Costruzioni Aerospaziali (formulario - risposte modello)

Concetti di meccanica strutturale

Relazione tra sforzo e deformazione

R_TE = qℓ²τ = I_R/^Qγ = 1/q relazione tra sforzo e deformazione modello di riferimento ρ = (C_r/^C) M_T = 2Q/^SU = 1/2 {Q} [K] {Q} U_w(x) = 1/2 ∫₀^ℓ B(x)_d = ^dW/_{dy d} = -^M/_EI momento tangente I formula di Brett forze di taglio R = ^QE/_TE superficie profilo = ¹/_Q modello modello di taglio = ^2Q/_4Q5 P^(i,j) scorrimento superf. esterna relazione tra forza e deformazione Il formula di Brett rigidezza trasversale di Brett += ^dMT _{= 2}⁹ⁱ mn_general Mn_general = ^My/_Iyy - ^Mz/_Izz conoscere con un asse principale trans. corrente dy forza per unità lunghezza lungo ^norm T = ¹/₂[Q]^y[K] U = ¹/₂[X]^X[Q][K][^u]=[Y]^₂

Determinare attraverso il metodo di Ritz

1) Determinare attraverso il metodo di Ritz la soluzione approssimata della risposta statica della trave q(x) conservativo. Equazioni ipotesi sulle funzioni e passaggi necessari.

Ricerca del funzionale E_tot = E_el + E_q E_el = 1/2 ∫ EI (d²w/dx²)² dx, E_q = - ∫ q(x)w(x)dx => E_tot = ∫ (1/2 EI (d²w/dx²)² - qw) dx

Ricerca della funzione W_n(x) = ∑_i=0^N C_i Ψ_i(x): siano soddisfatte le c.c. W(0) = 0, W_c(L) = 0, W''(0) = 0, W''(L) = 0 ... scelgo W_n(x) = C₁ x + C₂ x² + C₃ x³ + C₄ x⁴ C₀ = 0

W''_n(x) = C₁ + 2C₂ x + 3C₃ x² + 4C₄ x³ = 0 W''_n(x) = 2C₂ + 6C₃ x + 12C₄ x² W''_n(1) = 2C₂ + 6C₃ L + 12C₄ x L²/3! - 2 C₃ = C₄ = 0 W²(L) = - (3/2 x 3 x C₄) L²/3! + C₃ x L^3/2 C_i! = 0 C₃ - C₂ = 0 C₃ = 2C₄ L => E_tot = ∫ (1/2 EI (2C₂² - 12C₄ - 12 C₄ x + 12C₄ x²) - q(C₄ i_L²x² - 2C₄(Lx³ + C₄⁴) dx ~> ∂E_tot! / ∂C₄ = 0 => C_n | (parametri atti) => W_n(x) = L² x² - 2Lx³ + L x⁴

Concetto di modo proprio di una struttura

2) Concetto di modo proprio di una struttura, procedura per determinare i modi [...] per trovare continuo comunque vincolato. Il modo proprio di una struttura descrive il comportamento di un corpo sottoposto a vibrazione {X_c} è un autorelative indipendente dal s.d.r. e caratterizzato da sole proprietà intrinseche del sistema indice a meno di una costante, l'entità degli spostamenti dalle varie masse (lungo date coordinate) che oscillano con pulsazione data dall’autovalore w_i. Dunque se il sistema venisse perturbato inizialmente con delle condizioni tali da perturbare le masse lungo solo l’asse autovalore, il sistema continuerebbe ad oscillare seguendo quel modo proprio di vibrazione. In caso contrario oscillerebbe secondo una opportuna combinazione lineare di modi propri di vibrazione, i modi propri sono tutti ortogonali tra loro (e quindi indipendenti).

Equazione di equilibrio

Si considera l’equazione di equilibrio (ad esempio lungo l’asse della trave): E A ∂²U(x,t)∂x² − μ ∂²u(x,t)∂t² = 0 e si ipotizza u(x,t) = U(x) T(t), allora si avrebbe E A U" − μ Ü T = 0 → E A U"U = μT̈T = cost, | { 1T̈ + ω² T = 0 unica possibilità {U’ + ω²μE A U = 0 ». U"+ μ² U = 0⇒ {T = a cos( ω t ) + bsen(ω t ) → si impongono quindi {U = c cos( λ x ) + d sen( λ x ) le condizioni al contorno per ottenere un sistema da cui si ottengono i valori degli autovalori del problema (che possono essere ricondotti alle pulsazioni naturali ω e quindi agli autovettori: modi propri di vibrazione a meno di una costante). Per l’equilibrio flessionale si può considerare E I ∂⁴W(x,t)∂x⁴ + μ ∂²W(x,t)∂t² = 0 e fare analoghe considerazioni

