Dimostrazioni teoremi geometria

Quadrica in ⁿ (1)

Def

Se una quadrica è riducibile, si riduce nell'unione di 2 piani.

L'unione di sezioni una sono riducibili.

DIMQ riducibile = Polinomio si fattorizza in 2 plur. grado 1 Q = α ∪ β.

G. 2Q = α ∪ β = γ ∪ δ α ∪ β = (α ∩ β) ∪ δ α = (α ∩ β) ∪ δ.

Esercizio

Una quadrica Q ha almeno 2 punti doppi se è somma di K riducibile.

DIMR, S, QP con. doppio D, Qπ = πL(R,S)(R ∩ f_2) > p = 3≥ diaa = 2L (P, r)4, f = 2L(P, q)f ∈ χ(L, S, R)3 + 2 = L + 3D G ∈ R.

Ordito riducibile d piano contenente 3 riducibile = 0 L retto R.

Una curva di ordine L∪R di ordine 20 red3 cof = 2L.

Curva di ordine piano ciclo Q ∈ R Q.

Quadrica in A₂ (1)

Def

Se una quadrica è riducibile, si riduce nel prodotto di 2 piani, oppure 1 distinta coniugata = complessa e coniugata. Inoltre tutte le sezioni piane sono riducibili.

DimQ riducibile => polinomio si fattorizza in 2 pian. secondo 1 piano? piano 2.

Q = α 2, β C - P, Q = δ β ≠ 2α, βC P Q = (α u, f) - β = (α a, b) u (a 2, β)C si riduce nel polinomio in 2 piani.

Teorema

Una quadrica Q che sezione 2 piani doppi se è sezione di un cono riducibile.

DimS¹R, S, Q definiti doppi, D, QP[ < PQ (R, S)|π n π| => a 2 ≥ 2P > 2, Q > 2P, P, ordire riduc~ 3 p.l.y., 1 bisecia / 2 questione P,Q.

Sia AP SQ n/o, gr, sα = r, (P,H)ρ r, (3, H)(Σ n 2, 2+1, 3 D)Q, R, R.

Il piano contiene 3 => q intesetta R in una curva di ordine uguale. 3 3=> (Top 2 tetegen del diride). R = r, T, Q, R > Q Q si riducibile << P Q = riducibile Q u.p.P con α P con β— riducibili centi passando per P deve avere le 2 intersez.con Q quindi in P infatti se interclasse r in P ein h o p=> P H Q o H P Q enta F2 re p(P 1 H) senza intercerie costruiti in A o in P => = R = ) aggiungo anche H segenunco => P e doppio => se α β in da’ punt vuoie HL = α o β se λ = F Q ho 02’ punt dopp.

Teorema

Q ha uio é un solo punto doppio (≡) Q e un cono o un conno.

Dim. => V = unico punto doppio in Q dimostro che solo ret ra contenute in Q passa per V per assurdo N SQ V E RR una re perché ε la(ay) G = re (bv)(con a) ? > > > =)> 9 ε(con b) ? > > > =)> 9 ε Ra, b, E Q R=> intersia in Q in una curva di ordine 3 = 2 ε Q=> Q e riducle sd Q ha almeno 2 punti doppi contro 9 => ogni rett di Q passa per V.

Q = A un Rso = 17/us ε Fε Rr rette in Q che non passano perV ε assurdo.

C econi è riducibile V = EC = 1Π_∞ ce. (P, V)[A ∩ Π_∞] ⊇ 3₁ + l_∞ + 2_∞ → n = 3U V→ Q è un cono se U = fascio → Q cilindro se U inconico(₁:Q è coni o cilindro.

Se Q ha quota sopra Π_∞ ha al più uno, perché altrimenti sarebbe riducibile.

V = vertice di Q con _H→ V ha E = 2Da conica retta per V intersezione con Q punti curva conica non.

Conica metoporica quadrica irriducibile.

La conica impropria cod di un cilindro è riducibile in 2 punti passa per il vertice.

Vertice dei cilindro uno E=2 e uno punto nodo.

Conica

Definizioni

Def: È una curva di equazione secondo grado in due rette nel piano cartes.

Definizione come luoghi geometrici: Intersezione coniche.

Dim: C. retta Rette di secondo grado passato 1 gruppo, 2 coniche 3 rette.

Proprietà

Prop: La conica ha almeno un punto doppio se e sono su un involucro.

Dim: p₁p₂ e c coniche p∈c p=cf(p)₂ πec fra 2 dunque piano conico.

Opp Ha un solo punto doppio s⟸ si riduce in due rette incidenti medesime.

