Determinazione del coefficiente di attrito statico

Si ha un piano inclinato.
Sappiamo che il sistema è in equilibrio, ma che un minimo aumento dell'angolo

farebbe scivolare il corpo. Dimostrare che il coefficiente di attrito statico è uguale alla tangente dell'angolo .

Premessa

Erroneamente di dice spesso che la forza d'attrito è uguale alla forza peso moltiplicata per il coefficiente d'attrito statico. In realtà  quel valore rappresenta la massima forza d'attrito che vi può essere. Con un esempio: se la massima forza d'attrito è 100N, e il corpo viene spinto con 25N, resterà  fermo, ma l'attrito che si oppone vale 25N, ovvero quanto la forza applicata (anche perché se l'attrito fosse sempre 100N, in questo caso avremo la paradossale situazione che il moto è contrario alla spinta, in quanto la risultante è nella direzione dell'attrito.)
Quando la spinta supererà  i 100N, allora il massimo attrito è superato e vi sarà  moto. Questa è una situazione limite.

Come si calcola il coefficiente di attrito?

Sappiamo che un aumento piccolo dell'angolo farebbe scivolare il corpo, quindi ne deduciamo che nella nostra situazione la forza d'attrito riesce appena a contenere la forza peso parallela al piano.
Scomponendo la forza peso nelle due componenti, otteniamo .
Le forze perpendicolari al piano si equilibrano per il terzo principio della dinamica: .
Per quanto riguarda le forze parallele, applichiamo quanto detto nella premessa. La forza d'attrito in questo caso è da considerarsi massima, perché come già detto sopra, non potrebbe contenere un minimo aumento della forza peso. Imponendo l'equilibrio delle forza parallele al piano si ottiene:
Ma nel nostro caso .Quindi:
ovvero:
come voluto.