Carico critico

3) È possibile ottenere il carico critico in corrispondenza di una frequenza di vibrazione nulla nello studio della stabilità di un sistema? Sì, è possibile. Dato un qualsiasi sistema strutturale descritto da un sistema di equazioni del tipo: [M]{ Q̈ } + [ K ]{ Q } − P [ B ]{ Q } = 0, [ M ] matrice di massa e [ K ] matrice di rigidezza si consideri la condizione { Q̈ } = { 0 } e ıt generica da cui è possibile ricavare l’espressione matriciale: ( [ M ] + [ K ] − P [ B ] ){ Q̅ } = 0 -- per trovare soluzioni diverse da quella banale { Q̅ } = 0 è necessario considerare le diverse tipologie di vibrazione per i valori ottenibili. Dello stesso allora il più piccolo valore di P > 0 garantisce che ∫ P t.c. → Il sistema è instabile → è quindi possibile, in questo caso che ∫ P dunque f_cR = w_-R = 2 pi (f₀ -1^pgg)f)

Determinazione del P_cr

4) Data la trave e il carico costante descrivere i passaggi che conducono alla determinazione del P_cr. Si considera una parte di trave deforme e si calcola l'equilibrio dei momenti rispetto al polo A: dx ⋅ T_dx ⋅ pdw_dx = 0 −> ^dT⁄_dx = 0 = EI^d4w⁄_dx⁴ ⋅ ρd^w⁄_dx² per l'equazione della dinamica si consideri: EI^d4w⁄_dx⁴ ⋅ μ^d2w⁄_dt² = o e si ipotizzi W(x,t) = X(x)T(t) = EI ⋅ X''T''' ⋅ PX' ⋅ MX' = 0 −> EI ⋅ X + PX + ┬ = cost −> X + μ = T −────────── ←compatibilità dove in è supposto che la soluzione = W(x,t) = X(x)e^st si faccia l'ipotesi di avere tutta la massa concentrata nell'estremo libero = (sigo + G_eliso) con le condizioni al contorno: x=0 X(0) = 0; W(0) = 0 X'(L) = 0; EI⋅W(L) + Pw'(L) = Mii⋅ ETX ⋅ θ^so = 0; ⋅ PX⋅λ = 0; W(L) = 0; W(0) = 0 facciano quindi le sostituzioni: z = X⋅x ⁄ ^X ⁄ _Pz⁄²l³⁄SML³ ⁄ ET da cui si ottiene: WW + PW''' = WW'''^{l232 p31/2_{0 ≃ 0 x&sup3/2}}armoniche; T: soluzione instabile ⇒ || dunque la soluzione critica ≃ η = π² EI ⁄ 4 ET≃ poiche' il carico P_E conservazioni stern; verificato potremono essere ottenuti attraverso il metodo statico: X=X₀: EIW(L)+Pw'(L) = Miio=> attraverso le c.c si puo dedurre una matrice [ΔP_x] de cui si puo' risolvere direttamente il primo p più basso tra, tutti gli autovalori pus.

Metodi per determinare il valore di P_c

5) Descrivere almeno due metodi utilizzabili per determinare il valore di Pc in un problema di stabilità strutturale. Si considera la distinzione tra forze applicate conservative e non conservative per il primo caso. È possibile applicare il criterio del metodo statico (con cui si annullano le forze d'inerzia) attraverso il quale, dall'equazione differenziale dell'equilibrio accoppiata con le condizioni al contorno, è possibile ricavare un problema agli autovalori che fornisce diversi valori. (Pc₁)^* (tutti accettabili) ma si intende il Pc solo se si considera il Pc_i^* (minimo e diverso da 0 (cosa non accettabile)), per il secondo caso è necessario risolvere un problema di risposta da cui si ricavano dei valori di P (P_cr ^el x P = w funzione naturale del sistema). L'unico dei quali si può determinare il valore più piccolo di P_cr. Ha solo radici reali, quel valore di P corrisponderebbe al Pc che garantisce un assolutamente indefinito del sistema dalla sua configurazione di equilibrio. Come alternativa del primo caso è possibile applicare il metodo di Ritz (o del Calcerio) come metodo risolutivo dal quale si può ottenere sempre un problema agli autovalori a partire della condizione di espressionazione dell'energia totale del sistema (dipendenza dalle funzioni approximately scelte). Come alternativa al secondo caso è possibile applicare il metodo di Galerkin del quale si trova un analogo problema agli autovalori (P_min (P_i ^*) P₀).

