Analisi I e II università : Curve in R^n

Gianni Sammito Appunti di Analisi II

n

Curve in R n

Generalmente ci sono due modi per descrivere una curva in R , ovvero è possibile scrivere un’e-

quazione parametrica o un’equazione cartesiana.

2

Esempio: una retta in R può essere descritta in due modi.

Supponiamo che tale retta passi per P = (1, 2) e sia parallela al vettore (3, 1), allora

p(t) = (1, 2) + t(3, 1) =⇒ p(t) = (1 + 3t, 2 + t) t ∈ R

Ponendo x(t) = 1 + 3t, y(t) = 2 + t è possibile scrivere l’equazione parametrica della retta

½ x(t) = 1 + 3t

y(t) = 2 + t

Ricavando t = y − 2 dalla seconda equazione e sostituendo tale valore nella prima si arriva a

x − 3y + 5 = 0

che rappresenta l’equazione cartesiana della retta in forma implicita.

Esempi: si consideri una circonferenza di centro (x , y ) e raggio R > 0.

0 0

L’equazione parametrica di tale circonferenza è

½ x(t) = x + R cos(t)

0 t ∈ [0, 2π]

y(t) = y + R sin(t)

0 2 2 2

Invece l’equazione cartesiana della circonferenza è (x − x ) + (y − y ) = R .

0 0

Curve parametrizzate

n

Una curva in R è parametrizzabile se si può esprimere tramite una funzione che ha come do-

n

minio un sottointervallo di R e come codominio R .

n

Definizione: sia C ⊂ R . C si dice curva parametrizzabile se esiste una funzione r : I → C

(I ⊂ R è un intervallo) tale che

1. r è continua

2. r è suriettiva

Se r è iniettiva la curva si dice semplice. Supponiamo che I = [a, b], se r(a) = r(b), ovvero se il

punto iniziale e quello finale coincidono, allora la curva si dice chiusa.

Esempio: le traiettorie di punti in cinematica sono curve la cui parametrizzazione è data dalla

legge oraria.

Esempi: 1

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1. Si consideri la seguente parametrizzazione

½ x(t) = a cos(t) +

t ∈ [0, π], a, b ∈ R

y(t) = b sin(t)

¢

¢ ¡

¡ 2

2 y

x = 1 si nota che la curva sta su un’ellisse con semiassi di lunghezza a

+

Dato che b

a

e b. Figura 1: Rappresentazione grafica della curva parametrizzata

La parametrizzazione proposta copre solo la semiellisse superiore perché il parametro t

varia fra 0 e π.

Un altro esempio di curva parametrizzabile è l’elica cilindrica, che ha equazione

2.  x(t) = R cos(t)

 y(t) = R sin(t)

r(t) = (R cos(t), R sin(t), t) = t ∈ R

 z(t) = t

2

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Figura 2: Elica cilindrica

2 2 2

Dalle prime due equazioni si ottiene x + y = R , pertanto, visto che z è un qualunque

numero reale, tale eli