Costruzioni di macchine

Costruzione di macchine

Docente Gabriele Cricrì, a opera di Giovanni Celentano

Relazioni differenziali di equilibrio per le caratteristiche della sollecitazione

Consideriamo un concio di trave e la variazione delle caratteristiche andando dalla faccia sinistra alla faccia destra. Consideriamo un riferimento in cui è l’asse assiale, è l’asse verticale e quello orizzontale. Siano carichi distribuiti. Applicando l’equilibrio, otteniamo che: = − = − = − −

Equazione della linea elastica

Questo metodo mi permette di calcolare le equazioni dello spostamento (longitudinale o trasversale) di ogni punto dell’asse della trave. Da queste, è possibile ricavare le espressioni delle caratteristiche della sollecitazione.

Consideriamo un riferimento del tipo:

• () () lo spostamento trasversale del punto dell’asse della trave
• () () lo spostamento longitudinale del punto dell’asse della trave

Nota: con questa convenzione si ha che: ( ) ( ) = { () () = − ()

La dipendenza fra gli spostamenti e le caratteristiche della sollecitazione è data da:

• ()′() ()= = ′( ) ( ) = ′′() () = − ′′′() ()= −

Derivando lo sforzo normale e il taglio si ottengono le seguenti equazioni base:

′ ′′ ′′() () () () = = − → = − () ′ () () () () = − = − → = ()

Ipotizziamo e costanti. Integrando la si ottiene l’espressione dello spostamento e delle sue derivate:

2( ) = − + + 2 ′ ( ) = − +

Come risultato notevole, si ha che:

( ) = ()() Integrando la si ottiene l’espressione dello spostamento e delle sue derivate:

4 3 2( ) = + + + + 24 ′ 3 2( ) = + 3 + 2 + 6 ′′ 2 () = + 6 + 22 ′′′() = + 6 , , ,

Per risolvere la linea elastica e trovare i coefficienti è necessario imporre le condizioni al contorno sui nodi (spostamenti noti, angoli noti, ecc.) Una volta ricavata la linea elastica ovvero l’equazione degli spostamenti, e quindi le sue derivate (e quindi i coefficienti sono noti), è possibile ricavare l’espressione delle caratteristiche della sollecitazione in ogni punto della trave.

′′() () ′′()= Ad esempio: ho ricavato l’espressione di , posso ricavare . Al variare della coordinata ricavo il valore del momento flettente.

Note

• Se la struttura è isostatica e posso quindi ricavare il momento a partire da tutte le forze e () ′′()= le reazioni vincolari, posso usare direttamente l’equazione e definire due sole condizioni al contorno.
• Nel caso in cui vi sia una forza concentrata in un punto della trave, bisogna considerare la trave divisa in due tratti e per ogni tratto definire 4 condizioni al contorno. Generalmente, nel punto della forza concentrata ci saranno quattro condizioni di coerenza.
• Nel caso in cui vi siano vincoli cedevoli o distorsioni termiche, gli spostamenti o le sollecitazioni generati da questi andranno valutati per le condizioni al contorno nei nodi.
• Questi calcoli possono essere applicati a qualsiasi struttura, isostatica o iperstatica.

È possibile ricavare tutte le relazioni degli schemi notevoli attraverso questo processo considerando una trave incastrata-incastrata. I risultati possono essere scritti compattamente come:

[] = − in cui abbiamo che:

• è il vettore delle reazioni vincolari []
• è la matrice di rigidezza della trave
• è il vettore degli spostamenti nodali
• è il vettore delle forze equivalenti al carico esterno

Struttura isostatica

• Calcolo le reazioni vincolari imponendo le equazioni di equilibrio
• Calcolo le espressioni delle caratteristiche della sollecitazione operando dei tagli e imponendo l’equilibrio sulla parte tagliata

Struttura generica: trave isostatica o iperstatica

• Calcolo l’equazione della linea elastica imponendo le varie condizioni al contorno e, attraverso i coefficienti calcolati, ricavo anche le derivate
• Calcolo le espressioni delle caratteristiche della sollecitazione a partire dall’equazione della linea elastica e dalle sue derivate

Struttura generica: telaio isostatico o iperstatico

• Applico il metodo degli spostamenti e ricavo le espressioni delle caratteristiche della sollecitazione in funzione degli spostamenti calcolati

Metodo degli spostamenti

• Individuo quali sono, per ogni nodo (interno), gli spostamenti consentiti. Ad esempio, un nodo potrebbe ruotare ma non traslare poiché in quel punto vi è una cerniera; oppure, potrebbe ruotare e traslare orizzontalmente ma non verticalmente poiché si trova sulla sommità di una trave verticale fissata in basso e che considero non dilatabile assialmente, ecc. Il verso degli spostamenti è arbitrario.
• Pongo dei morsetti su tutti i nodi interni in modo da bloccare qualsiasi spostamento. D’ora in poi, tutti i nodi si comportano come incastri (punti fissi, nel riferimento, che non possono traslare o ruotare).
• Consento, uno alla volta, ogni spostamento e definisco tutte le reazioni che generano quello spostamento, comprese quelle che gravano sui nodi adiacenti, esclusi gli estremi delle travi. (se un estremo è fissato con una cerniera, non mi interessa la reazione che ho sulla cerniera, che è un vincolo esterno che considero perfetto).

