Costruzioni elettroniche

Appunti di Costruzioni elettroniche - Prof. DiPascoli Lorenzo Dati

1 agosto 2022

Capitolo 1

Componenti passivi R, L, C

1.1 Resistori

Un resistore è un bipolo simmetrico, in cui si ha proporzionalità tra I e V. In un resistore ideale questa relazione non varia nel tempo, con la temperatura o con la frequenza.

I parametri che caratterizzano il resistore sono: valore nominale, a cui è associata una certa tolleranza, parametri di vincolo e parametri di qualità.

I parametri di vincolo sono:

• Potenza dissipata;
• Resistenza termica;
• Tensione operativa, cioè la massima tensione che si riesce a tollerare.
• Stabilità all’impulso, cioè la massima potenza istantanea.

I parametri di qualità sono invece:

• Stabilità, cioè la capacità di mantenere il valore nominale;
• Variazione della resistenza con la temperatura;
• Non linearità;
• Rumore termico, di contatto...
• Comportamento alle frequenze;

Variazione della resistenza con la temperatura

Variazione della resistenza con la temperatura (1.1)

R(T) = RREF [1 + α(T − TREF)]

dove T è la temperatura alla quale si vuole determinare la resistenza, TREF è la temperatura di riferimento, RREF valore della resistenza a TREF e α che rappresenta il coefficiente di temperatura e che può essere > 0, < 0.

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Potenza media dissipabile

I resistori di tipo through hole hanno una buona capacità di dissipazione, mentre quelli SMD dato che sono più piccoli degli altri hanno capacità di dissipazione inferiore e perciò occorre valutare bene le correnti in gioco.

Per valutare la capacità di dissipazione è importante valutare bene la superficie attraverso la quale il resistore scambia calore con l’esterno, e la conducibilità termica dei componenti che gli stanno attorno, dato che per la legge di Fourier, se la temperatura dell’area circostante aumenta, la dissipazione diventa meno efficace.

Derating

È la curva che fa vedere come la dissipazione massima di potenza diminuisce all’aumentare della temperatura ambiente.

Stabilità

È un parametro importante per le applicazioni che devono avere un tempo di vita prolungato. Per verificare questa caratteristica si controlla che la variazione del valore nominale del resistore dopo il test sia rimasta in linea con i valori riportati sul datasheet.

Può essere eseguito anche un test accelerato: agendo su fattori quali temperatura o tensione si simula in tempi ragionevolmente brevi, il tempo di vita realistico del resistore. Si ottengono perciò classi di stabilità.

Rumore

È un parametro importante per applicazioni che hanno un tempo di vita prolungato. Il rumore si divide in:

• Rumore termico associato al movimento casuale degli elettroni;
• Rumore di corrente associato al passaggio di elettroni tra aree omogenee di resistori di grande valore;
• Rumore di contatto associato ad aree di giunzione tra zone di un policristallo.

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Linearità

La dipendenza della corrente dalla tensione applicata dipende dall’autoriscaldamento del resistore.

Tipi di resistori

I resistori possono essere in vari modi:

• A strato, o film, che si ottiene depositando uno strato di materiale conduttore su un supporto isolante;
• A filo, che si ottiene avvolgendo un filo conduttore su un supporto isolante;
• A impasto, che si ottiene pressando ad alte temperature una miscela di carbone, legante e sostanze isolanti.

Esempi di leghe sono Nichel-Rame, Nichel-Cromo, Nichel-Cromo-Alluminio o Nichel-Cromo-Ferro.

1.1.1 Modelli di resistori reali

I modelli equivalenti di resistori reali, variano anche in frequenza, perciò possono essere modellati con circuiti equivalenti.

RLC CCR L L R

Il circuito sulla destra schematizza un circuito equivalente di un resistore reale a impasto, mentre quello sulla sinistra a filo.

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Consideriamo il circuito a sinistra, e tracciamo il grafico della resistenza in funzione della frequenza. Nel caso riportato in verde, fino a 10 MHz, la resistenza si comporta come tale, ma per frequenze maggiori l’impedenza comincia a scendere facendo prevalere il comportamento capacitivo.