Teoria semplificata per le strutture a gusci

6) Illustrare e commentare le ipotesi per la teoria semplificata per le strutture a gusci in parete sottile e commentare le ipotesi per la struttura di un comune albero (navigazione). I correnti sono travi longitudinali; un compito è quello di esercitare la quasi-totalità degli sforzi normali di compressione e (trazione) dovrebbe momenti flettente (nella teoria semplificata associarono solo il carico normale, completamente). I longheroni sono travi a doppia T con la cui funzionalità è quella di assorbire la quasi totalità degli sforzi assiali verticali; costituiscono inoltre i contributi in maniera importante all'aumento della rigidezza flessionale (per il loro elevato momento d'inerzia). Le centine sono piastre che contribuiscono in maniera importante a tenere la forma del profilo alare lungo tutta l'ala e ad assorbire carichi concentrati. Nella teoria semplificata sono infinitamente rigide nel piano e assorbono solo carichi tangenziali. Nella struttura a guscio a spessore sottile si possono le ipotesi necessarie a garantire uno studio semplificato e non eccessivamente lontano dalla realtà: guscio infinitamente rigido nel piano della sezione una libero di ampiersi trasversalmente quanto spessore la corda, ala compatta quasi come una sezione costituita (struttura cilindrica infinitamente lunga cava), capacita di assorbire solo a M piano. Nel caso di teoria semplificata per il semiguscio alare si aggiungono correnti che lavorano solo a flesso normale (al di fuori del piano) e poco inclinate rispetto all'asse dell'ala (ala diritta) con sezione puntiformi cui si concentra il valore reale dell'area solette dei longheroni assimilabile a correnti. Sia inoltre il materiale isotropo e omogeneo. Le soluzioni ricavate dalla teoria semplificata sono equilibrate con le forze ma non congruenti con gli spostamenti indotti dagli sforzi. Lo scopo della dimostrazione è quello di avere un modello di riferimento che nella realtà assimilabile tutti i generi di sforzo con la sola struttura esterna (ali cave sono più leggere).

Struttura con profilo aperto

7) Perché una struttura con profilo aperto non resiste a momenti torcenti? (Struttura a parete sottile) Si considera la formula di Bredt: allora, finché B resta limitato ad un dato momento torcente applicato, corrisponde un finito angolo di torsione unitario. Se B diventa molto piccolo, a parità di applicato diventa sempre più grande. Per le strutture con profili a parete sottile si nota che la snellezza B, almeno localmente nei punti di apertura tende ad essere infinito (ragionamento qualitativo valido solo nel confronto: struttura a profilo sottile chiusa stessa struttura con un foro di dimensioni infinitesime nel profilo stesso). Poiché, quando si ha si ha di conseguenza, le conclusioni del ragionamento sono comunque applicabili in generale (e non solo al limitato caso su citato).

Metodo di Galerkin

8) Si utilizzi il metodo di Galerkin per determinare il del sistemacommentando con quali criteri devono esser scelte le e le Il metodo di Galerkin approssima la soluzione esatta del problema in questione (equilibrio trova: con la soluzione approssimata per un favore (W, caso sinottico): (W) supposto tale (per cui occorre di grado te problema diverso da quello banale maggiore e quindi migliora l'accuratezza della stima della soluzione). È inoltre necessario che le (\(x\)) soddisfino sia le c.c. geometriche che le naturali. (forze e spostamenti): (poiché una combinazione lineare di quelle caratteristiche dovrebbe in risultanza una con le medesime) Poiché W(x) rimane un'approssimazione di W(x,t), l'equazione di equilibrio calcolata con W(x) dovrebbe in risultato una funzione R(x)≠0 ⇒ imponga che il valor medio di questa funzione in tutto il dominio sia nullo (si utilizzano, come peso per la funzione R(x), le varie ϕ(x)) ⇒⇒ E I _i=0^N∑ c_i∫_-∞^∞ ϕ_i(x)ϕ_j(x)dx + P_-∞^∞∑ c_i∫_-∞^∞ ϕ_{^'i(x)ϕj(x)dx = 0 ⇒}⇒ da qui un sistema: [E I [A] + P[B]]{C}=0, ~⇒ si ottiene un problema agli autovalori ( R P C_max μ_μmin (‹^ Nel caso di vincolo libera invece per trovare le pulsioni naturali del sistema si faccia sempre l'ipotesi W'(x)=0 e valga ancora la considerazione nel grado di libertà,~ W'(x,t) si comporta sulla base di polinomi come condizioni al contorno si abbiano W₍₀ o, W'₍₀ o, W"₍₁ o, W^(l) = 0, W'"(l) è 0 con riferimento all'equazione equilibrio (E