Dim: Da m₁c₁p₂p_cp r..₂.

Opp E almeno 2 punti due ⟸ si riduce in una conica completa.

Dim: p₁: p = cf p₂m Ogni conica ha almeno 2 e sono uguali 2 punti una retta Conica tre pari sono uguali, terzo Complessa con secondo termine in tonda.

Quindi q₁+···+q₅⟺ e calcolo x solo p_n lineare. π dato il piano conica solo 23 x un retta.

Teorema lambda

λ₂ (C) non doppi, di una conica hanno moltep. compless. det c₁.del lagro di autovettori shaders.

Rappresenta lambda.

Dim.

• Nuotra Ce/uom sono autovet polinomi x₁.

ΔF = 0

ΔA = 1

ΔF = 2

ΔF = 0

ΔF = 0

ΔF = 0

F(x₁, x₂) = a₀ λ₁ + 2 a₁ x₁ + 2 a₂ x₁ x₂ + 2 a₃ x₃ + 2a₂x₂ + 2 a x₃ + 2 a₂ x₃ + 2 a₂ x₂.

U-3 x₁ + 2 x₁ x + 3 a₁ - 3 = 0 - 255x₃ +2 a₁ + 3x₂ x x₃ = 0- 2 a₂ + x₃ x₁ x₃ + 2 a₂ + 3 x₃ = 0.

Teorema beta

• Briforce β(A) = 3
• Simplice quadrica β(A) = 2
• Doppievon degeneri β(C) = 1

Dim.

• C conicranze C non ha punti doppi Δx = 0 non ha aumento è sicuro β(A) = 3
• C semplic dei atre C ha esatto\ranzo un punto doppio che in coordiante ortogonale è rappresentato da contributo termine Δ = 0 ha alt soluzioni, β(C) = 2
• C dopp degenera C ha dopi punti doppi ha non punti β(A) = 1

(abc)dim:la(x){@a(a,b,c)(xs) => (x)(x_1)p=>=>.

Proprietà metriche di una conica in [C]

Poiché gli assi di una conica a centro sono 2 e sono perpendicolari tra loro a meno che non si tratti di una circonferenza, in tal caso tutti i diametri sono assi.

Dati: Ro = {(ℓ, m, o)} al variare di o è asse <=> ∃ Po = {(ℓ - m, ℓ)}.

Ao = ={[(l - m, ℓ, o)]} punto medio di o Ao = ø-> = A_AAo sono coniugati --> ∀_o A_AAo = 0.

(ℓ, m, 1) A ^(m)/₂ = 0.

α₂₂ <=> (α₂₂ - α₁₁) αm = α12 m² = 0 (*).

• C = Circonferenza => α₁₁ = α₂₂ ≠ 0 => stelle stelle diomata OTO-> tutti diametri sono assi.
• C = Circonferenza => ⁽ⁱ⁾ M = indeterminato 2° grado in 2 classi di associazioni [{ℓ', m'}] ≠ [{ℓ'', m''}]- Col p⁴ ℓ' Ia = {(ℓ', m'}: p)} Ģ^ao = ℓ', m'', o]} se dopo poiché ℓ' e ℓ'' sono i 2 assi. (π/q)

⇉ ℓ'ℓ'' ℓ'ap: poiché ηA_o=/0->   diametro con nome loci di o π ı l luogo a partire da a.

• ℓ'o = Aα2 = concide polo di ǒC e punto ımproprio ≠ Ao, polo di o

* 2 = E protrusione al suo polo A_ą.

Prop

La parabola ha un solo asse e un solo vertice.

La tangente alla parabola nel vertice è ortogonale all'asse.

d(PaQ) = PaQ = c · r₂.

Assi sono diametri ortogonali al rispettivo.

P_o = P_ac contiene il polo 1d(Pa) = P_aP ⋂ c ﹥ P_{(p, y)}.

Asse =  Parabole  F ∩ V   T = Tang.P ⋂ c ﹥ P_{(a, v)}.

V = Polo P, T, V ∈ a= > ﹥ contiene il polo di C.

Riducibilità della conica

2) Ha almeno un punto doppio se e solo se è riducibile.

In tal caso:

• 2a) Ha un solo punto doppio sse si riduce in 2 rette distinte per P
• 2b) Ha almeno 2 punti doppi sse si riduce in una retta contata 2 volte

Dim: 2) "=>" Ip: P doppio_R R ∈ C R ≠ P _P = p ∩ ℓ (P, R)|R ∩ C| ≥ 2 + 1                       ⇓                       p⇒ p ⊆ C     ⇓     C riducibile.