Ad esempio, se consento la rotazione di un nodo, devo definire le reazioni che il nodo esercita sulle travi a cui è collegato (e che ha deformato), sia considerando il nodo stesso (e quindi, ad esempio, il momento che esercita lui stesso sulla trave) che considerando le reazioni legate ai nodi adiacenti, che a loro volta esercitano una reazione essendo fissati dai morsetti. Per capire, se ho una trave incastrata-incastrata di estremi e considero una rotazione, allora avrò sia un momento dovuto al nodo sia un momento di risposta dovuto al nodo. Il momento parteciperà all’equilibrio sul nodo.

Uno spostamento può essere generato da sollecitazioni dirette in più direzioni. In questo caso sceglierò solo quelle abbinate al mio spostamento: se, ad esempio, lo spostamento è la rotazione di un nodo, considero solo i momenti relativi e non gli eventuali sforzi di taglio.

• Scrivo, per ogni nodo, le equazioni di equilibrio alla traslazione e alla rotazione. Se ho consentito, ad esempio, come spostamenti di un determinato nodo, solo la traslazione orizzontale e la rotazione, per quel nodo scriverò due equazioni, una di equilibrio alla traslazione orizzontale e una alla rotazione.
• A partire dal sistema lineare, definisco la matrice di rigidezza. Fissato l’ordine in cui ho considerato i nodi per le varie equazioni (ad es. A, B), fissato l’ordine della direzione in cui ho equilibrato (ad es. traslaz orizz, traslaz vertic, rotazione), nella matrice inserirò prima i termini in cui compaiono gli spostamenti consentiti al nodo A e l’ordine in cui li scrivo sarà proprio quello in cui ho scritto le equazioni di equilibrio. (se ho scritto prima l’equazione di equilibrio alla traslazione orizzontale, considero prima lo spostamento orizzontale di A ecc.)
• Una volta calcolati tutti gli spostamenti, è possibile utilizzarli come condizioni al contorno nel calcolo dell’equazione della linea elastica per ogni tratto e calcolare quindi tutte le caratteristiche della sollecitazione.

Tensione, matrice delle tensioni, relazioni differenziali

Un generico corpo continuo è sottoposto a forze di due tipi: forze di superficie indicate con e forze di volume indicate con. Principio di sezionamento: se un corpo continuo è in equilibrio sotto l’azione di un sistema di forze, allora ogni sottostruttura ottenuta mediante una sezione di Eulero che separa il corpo in due parti e risulta in equilibrio sotto l’azione delle forze applicate e delle forze interne superficiali di contatto e che le parti si scambiavano attraverso.

Postulato di Cauchy: Le forze interne di contatto dipendono dal punto in cui sono valutate e dalla normale del piano tangente il corpo nel punto considerato. Tale forza interna prende il nome di vettore tensione nel punto secondo il piano π di normale e si indica con.

A partire da questi due principi si ottengono le equazioni:

• = + + → = ∙ vettore tensione 1 2 3 + + +=0 → + = 0 equazioni di equilibrio
• = + + → =∙ equilibrio al contorno 1 2 3

Nota: le tre tensioni corrispondono alle tre colonne nella matrice

Definiamo quindi la matrice delle tensioni (simmetrica)

[ ] [ ] [ ] [ ] =  =  =  =

Si definisce tensione normale agente sul piano di normale la proiezione del vettore: = ∙ = + + sulla normale. Si definisce tensione tangenziale agente sul piano di normale la proiezione del vettore sul piano.

Per ottenere le varie componenti della matrice, è sufficiente moltiplicare scalarmente il vettore tensione per il versore della direzione scelta. Esempio:

 =     =    =     ,

Gli elementi sulla diagonale principale della matrice ovvero sono le tensioni normali rispetto ai tre assi. (assumeranno un unico pedice nel prosieguo) Gli elementi al di fuori della diagonale principale, ovvero sono le tensioni tangenziali rispetto ai tre assi.

