Dal magnetismo alle equazioni di Maxwell

Il campo magnetico

Simbolo B, relazione con il campo elettrico.

Il magnetismo

• Polo nord magnetico - equivalente carica positiva.
• Polo sud magnetico - equivalente carica negativa.
• Poli dello stesso tipo si respingono.
• Polo nord e polo sud si attraggono.
• I 2 poli non si possono scindere - diverso da carica elettrica.
• Linee del campo magnetico - otto somiglianza - campo magnetico esce dal polo nord ed entra nel polo sud.
• Campo elettrico esce dalle cariche positive ed entra in quelle negative.

Per evidenziare il campo magnetico seleziono un punto P e il vettore B campo magnetico sarà tangente alle linee di campo.

Campo magnetico terrestre

Nel polo sud magnetico abbiamo il polo nord geografico, mentre nel polo nord magnetico abbiamo il polo sud geografico.

Il campo magnetico

Simbolo B, relazione con il campo elettrico.

Il magnetismo

• Polo nord magnetico → equivalente carica positiva.
• Polo sud magnetico → equivalente carica negativa.
• Polo dello stesso tipo si respingono.
• Polo nord e polo sud si attraggono.
• I 2 poli non si possono scindere → diverso da carica elettrica.

Linee del campo magnetico

Ottima somiglianza → campo magnetico esce dal polo nord ed entra nel polo sud.

Campo elettrico esce dalle cariche positive ed entra in quelle negative.

Per evidenziare il campo magnetico seleziono un punto P e il vettore B campo magnetico sarà tangente alle linee di campo.

Campo magnetico terrestre

Nel polo sud magnetico abbiamo il polo nord geografico, mentre nel polo nord magnetico abbiamo il polo sud geografico.

Il campo magnetico agisce anche sulle cariche elettriche solo se sulle cariche ferme non agisce.

La forza di Lorentz

La forza che il campo magnetico esercita sulle cariche elettriche.

F = q · v x B

Velocità campo magnetico o induzione magnetica [B] = Tesla.

Codice F = q · v · B · sen α.

Angolo fra v e B: se α = 0° allora F = 0; se α = 90° allora F = max.

Per la direzione di F si usa la regola della mano destra; inoltre F è sempre perpendicolare sia a v che a B.

L'effetto del campo magnetico è quello di cambiare la traiettoria delle cariche.

Le cariche compiono quindi un moto circolare senza modificarne la velocità.

R_(raggio) = ^{m · v}/_{q · B} · sen α.

T_(periodo) = ^{2π · m}/_{q · B}.

Non dipende da v!

Quando 0° < α < 90° si forma un moto elicoidale.

Nel moto circolare Forza di Lorentz = Forza centripeta.

Spettrometro di massa

Serve per ricavare la massa di protoni/elettroni conoscendo B q e il raggio di curvatura.

La sorgente “S” produce uno ione di massa m e di carica q che viene accelerato dalla ddp V. Lo ione entra in un campo magnetico che curverà la sua traiettoria sino a quando non colpirà dei sensori a distanza x dall’ingresso.

Selettore di velocità

F_magnetica = q v B.

F_elettrica = q E.

Se F_m = F_e la particella passerà tra 2 campi senza risentire l’effetto di nessuno dei due.

La particella si muove in linea retta se F_net = q(E + v x B) = 0 => v = E B.

Se v < E B vince il campo elettrico e lo spazio rimane ingobbito.

Se v > E B vince il campo magnetico e rimane ingobbito.

Per farle uscire v = E B.

Il campo magnetico B

Influenza sempre e solo le cariche in movimento.

F_Lorentz = q ⋅ v ⋅ B ⋅ senα.

Ma nella realtà le cariche si muovono in gruppo.

Un filo percorso da una corrente subisce una forza magnetica.

F_magnetica ≠ F_Lorentz.

Corrente di cariche.

1 carica.

F_magnetica = i l × B = i ⋅ l ⋅ B ⋅ senα.

Corrente.

Lunghezza filo.

F_magnetica = perpendicolare sia ad i che B.

Nel filo le cariche non risentono di una deviazione della traiettoria che cioè un moto circolare.

Risente tutte della F_m ed esso sposterà il filo nel suo verso.

Il filo si sposta ma non ruota!

Una spira quadrata

Un filo a forma di quadrato.

