Devianza within e between - esercizio 3

Sessione d’esame di statistica

In una sessione d’esame di statistica, costituita da 3 appelli, sono promossi un certo numero di studenti, indicati in tabella con n_j e x_j, riportando un voto medio e scarto quadratico medio s.q.m.

Il voto medio dell’intera sessione è 26,4, mentre lo s.q.m. dell’intera sessione è 3,8.

Dati mancanti

Calcola i dati mancanti: voto medio al 3° appello e s.q.m. al 2° appello.

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Calcolo del voto medio al 3° appello

Per calcolare il voto medio al 3° appello risolviamo l’equazione:

25,2 · 90 + 26,8 · 120 + x · 70
= 26,4 · 280

26,4 · 280 = 2268 + 3216 + x · 70

7392 − 2268 − 3216 = x · 70

x = 27,3

Il voto medio al 3° appello è quindi 27,3.

Calcolo dello s.q.m. al 2° appello

Per calcolare lo s.q.m. al 2° appello applichiamo la formula secondo cui la devianza totale è pari alla somma della devianza Within e della devianza Between:

Dev(T) = Dev(W) + Dev(B)

Dev(B) = ∑_j=1³ (x̄ − x̄_j)² · n_j

Dev(B) = (26,4 − 25,2)² · 90 + (26,4 − 26,8)² · 120 + (26,4 − 27,3)² · 70 = 205,5

Ricordiamo che lo scarto quadratico medio s totale si ottiene da:

Dev(T) = s² · n = 3,8² · 280 = 4043,2

Dev(W) = Dev(T) − Dev(B) = 4043,2 − 205,5 = 3837,7

Pertanto:

Dev(W) = Dev(W₁) + Dev(W₂) + Dev(W₃)

Dev(W₁) = s₁² · n₁ = 3² · 90 = 810

Dev(W₃) = s₃² · n₃ = 3,5² · 70 = 857,5

Dev(W₂) = Dev(W) − Dev(W₁) − Dev(W₃) = 3837,7 − 810 − 857,5 = 2170,2

Da cui:

s₂² = Dev(W₂) / n₂ = 2170,2 / 120

s₂ = 4,3