Per capire

• Fissato un punto del continuo si determina la matrice delle tensioni
• Per calcolare la tensione nel punto lungo una normale scelta è sufficiente moltiplicare per il vettore normale
• Nota: le tensioni tangenziali con uguale pedice, del tipo e sono uguali e devono entrambe convergere o divergere nello spigolo parallelo al terzo asse. Nel caso in cui convergano sono considerate positive e viceversa.

Calcolo delle tensioni principali

Metodo degli autovalori ed autovettori

Sia la matrice delle tensioni nel riferimento sia la matrice identica, siano i generici autovalori (tensioni principali) incogniti e sia il generico versore di componenti, , , | |, − = 0

• Ricavo gli autovalori ovvero i moduli delle tensioni principali: ( ), − =
• Ricavo gli autovettori ovvero le direzioni principali, dal sistema:
• Sostituendo nel sistema, uno alla volta, ogni autovalore trovato, si ricavano le componenti del rispettivo versore

Cerchi di Mohr

È possibile utilizzare i cerchi di Mohr solo nel caso di stato tensionale piano. Nel caso pratico, considerando la superficie esterna di un corpo, avremo sempre uno stato tensionale piano e la direzione normale alla superficie sarà principale. Anche trovandoci con una matrice 3 × 3, se lo stato tensionale è piano avremo che una riga e una colonna saranno nulle e la matrice può ricondursi ad una matrice 2 × 2. L’indice della riga/colonna nulla rappresenta inoltre una direzione principale. Ad esempio, se fossero nulle la seconda riga e la seconda colonna, l’asse del riferimento sarebbe un asse principale.

Ricavare l’equazione del cerchio

• Consideriamo la matrice delle tensioni nel generico riferimento e riconduciamola ad una matrice 2 × 2.
• Calcoliamo il valore della estrema oppure annulliamo quello della nulla. Nel primo caso: =
• a) Esplicitiamo il valore di:
• b) Eliminiamo tutti i termini che moltiplicano per la componente nulla di
• c) Sostituiamo alle componenti di le loro espressioni in funzione di ovvero i coseni direttori, dove è l’angolo che il nuovo riferimento (principale) compie in senso orario a partire dal riferimento di base
• d) Deriviamo l’espressione ottenuta (rispetto a ) ed eguagliamola a zero.

Nel secondo caso:

• a) Esplicitiamo il valore di:
• b) Eliminiamo tutti i termini che moltiplicano per la componente nulla di
• c) Sostituiamo alle componenti di le loro espressioni in funzione di i coseni direttori
• d) Eguagliamo a zero l’espressione ottenuta

Ipotizzando di trovarci nel piano l’equazione ottenuta sarà: − sin 2 + cos 2 = 02

Utilizzo pratico

Ipotizziamo di avere la matrice di uno stato tensionale piano del piano. Il centro e il raggio del cerchio di Mohr saranno dati da:

2 +   −    √( 2)=( ; 0)  = +  2 2

Le intersezioni del cerchio con l’asse delle rappresentano le tensioni principali.

Relazioni costitutive tensioni-deformazioni

1 = − ( + [ )]     = 2 + ( +  +  )
1     )] = − ( + [     = 2 + ( +  +  )
1 = − ( + [ )]  = 2 + ( +  +  )
1  =   =      =  1   =    =  {  1 = {   

modulo di Young: modulo di elasticità longitudinale = = 1° costante di Lamè: modulo di elasticità trasversale2(1+)= = 2° costante di Lamè: modulo di elasticità tangenziale(1−2)(1+)

Prova di trazione di un provino

Effettuando la prova di trazione è possibile determinare la tensione normale a cui il provino è sottoposto.

= (1 − 2 ) Sia l’area iniziale della sezione del provino e sia l’area reale del provino sottoposto al carico. Definiremo ingegneristica e vera le seguenti:

( )=  = >  0

Allo stesso modo, definiamo ingegneristica e le seguenti:

=  = ( < )  0

Nella fase elastica, le variazioni di volume e quelle di forma sono paragonabili e il modulo di Young è costante. Nella fase plastica, le variazioni di forma sono preponderanti rispetto a quelle di volume, che si considera costante, e il modulo di Young è variabile. ≅ 0,5

In questa fase, il materiale ha le caratteristiche di un fluido viscosissimo. Si ha che: Il punto di massimo raggiunto dalla rappresenta il massimo carico che il provino (non il materiale) riesce a sopportare. Superato quel carico, avviene l’astrizione. L’area sottesa dal grafico nel diagramma rappresenta l’energia fornita al materiale. I materiali fragili avranno comportamenti elastici fino a carichi grandi, poi si romperanno poco.