Nell’altro caso, quello blu, per alte frequenze prevale invece il comportamento induttivo.

Si può dire inoltre che variando il valore della resistenza, varia il modulo e la fase dell’impedenza equivalente, ed in particolare:

• Resistenze piccole: prevale il comportamento induttivo all’aumentare della frequenza;
• Resistenze grandi: prevale il comportamento capacitivo all’aumentare della frequenza.

È interessante valutare anche il fatto che la frequenza di transizione diminuisce all’aumentare il valore della resistenza.

1.1.2 Analisi in frequenza

L’impedenza equivalente dell’equivalente a impasto sarà:

R + jωL1 ∥ = = Z = (R + jωl)eq 2 −jωC 1 ω² LC + jωRC (1.2)

(R + jωL)(1 − ω² LC − jωRC) R + jω[L(1 − ω² LC) − R²C] = = (1 − ω² LC)² + (ωRC)² (1 − ω² LC)² + (ωRC)²

In questo modo il numeratore può essere rappresentato con una quantità del tipo A + jB.

Tipicamente vorremo utilizzare il nostro resistore in un range di frequenze per cui l’impedenza associata all’induttanza sia molto minore del nostro resistore, mentre l’impedenza associata alla capacità sia molto maggiore.

ωL ≪ R

1 / ωC ≫ R

da cui si ottiene che ωL/R ≪ 1 e ωRC ≪ 1, e che mettendo insieme otteniamo, da cui:

ω² LC ≪ 1, (1.3)

Zeq ≃ R + jω(L − R²C) = R + jωXeq

Da questo si deduce che se Xeq > 0 → L > R²C allora prevale il comportamento induttivo, se invece Xeq < 0 → L < R²C prevale il comportamento capacitivo. Possiamo perciò semplificare il circuito nei due casi, ottenendo:

R R Ceq eq eq

L ≃ L − R²C eq

Per il calcolo della capacità equivalente conviene scrivere l’impedenza equivalente del circuito di destra che abbiamo appena semplificato:

Zeq = R / (1 + jωRCeq) = R(1 − jωRCeq) / (1 + ω²R²Ceq²) (1.4)

Questa espressione avrà al denominatore una quantità analogamente trascurabile rispetto ad 1, ottenendo perciò un’impedenza pari a: (1.5)

Zeq = R(1 − jωRCeq)

Per cui, uguagliando con la 1.3 otteniamo R²Ceq ≃ R²C − L, da cui:

Ceq ≃ C − L/R² (1.6)

I fattori di qualità del resistore possono essere definiti mediante due parametri: la costante di tempo del resistore τ e l’angolo di fase φ.

τR = |Leq| / Req ≃ |L − R²C| / R = Req Ceq

I due fattori Leq / Req e Req Ceq forniscono la stessa espressione.

φ = arcth Xeq / Req ≃ Xeq / Req ≃ ω(L − R²C) / R

In condizioni ideali l’impedenza coincide con la resistenza, e perciò l’angolo di fase sarà nullo, mentre in generale l’angolo di fase sarà diverso da 0. In particolare se è positivo prevale il comportamento induttivo, mentre se è negativo prevale il comportamento capacitivo.

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Effetto pelle

In un conduttore metallico percorso da una corrente variabile, la distribuzione della corrente non è uniforme nella sua sezione ma si addensa verso la periferia. Nel caso di corrente alternata la resistenza del conduttore aumenta al crescere della frequenza.

R(ω) = πd / 2γ √(µωl) (1.7)

Effetto Boella

Nei resistori a impasto, oltre alle capacità parassite fra i terminali, intervengono anche le capacità distribuite fra le particelle conduttrici, le quali vanno a diminuire il valore della resistenza all’aumentare della frequenza. Questo effetto può essere non trascurabile anche a frequenze molto basse per valori elevati di resistenze.

1.2 Condensatori

I condensatori si dividono in:

• Elettrolitici;
• Ceramici;
• A film plastico;

Elettrolitici

Questi condensatori sono in grado di accumulare grandi quantità di energia, sono però limitati per applicazioni frequenziali fino alle decine di kHz. Sono costituiti da un elettrodo, anodo, sul quale si forma uno strato di ossido con elevata costante dielettrica εR, mentre l’altro elettrodo, catodo, è costituito da un elettrolita, soluzione salina, e da un secondo elettrodo metallico che spesso è il contenitore stesso.

