguire le particelle ma solo per un certo spazio/tempo, anzi per trarre le nostre conclusioni abbiamo bisogno di conoscere complessivamente le caratteristiche del flusso intorno all’oggetto considerato, è quindi altrettanto importante una descrizione d’insieme e fissa, cioè una descrizione euleriana.

Altra considerazione importante da fare è che scrivere i principi fisici è molto semplice usando un approccio lagrangiano (ad esempio “la massa si conserva” ha un significato banale per una particella fluida: la massa di quella particella deve rimanere costante nel tempo), ma questo approccio non rende i calcoli altrettanto semplici dato che, ad esempio, una particella fluida ha volume variabile e risulterebbe difficile integrare la densità sul volume variabile per trovare la massa. Al contrario, in una descrizione euleriana risulta più complicato esplicitare un principio fisico, ma è più semplice fare i conti poiché il volume di controllo che consideriamo è fissato nel tempo e quindi è costante. Sarà quindi di fondamentale importanza capire come passare da un approccio all’altro in modo tale da poter esplicitare i principi fisici con descrizione lagrangiana e fare i conti con quella euleriana.

Derivata materiale

Il primo passo è la derivata materiale. Le derivate “ordinarie” permettono di capire le variazioni delle grandezze considerando un approccio euleriano, ma abbiamo bisogno di poter fare la stessa cosa con l’approccio lagrangiano, quindi considerando una singola particella di fluido. La derivata materiale è proprio quella operazione che ci permette di capire come varia una grandezza associata ad una particella.

Consideriamo una grandezza A = A (x, y, z, t) del campo fluidodinamico e una particella fluida che segue una certa traiettoria intorno ad un corpo. Per considerare quella grandezza solo per quella particella fluida, ci basta sostituire al posto delle generiche x, y e z le funzioni che descrivono la traiettoria della specifica particella nel tempo: x(t), y(t), z(t).

Derivando questa grandezza nel tempo, abbiamo la derivata di una funzione composta, per cui possiamo scriverla come in (figura 1). Riconoscendo il prodotto scalare tra il gradiente di A e la velocità della particella, otteniamo la definizione di derivata materiale.

Osserviamo che abbiamo due contributi:

• Un termine in cui compare la derivata rispetto al tempo, detta derivata locale, che rappresenta la non stazionarietà del moto, si annulla in caso di moto stazionario in qualsiasi punto del campo poiché nessuna grandezza varia nel tempo.
• Il termine convettivo legato alla velocità della particella, indica che una proprietà associata ad una particella può variare a seguito dello spostamento della particella da un punto all’altro del campo fluidodinamico.

Vediamo, dunque, che anche se non ci sono variazioni nel tempo (regime stazionario, in senso euleriano), il valore della grandezza A cambia a causa del suo moto.

Teorema del trasporto di Reynolds

Possiamo passare da un approccio all’altro attraverso il teorema del trasporto di Reynolds. Consideriamo di poter scrivere una grandezza estensiva B (dipendente dalla massa) come l’integrale della corrispondente grandezza intensiva b sul volume considerato, moltiplicandola per la densità (figura 2). A seconda che il nostro approccio ρ sia euleriano o lagrangiano, questo integrale potrebbe essere calcolato su un volume di controllo fisso, oppure su un sistema fluido di volume variabile.

Fissando l’istante t in cui volume di controllo e sistema coincidono avremo.

Nell’istante successivo però il sistema si sarà spostato, mentre il volume di controllo sarà rimasto fisso: un po’ di fluido sarà uscito da VC e un altro po’ ne sarà entrato. Possiamo allora dire che all’istante t+dt il valore di B nel sistema fluido (SYS) è uguale a quello nel volume di controllo, più quello del fluido che è uscito, meno quello del fluido che è entrato (figura 3). In questo modo possiamo calcolare la derivata di B nel sistema fluido tra gli istanti t e t+dt, in particolare riconoscendo la derivata di B nel volume di controllo.

Le grandezze BI e BII sono sempre degli integrali sui volumetti I e II, determinati dalla velocità con il quale il fluido si è spostato.

Facendo le dovute considerazioni geometriche, si arriva a scriverne l’espressione analitica (figura 4).

Infine, sostituendo queste espressioni, riconoscendo il flusso di ρb e generalizzandolo attraverso tutto il volume di controllo, si arriva all’espressione definitiva, dove bisogna ricordare che le grandezze B sono date da integrali (figura 5).

In questo modo il teorema del trasporto di Reynolds acquisisce un significato abbastanza semplice: la variazione di B nel sistema fluido è uguale a quella del volume di controllo a meno di tutto ciò che fluisce attraverso la superficie di controllo per effetto della velocità del fluido stesso.

Capiamo allora che una volta scritto il principio fisico in termini lagrangiani possiamo trasferirlo in termini euleriani! Con il teorema della divergenza, sarà possibile trasformare l’integrale sulla superficie in un integrale sul volume di controllo e infine, sarà possibile per arbitrarietà del volume stesso, arrivare ad una relazione differenziale.

Flusso potenziale intorno a un profilo alare portante

Flusso potenziale intorno a un profilo alare portante: illustrare le ipotesi di Kutta e la condizione di Kutta, indicare quali sono le differenze tra soluzione potenziale e quella reale.

Abbiamo visto che è possibile ottenere la soluzione di un flusso a moto potenziale attraverso un’opportuna distribuzione di sorgenti, pozzi, doppiette e vortici. Calcolando la forza aerodinamica si ha come risultato che la resistenza è sempre nulla (impossibile nel caso reale) e che la portanza è data dal teorema di Kutta-Joukowsky. Possiamo quindi affermare che la circolazione è una misura dell’effetto della distribuzione della velocità tangenziale intorno al corpo e, di conseguenza, della differenza di pressione tra dorso e ventre. La circolazione è quindi il parametro che permette di individuare, tra le infinite soluzioni del flusso potenziale, quella che si avvicina di più alla soluzione reale. Per far ciò si adotta l’ipotesi di Kutta, considerando un profilo con piccola incidenza, bordo di uscita appuntito e in moto stazionario. L’ipotesi prevede che le linee di corrente non possano aggirare il bordo di uscita del profilo, ma piuttosto che lo abbandonino in modo regolare producendo valori simili della velocità sul dorso e sul ventre.

Al variare della circolazione, variano le posizioni dei punti di ristagno (figura 1). L’ipotesi di Kutta permette di ottenere una condizione aggiuntiva alla soluzione del moto del flusso, che ci aiuta ad individuare la soluzione più vicina al fenomeno reale. Imporre questa condizione, dal punto di vista fisico, significa richiedere che il punto di ristagno posteriore sul profilo si trovi in corrispondenza del bordo di uscita del profilo (ovviamente se si modifica anche il punto di ristagno anteriore si sposta, anche se di poco). Γ,

L’ipotesi di Kutta è giustificata dalla presenza delle forze viscose nel fluido.

Linee di corrente e traiettoria

Definire dal punto di vista matematico le linee di corrente e la traiettoria, chiarendone il significato anche con degli esempi. Spiegare quali informazioni si possono dedurre dalla conoscenza della funzione di corrente ed il legame di questa con il potenziale della velocità.

La traiettoria di una particella fluida è la linea descritta nello spazio da quella particella in un dato intervallo di tempo. È immaginabile, ad esempio, come una foto di una particella scattata a lungo tempo di esposizione.

Dal punto di vista matematico la traiettoria di una particella che si trova nel punto X0 = (X