Deformazione

Deformazione dei corpi continui

Esistono due teorie

• Non lineare → teoria delle deformazioni finite
• Lineare → teoria delle deformazioni infinitesime

Si può trovare per limitazione della teoria non lineare.

Per piccole deformazioni (trasf. infinitesime) intendiamo deformazioni dell'ordine di 10^-3...

Una proprietà di un corpo è quella di occupare una porzione di R₃. Riconosciamo ciò con i punti di una regione Ω.

Configurazione di riferimento

∂Ω = frontiera regione.

Ogni punto osserva la sua individualità.

Deformazione dei corpi continui

Cap 1

Esistono due teorie

• Non lineare: teoria delle deformazioni finite
• Lineare: teoria delle deformazioni infinitesime

Si può ritenere per definizione della teoria non lineare.

Per piccole deformazioni (tassi infinitesimi) intendiamo deformazioni dell'ordine di 10^-3...

Una proprietà di un corpo è quella di occupare una posizione in R₃. Riconosciamo ciò con i punti di una regione Ω.

Configurazione di riferimento

Ogni punto osserva la sua individualità.

Configurazione deformata

X = f(X)

Si intende per deformazione la trasformazione che ad ogni punto X della configurazione di riferimento assegna un altro punto X appartenente alla configurazione attuale del corpo.

Legge di deformazione

Confronto di una configurazione con quella di riferimento.

Deformazione: f biettiva.

Ad ogni elemento dell'insieme di partenza corrisponde uno e un solo elemento dell'insieme di arrivo.

Consideriamo che preservata l'individualità dei materiali nella deformazione; non ci sono così lacerazioni o sovrapposizioni di materiale.

2) f continua - → Anche la funzione inversa è continua.

Funzione biunivoca continua e con inversa continua.

Sistema di riferimento e matrice

Considerando un sistema di riferimento ₀, z₁, z₂, z₃.

X = (X₁, X₂, X₃) → x = f (X₁, X₂, X₃)

Per la ₃ consideriamo una matrice 3x3.

[F] = ^∂f₁/_∂x1 ^∂f₁/_∂x2 ^∂f₁/_∂x3 ^∂f₂/_∂x1 ^∂f₂/_∂x2 ^∂f₂/_∂x3 ^∂f₃/_∂x1 ^∂f₃/_∂x2 ^∂f₃/_∂x3

F = grad f

Gradiente o deformazioni.

Con F(λ) percorso di deformazione.

Per la o det Jacobiano > 0.

F (X) = det f (X)

Permanenza della materia.

Matrice jacobiana

Matrice che ha come elementi le derivate parziali della deformazione.

det J(X)

• Esplosione materia
• Implosione materia

det J(H) = 0

det J(d) = 0

det f(H) = 0

det f(d) < 0

det f(d) = 0

3) det jacobiano > 0

L'applicazione che rimette a confronto due configurazioni deve essere rispettosa dell'assioma di continuità.

Studio locale deformazione

Alla deformazione f resta associato un campo vettoriale detto campo di spostamento.

V(X) = x - X = f(X) - X

Riferimento O (Y_i) i=1,2,3

V_i (x_j) = f_i (x_j) - X_i i,j=1,2,3

Raccogliamo in una matrice le ∂V_i/∂Y_j.

[H] {∂v₁/∂y₁ ∂v₁/∂y₂ ∂v₁/∂y₃ ∂v₂/∂y₁ ∂v₂/∂y₂ ∂v₂/∂y₃ ∂v₃/∂y₁ ∂v₃/∂y₂ ∂v₃/∂y₃}

Gradiente di spostamento

H = grad v

v = f - i

D u = H

F = H + I

H (Df - I) = F - I

F = cost. → deformazione omogenea

F - I → Traslazione.

v = x - X - f (X) - X

dx = F dx

dx - dX = F dx - dX

dx - dX = dX (F - I)

dv/dX = F - I

i H + F = I

F = ∂f/∂X - ∂x/∂x

Rispetto configuraz. iniziale.

Trasformazione lineare

Sia V spazio vettoriale associato alle relazioni di R₃.

Consideriamo u, v, w vettori.

Sia A trasformazione lineare, applicazione che associa a un vettore un altro vettore.

A: u → v = Au

Essendo lineare:

A (αu + βw) = αAu + βAw

Prop.

• Elemento nullo (tensore zero). 0u = 0. Applicato a un qualsiasi u lo trasforma in un vettore nullo.
• Identità (tensore identità). Iu = u. Applicato a un qualsiasi u lo trasforma in se stesso.
• Composizione tra due tensori A e B. (AB)u = A(Bu) ∀u ∈ V

Trasposta

A) Trasposta A^T

Applicazione lineare che permette lo scambio di 'ruoli'.

(Au) ∙ v − (A^Tv) ∙ u ∀u,v

(A^T)^T = A; (A + B)^T = A^T + B^T

(A^T)_ij = A_ji

(AB)^T = B^TA^T Composizione per trasposta.

Se A = A^T A si dice elemento simmetrico.

Se A = -A^T A si dice elemento anti-simmetrico.

Componenti A

A_ij = (A_st) ∙ e_i [A] - [A_ij] = (A_l, A_l, A₃) (A₂₁, A₂₂, A₂₃) (A₃₁, A₃₂, A₃₃)

Matrici associazione.

Componenti nella base ortogonale (e₁, e₂, e₃).

A_ij=A_ji

Per descrivere una matrice simmetrica bastano 6 dimensioni.

A_ij=-A_ji

Per descrivere una matrice antisimmetrica bastano 3 dimensioni.

Teorema di decomposizione

A= 1/2 (A+ A^T) + 1/2 (A- A^T)

Dimensione 6

Dimensione 3

Traccia di A

Tr A = A₁₁ + A₂₂ + A₃₃

Prodotto interno

A . B = Tr (A B^T)

Norma

‖A‖² = (A . A)^3/2 = [Tr (A A^T)]^1/2

Nel caso delle deformazioni (teoria lineare) la norma di H è molto piccola.

‖H‖ 0