Le forme parametriche di seno e coseno sono strumenti utili per poter scrivere il seno e il coseno di determinati angoli in funzione di un solo parametro (da qui il nome parametriche!). Questo parametro, che vedremo poi nel dettaglio, è dato da:
[math] \tan \left ( \frac{\alpha}{2} \right ) [/math]
[math] \cos^2 \left ( \frac{\alpha}{2} \right ) [/math]
.Com'è noto, tuttavia, non si può dividere per zero. Pertanto, bisogna imporre che tale coseno sia non nullo, cioè tali formule parametriche valgono solo quando
[math] \frac{\alpha}{2} \neq \frac{\pi}{2} + k \pi [/math]
[math] \alpha \neq \pi + 2k \pi [/math]
Forma parametrica del seno
Sotto l'ipotesi:[math]{\alpha\over 2} \ne \ {\pi\over 2} + k\pi\Rightarrow \ \alpha \ne \pi+2k\pi[/math]
[math] \sin (\alpha) = \sin \left ( 2 \frac{\alpha}{2} \right ) [/math]
e usare le formule di duplicazione del seno.Inoltre, ricordiamo che per qualsiasi argomento reale
[math] x [/math]
vale la seguente identità:[math] \sin^2 (x) + \cos^2 (x) = 1 [/math]
Dunque:
[math]\sin \alpha = \sin \left(2{ \frac \alpha 2}\right ) = \frac {2\sin {\frac \alpha 2}\cos {\frac \alpha 2}} { \sin^2(\alpha/2)+\cos^2(\alpha/2)}[/math]
[math]\cos^2\left(\frac \alpha 2\right )[/math]
.Si ottiene quindi, ricordando che
[math] \tan (x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)} [/math]
:[math]\sin \alpha = \frac {2\tan{\frac \alpha 2}} { 1 + \tan^2{\frac \alpha 2}}[/math]
Forma parametrica del coseno
Dei conti molto simili portano a determinare la forma parametrica del coseno.Usiamo ora la formula di duplicazione del coseno e, nuovamente, il "trucco" di far comparire la somma dei quadrati di seno e coseno a denominatore.
[math]\cos \alpha = \cos \left (2{ \alpha\over 2}\right) = \frac {\cos^2 {\alpha\over 2}-\sin^2 {\alpha\over 2}} {\cos^2\alpha/2 +sin^2\alpha/2}[/math]
[math]\cos^2\left(\frac \alpha 2 \right)[/math]
si ottiene:[math]\cos \alpha = {1-\tan^2{\frac \alpha 2}\over 1+\tan^2{\frac \alpha 2}}[/math]
In conclusione, possiamo dire che dato un parametro reale
[math] t [/math]
esiste un numero reale [math] \theta [/math]
tale che:[math] \sin (t) = \frac{2t}{1+t^2}, \ \ \cos (t) = \frac{1-t^2}{1+t^2} [/math]
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