F₁ = i ⋅ l ⋅ B ⋅ senα.

F₂ = i ⋅ l ⋅ B ⋅ senα.

F₃ = i ⋅ l ⋅ B ⋅ senα.

F₄ = i ⋅ l ⋅ B ⋅ senα.

E₂ e F₁ si annullano a vicenda perciò la spira non ne risente.

F₁ e F₃ creano una forza di coppie → obbligano la spira a ruotare da F₁ a F₃.

Le spire possono essere di tutte le forme.

Momento magnetico di una spira → µ = i · S corrente superficie spira.

Più grande è più la spira µ è un vettore esso è sempre perpendicolare alla superficie gira veloce.

Esce se i circola in senso antiorario.

Entra se i circola in senso orario.

Momento torcente → ⃗ = ⃗ × ⃗   ↓

Obbligo la spira a ruotare in modo che il vettore µ si allinei al vettore B.

Il campo magnetico prodotto dalle correnti

Il campo magnetico → è prodotto dalle correnti elettriche ed ha effetto sulle cariche elettriche.

Oersted si rese conto che avvicinando una bussola ad un circuito elettrico, esso influenzava la direzione dell'ago magnetico.

Campo magnetico prodotto da un filo rettilineo = ₀ · / 2 · R permeabilità magnetica nel vuoto      distanza dal filo.

_{B = ^{µ0 i}/2π R}

Legge di Biot e Savart.

µ₀ = 4 π · 10^-7 T · m/A.

i verso il basso.

B senso orario.

i verso alto.

B senso antiorario.

Campo magnetico prodotto da una spira

_{B = ^{µ0 R2 i}/(2 (z² + R²)^3/2)}

B lungo l'asse ad una distanza z dal centro è sempre perpendicolare alla spira.

Campo al centro della spira.

_{B = ^{µ0 i}/2 R}

Campo prodotto da un solenoide

Campo come nel geomag escono dal polo nord ed entrano nel polo sud.

Se la corrente gira in senso antiorario il campo magnetico è entrante.

Se la corrente gira in senso orario il campo magnetico è inverso.

_{B = µ0 n i = µ0 (^{N i}/l)}

Al centro del solenoide.

Numero di spire.

Lunghezza solenoide.

Dove n = ^N/_l ovvero la densità di spire.

Più sono attaccate più B è intenso.

Campo magnetico di un filo piegato ad arco

B = (µ₀ i φ) / (4 π R).

Angolo φ.

Raggio.

Campo al centro della curvatura.

Legge di Ampère

Relazione generale tra correnti e campi prodotti da esse.

Useremmo la circuitazione "ℭ".

Essa tiene conto di quanto vale un campo B lungo un percorso chiuso nello spazio.

ℭ = B₁ L₁ + B₂ L₂ + B₃ L₃ + B₄ L₄.

Ovviamente negli esercizi il tipo di percorso chiuso verrà definito.

Legge di Ampère.

ℭ_B = µ₀ i_{tot c} = ∮B⃗ · dl⃗.

Corrente totale concatenata oppure attraverso il percorso di Ampère.

i_c > 0 se la corrente esce dallo spicchio del percorso in cui esso gira in senso antiorario.

Quindi B produce F su i.

i genera B.

Le correnti producono F_one su altre correnti.

Forza tra 2 conduttori

Paralleli.

Il campo B₂ ha la stessa formula del campo generato da un filo infinitamente lungo.

F_1,2 = µ₀ · l · i₁ · i₂ / 2πd.

Correnti parallele e concordi si attraggono.

Correnti parallele e discordi si respingono.

B₂ produce F su i₁      B₂ generato da i₂.

B₁ produce F su i₂      B₁ generato da i₁.

Campo B

• Agisce su cariche elettriche in moto (Forza di Lorentz).
• Campo B provoca forze su correnti.
• Campo B generato da correnti (Oersted).
• Faraday: Campo B genera correnti.

Induzione elettromagnetica

Esperimento di Faraday

Circuito con Amperometro (misura i) e con un solenoide.

Nel circuito non è presente nessun generatore.

Faraday mise allora una calamita all'interno del solenoide ma nel circuito non scorre corrente.

Avere B dentro il solenoide non genera corrente.

Quando tolse la calamita solamente quando la calamita si muove nel circuito scorre corrente del circuito l'amperometro si accese, quindi scorre una corrente.

