Analisi I e II università : Derivate seconde in R^n

Gianni Sammito Appunti di Analisi II

Derivate seconde in Rⁿ

Si consideri una funzione f : A → R, con A ⊂ Rⁿ aperto. Sotto opportune condizioni, vale la seguente uguaglianza:

^∂²f/_∂xi∂xj = ^∂²f/_∂xj∂xi

Come mostra l’esempio successivo, ci sono casi in cui questa uguaglianza non è rispettata.

Esempio

Si consideri una funzione f : R² → R così definita:

f (x, y) = y² arctg (xy/y²) se y ≠ 0

f (x, y) = 0 se y = 0

Nei punti tali che y ≠ 0 la f è continua, perché ottenuta per composizione di funzioni continue.

Fissato x₀ ∈ R, la f è continua in (x₀, 0) se

lim_{(x,y)→(x0,0)} f (x, y) = 0.

Dato che |y| = y ∀ y ∈ R, e considerando che arctg(·) è una funzione limitata fra −π/2 e π/2, risulta:

0 ≤ |y² arctg(x/y)| ≤ (π/2)y² → 0.

Se (x, y) → (x₀, 0), allora y · π/2 → 0; pertanto, per il Teorema del confronto, si può affermare che

lim_{(x,y)→(x0,0)} f (x, y) = 0.

Sfruttando le regole di derivazione e ricorrendo alla definizione di derivata per i punti di R² tali che y = 0, si arriva a questi risultati:

∂f/∂x (x, y) = y³/(x² + y²) se y ≠ 0

∂f/∂x (x, y) = 0 se y = 0

∂f/∂y (x, y) = 2y arctg(x/y) + xy²/(x² + y²) se y ≠ 0

∂f/∂y (x, y) = 0 se y = 0.

Considerando che arctg(·) è una funzione limitata e passando in coordinate polari, in virtù del Teorema del confronto in entrambi i casi si dimostra che le derivate prime sono continue in tutto R², pertanto, per il Teorema del differenziale totale, la f è differenziabile in R².

Se si vanno a calcolare le derivate seconde miste, con le solite regole di derivazione e sfruttando in alcuni casi la definizione, si trovano questi risultati:

∂²f/∂y∂x (x, y) = (3x²y² + y⁴)/(x² + y²)² se (x, y) ≠ (0, 0)

∂²f/∂y∂x (x, y) = 1 se (x, y) = (0, 0).

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