I condensatori elettrolitici possono essere a base di alluminio o di tantalio; quest’ultimi sono superiori per stabilità di temperatura e a frequenze maggiori, ma con capacità massime minori.

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Ceramici

Nei condensatori ceramici il dielettrico è costituito da una massa ceramica con εr variabile. I ceramici con minore εr hanno una maggiore stabilità del valore capacitivo con minori perdite e sono perciò usati per circuiti oscillanti. Quelli che invece hanno una elevata εr presentano una capacità elevata con scarso ingombro.

La forma più diffusa è quella a disco, e dato che i ceramici sono utilizzati normalmente ad alte frequenze, vengono usati in parallelo agli elettrolitici per fugare a massa le alte frequenze.

Esistono anche condensatori a strato, il cui dielettrico è costituito da strati ceramici.

A film plastico

In questi condensatori il dielettrico è un poliestere e lo strato elettroconduttore è una lamina metallica. Lavorano con tensioni fino a 1000 V e sono preferiti alle basse frequenze.

Nei condensatori con dielettrico in policarbonato la capacità è costante e di conseguenza sono utilizzati in circuiti oscillanti.

1.2.1 Analisi in frequenza

Il circuito equivalente di una capacità reale è il seguente:

R Cp pL sR s

dove Ls e Rs sono rispettivamente l’induttanza dei reofori e la resistenza dei reofori, mentre Rp è la resistenza del dielettrico tra le due armature.

Osservando l’andamento di Figura 1.1 si osserva che la curva rossa dell’impedenza è data dai due contributi capacitivo e induttivo, e che esiste una certa frequenza ω0 che discrimina due regioni di funzionamento: per frequenze inferiori ad ω0, l’andamento è capacitivo, mentre per frequenze superiori prevarrà l’andamento induttivo. Nel caso ideale, l’impedenza associata al nostro condensatore dovrebbe essere puramente reattiva, cioè Z ≡ XC, nella realtà, come mostrato in Figura 1.2, abbiamo visto che sono presenti anche fenomeni dissipativi, che vengono presi in considerazione definendo la resistenza serie equivalente,

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Figura 1.1: Grafico dell’andamento dell’impedenza di un condensatore reale

Figura 1.2: Caso reale di impedenza

che fa sì che l’impedenza Z non coincida con la sua reattanza, ma rispetto a questa presenti un certo angolo δ, la cui tangente prende il nome di fattore di dissipazione, DF:

DF = tgδ = ESR / XC = ωCRs ≃ 1 / ωCRp

Viene poi definito il fattore di qualità come:

Q = 1 / DF

e sarà un valore molto alto, su qualche decina.

Si può poi definire una frequenza propria di risonanza, SRF:

SRF = 1 / (2π · √ESL C)

Sia la capacità che il fattore di dissipazione dipendono dalle condizioni operative, ovvero frequenza, temperatura, tensione..., come mostrato in Figura 1.3.

Condensatori che dal punto di vista della tecnologia realizzativa sono analoghi, presentano frequenze di risonanza diverse a seconda del proprio valore, in particolare condensatori più piccoli si comportano meglio di quelli a capacità maggiori poiché la frequenza di risonanza aumenta al diminuire della capacità.

1.2.2 Circuito equivalente

Partiamo dal calcolo dell’impedenza equivalente:

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Figura 1.3: Variazione dei parametri di un condensatore

R Cp pL sR s

Zeq = Rs + jωL + 1 / (1/Rp + jωC) = Rs + jωL + Rp / (1 + jωCRp)

= Rs + jωL + (Rp − jωCRp²) / (1 + ω²Rp²C²)

= Rs + Rp / (1 + ω²Rp²C²) + jω [L − CRp² / (1 + ω²Rp²C²)]

Adesso per calcolare la frequenza di risonanza imponiamo che la parte immaginaria sia nulla dato che alla risonanza il componente ha un comportamento resistivo:

Im{Zeq} = 0 → R²p C − L(1 + ω²R²p C²) = 0

ω² = (R²p C − L) / (R²p C²L) = 1/LC − 1/Rp²C²

Oltre al termine che ci aspettavamo 1/LC è presente anche un secondo termine che tiene conto del componente dissipativo che però sarà molto grande Rp. Spesso infatti, dato che lo scostamento sarà molto piccolo, può essere rappresentato il circuito equivalente senza il componente dissipativo.