Campo B genera corrente se esso è in movimento.

Esperimento di Faraday

Se il flusso di B cambia allora si genera una corrente i nel circuito.

Flusso → quante linee di campo attraversano una superficie.

Φ = B · S = B S cos α.

Superficie del circuito.

Quando cambia?

• B cambia valore.
• S cambia valore.
• α cambia valore fra B e la normale alla superficie.

1º caso

Mentre i aumenta aumenta anche B e quindi il flusso.

All'interno della spira si genera corrente i.

La corrente i è presente solo mentre i cambia. Se si stabilizza, i scompare.

2º caso

Se smetto di allungare i scompare.

La spira è allungabile. Se allungo S aumenta e quindi Φ cambia.

3º caso

La spira ruota all'interno di un campo magnetico.

L'altra spira e B cambia in continuazione e quindi anche Φ compirà quindi i.

Se blocco la spira blocco anche B costante che quindi scompare.

Induzione elettromagnetica → Il campo B con Φ (flusso) che varia genera una corrente.

La corrente gira → Il cambiamento del Φ di B attraverso il circuito genera ora f.e.m. “finita”.

f.e.m.

ΔV di un generatore.

B genera una f.e.m come se ci fosse un generatore.

f.e.m indotta.

Legge di Faraday-Neumann

Se conosco Φ_iniziale e Φ_finale.

f.e.m indotta = - ΔΦ_s (B) / Δt.

Flusso del campo B attraverso la superficie del circuito.

Tempo in cui Φ muta.

f.e.m indotta = - d Φ_s (B) / dt.

In tempo preciso.

Legge di Lenz

Aggiunge il "-" alla legge di Faraday-Neumann.

Oersted: campi B da correnti.

Faraday: correnti da campi B.

Lenz: la corrente indotta di un campo B crea un altro campo B.

Alla i₁ genera un campo B₂.

Una B₂ genera una corrente i₂ e quindi un campo B₃ e così all'infinito.

Allora Lenz disse.

Il campo magnetico B₁ e il campo B₂ devono per forza opporsi uno contro l'altro.

Avevo.

La corrente _iindotta deve creare un campo _B2 che si opponga agli effetti di _B1.

Ecco perché il "-".

Dalla 1^° legge di Ohm mi ricavo è_{e.m indotta} = _iindotta · R.

Resistenza.

(meno)(meno meno) = +

(meno)(più)(più)= -

(meno)(meno)(più meno) = -

(più)(più più) = +

Se polo nord in basso la calamita ha segno "-".

Se la calamita si muove verso il basso avrà segno "-".

Se il prodotto è un meno corrente in senso orario campo _Bindotto entra nella spira.

Se il prodotto è un più corrente in senso antiorario campo _Bindotto esce dalla spira.

Le equazioni di Maxwell

La 1a equazione o teorema di Gauss

(campo elettrico)

Φ(E) = Q / ε₀.

Attraverso superficie chiusa.

Mi descrive la forma del campo E.

2a equazione di Maxwell

Teorema di Gauss (campo magnetico).

Φ(B) = 0 sempre.

Attraverso una superficie chiusa.

Le linee di campo B sono chiuse che non hanno un punto di origine.

In casi eccezionali come il campo terrestre le linee non sono chiuse.

Ovvero non esistono cariche magnetiche.

3a equazione di Maxwell

La legge di Faraday-Neumann-Lenz.

Un campo magnetico che varia nel tempo produce un campo E.

ΔV_indotto = -ΔΦ(B) / Δt.

(variazione di B)

Essendo una differenza di potenziale riguardo il campo elettrico.

Circuitazione.

ℓ(E) = ΔV lungo quel percorso.

La legge di Faraday-Neumann-Lenz diventa legame fra campo elettrico e campo magnetico: se esiste un campo B che cambia nel tempo, quindi possiede un flusso che muta, si genererà un campo E che avrà una certa C (circolazione).

Il campo fa girare le correnti.

4° equazione di Maxwell

Legge di Ampère — creazione di B lungo filo chiuso.

Corrente concatenata a quel circuito.

Funziona per tutti i casi tranne che per i circuiti RC.

Attorno ai voi: fili si forma un campo B.

Va contro la legge di Ampère.

Maxwell: si occorre che le 2 armature essendo cariche generino un campo elettrico in aumento, poiché il condensatore si sta caricando.