Analisi I e II università : Derivate seconde in R^n

Gianni Sammito Appunti di Analisi II

n

Derivate seconde in R

n

Si consideri una funzione f : A → R, con A ⊂ R aperto. Sotto opportune condizioni, vale la

seguente uguaglianza 2

2 ∂ f

∂ f = ∂x ∂x

∂x ∂x j i

i j

Come mostra l’esempio successivo, ci sono casi in cui questa uguaglianza non è rispettata.

2

Esempio: si consideri una funzione f : R → R cosı̀ definita

´

( ³ xy

2 se y 6 = 0

y arctg

f (x, y) = 0 se y = 0

Nei punti tali che y 6 = 0 la f è continua, perché ottenuta per composizione di funzioni continue.

Fissato x ∈ R, la f è continua in (x , 0) se

0 0 lim f (x, y) = 0

(x,y)→(x ,0)

0 π

π

2 2 ,

e

Dato che |y | = y ∀y ∈ R, e considerando che arctg(·) è una funzione limitata fra − 2

2

risulta ¯ ¶¯

µ ¯¯

¯ π

x

¯¯ 2

2 ≤ y ·

y arctg

0 ≤ ¯ 2

y

π

2 → 0, pertanto, per il Teorema del confronto, si può affermare

Se (x, y) → (x , 0), allora y ·

0 2

che lim f (x, y) = 0

(x,y)→(x ,y)

0 2

Sfruttando le regole di derivazione e ricorrendo alla definizione di derivata per i punti di R tali

che y = 0, si arriva a questi risultati ( 3

y

∂f se y 6 = 0

(x, y) = 2 2

x +y

∂x 0 se y = 0

´

( ³ 2

xy

x

∂f se y 6 = 0

+

2y arctg 2 2

x +y

y

(x, y) =

∂y 0 se y = 0

Considerando che arctg(·) è una funzione limitata e passando in coordinate polari, in virtù del

Teorema del confronto in entrambi i casi si dimostra che le derivate prime sono continue in tutto

2 2

R , pertanto, per il Teorema del differenziale totale, la f è differenziabile in R .

Se si vanno a calcolare le derivate seconde miste, con le solite regole di derivazione e sfruttando

in alcuni casi la definizione, si trovano questi risultati

( 2 2 4

2 3x y +y

∂ f se (x, y) 6 = (0, 0)

2 2 2

(x, y) = (x +y )

∂y∂x 1 se (x, y) = (0, 0)

1

www.matematicamente.it