Trattando C ci potremo aspettare una diminuzione della frequenza di risonanza all’aumentare del valore della capacità.

Se ci mettiamo in corrispondenza della frequenza di risonanza, l’impedenza

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R*p C* R*C*p

Figura 1.4: Circuito equivalente serie e parallelo

equivalente vale:

Zeq = Rs + Rp / (1 + R²p C² / (LC − R²p C²)) = Rs + Rp / (1 + Rp C / L − 1) = Rs + L / RpC

1.2.3 Circuito equivalente semplificato a bassa frequenza

(f < ω)

Partiamo con il calcolarci l’impedenza e l’induttanza equivalente dei circuiti in Figura 1.4

Z*eq = R*s + 1 / jωC*s (1.8)

Y*eq = 1 / R*p + jωC*p (1.9)

I circuiti equivalenti devono rappresentare la stessa cosa, perciò possiamo uguagliare il complesso coniugato dell’inverso della 1.8 con la 1.9:

jωC*s / (1 + jωR*sC*s) = (ω²C*s²R*s + jωC*s) / (1 + R*s²ω²C*s²) = 1/R*p + jωC*p

Uguagliando le parti reali e immaginarie, otteniamo:

1/R*p = ω²R*sC*s² / (1 + R*s²ω²C*s²) → R*p = R*s(1 + 1 / (ω²R*s²C*s²))

ωC*p = ωC*s / (1 + R*s²ω²C*s²) → C*p = C*s / (1 + ω²R*s²C*s²) (1.10)

Ponendo adesso Q = 1 / (ω²R*s²C*s²), otteniamo:

R*p = R*s(1 + Q²)

C*p = C*s Q² / (1 + Q²) (1.11)

Dato che stiamo a bassa frequenza, ωR*sC*s ≪ 1 → Q ≫ 1 e perciò possiamo dedurre che:

R*p ≫ R*s C*p ≃ C*s

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Figura 1.5: Flusso

1.3 Induttore

L’induttore è un avvolgimento di un conduttore attorno ad un materiale elettromagnetico o nel vuoto. Quando il filo è attraversato da corrente variabile sappiamo che si genera un flusso variabile che genera una f.e.m indotta che tende ad opporsi alla variazione del flusso magnetico.

Viene definito anche per l’induttore un fattore di merito:

Q = |X| / R = |B| / G = ωL / Rs = Rp / ωLs

Questo fattore è importante dal punto di vista fisico perché viene visto come rapporto di energie, ed in particolare come l’energia massima immagazzinata in un elemento reattivo e quella dissipata nei parassiti dissipativi presenti quando siamo in regime sinusoidale ad una certa frequenza.

Gli induttori presentano valori diversi a seconda che siano avvolti su un materiale ferromagnetico o nel vuoto: nel primo caso infatti il valore dell’induttanza sarà più elevato e tutte le linee di flusso saranno contenute all’interno del materiale ferromagnetico, come mostrato in Figura 1.5.

A seconda che l’induttore sia smagnetizzato o meno, saranno presenti domini magnetici orientati in maniera casuale, domini che si allineano tutti nello stesso verso facendo in modo di massimizzare il campo magnetico, come mostrato in Figura 1.6.

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Figura 1.6: Domini magnetici

Ciclo di isteresi

1.3.1 Circuito equivalente induttore

Come per il circuito equivalente del condensatore calcoliamo l’impedenza equivalente del circuito in Figura 1.7:

Zeq = Rs + 1 / (1/Rp + jωC + 1/jωL) = Rs + jωLRp / (Rp − ω²RpLC + jωL)

Moltiplicando e dividendo p