"⇐" Ip: C riducibile ⇒ C = p₁ ∪ p₂.

2a) p₂  p₂.

2b) p₁ ≡ p₂P.

Proprietà dell'ordine

L'ordine di una curva _{algerica reale di} A₂(_R) è uguale al numero di come comuni alla curva e ad un qualsiasi ordine di un piano croce non sia ordinare e fatto incontro le un'intersezione con la solide molteplicità.

C₂ = R_us.

1) Non possono passare più di _(m+1) p.

Dim. Per assurdo suppongo esista un punto P ∈ C con _(m+1), dopo.

⇒ Ogni retta passante per P incontra con _{(, l'ni,r)} molteplicità di intersecazioni _m+1 1) esegue una etapa componente di 0. Asq.

2) Ci va un punto _P muore in C e _divisibile nel unico.

Dim. P=_C con _m retto una necce passano per P⇒ ∃ m. P= _q ≠ in _C R ∈ CR= r∈ (_n-a)[R ∞ C] [1] → a₁0 m=> R ∞C ciò∞;la retta è cordale01.

Sia Cnon sei C sono curve appartenenti aR (t), non di∞si U[0,∞]=∞ C, Rm, ∞isomorfi; R∞° (vedi)∞ c(R∞R, D∞C) mdelle due curve Dopo un numero finito di passi autω fini, m posso concludere che C é unione di m rette non necessariamente divisate.

Teorema dei punti multipli

I punti multpli di una curva ascezica reale C:F(x, 1,x2 k x3) = 0 sono casi di autosoluzione del sistema delle derivate parziali.

∂F / ∂x = 0

∂F / ∂x2 = 0

∂F / ∂x3 = 0

Teorema dell'ordine

1° Proprietà

L'ordine di una superficie algebrica reale _S è uguale al numero di punti coniugati a _S una qualsiasi retta dello spazio non appartenente a _S a patto di contare le intersezioni con la dovuta molteplicità  ⇒ Se una retta r con la superficie un numero di intersezioni superiore all'ordine di _S allora appartiene alla superficie _L&J.

2° Proprietà

L'intersezione tra una superficie alg. reale ₅ di ordine n e un piano 2 non contenente S₁¹ è una curva alg. reale di ordine n  ⇒ Se 2 interseca _S in una curva in ordine _dm  ⇒ _S è computabile _S se _S è riducibile _{S + a}/_aL.

Definizioni generali di gr. riferimento

Prop

Sia  &lsqb;a,b&rsqb;&sub3;&in;E³(K)  un piano in  E³(K) r(r,r) &colon; &lsqb;&lpar;-L²&rpar;&rsqb; → &lsqb;(a,b)&rsqb; è la classe da normale, ?iola+Riscontrabile nella direzione O R M O G R A F I L D D ?a&lsqb;2&rsqb;s² b&lsqb;2&rsqb;c.

Prop

Sia r:i: Δx &plus;a&lsqb;y&rsqb;²c²d²=0  un piano in  E³(R).

• &lsqb;&lpar;a,b,c&rpar;&rsqb; che è la classe del r r o dell nela21d> noinmarinata

Prop asse

L'asse: D E Q uito La Sgitando Es585Dndo C&Oague;.

DIMM:

• Sia Èe _&,2 Te&M &sol ? ndo c'è un sdro con β Per i re ortogonale ad a=> β = P, F, V₂₊

Ricavare il sottospazio

• 1) Se _q = {v_n| i ≠ j } il sottospazio unidimensionale di A_n(k) è p.qr. ∈ S_q = R^p,v ∈ V_A(uk)_{Vw ∈ Vi(k)}
• 2) Ogni punto da sottospazio lineare S_B può essere scelto come origine
• 3) Siano S_A, S_n sottospazi lineari di A_m(uk) _{N <= S SA rx Sn ≠ uk ∈} S_A ∪ S_n { } { }
• 4) Se S_A, S_B un sottospazio lineare di A_m(uk) se S_A ∩ S_N +≠ allora S_B ∩ S_L ∩ p^{v_{A ∩ vL}}
• 5) Due sottospazi lineari paralleli e di uguale dimensione o hanno intersezione nulla o coincidono p ∈ S_A ∩ S_U S_A = {p|v_A} = S_U = {p|v_B}

Ipotesi: In A_m(k) / con n ≤ m due retta a non equivalenti si dicono.

Svolgimento

N S in V_m(k) esistono almeno 3 vettori linearmente indipendenti.