Costruzione di Macchine 1

Costruzione di macchine 1

Capitolo 1: cinematica del corpo rigido

Punto materiale: punto privo di massa dotato di 3 gradi di libertà.

Corpo rigido: un sistema si definisce rigido se la distanza tra due punti qualsiasi rimane ###⃗ ###⃗ ###⃗ ###⃗!" #" !" #" costante In un sistema di N corpi rigidi si possono individuare ! () − ()! = ! − !.!(!#$) gradi di libertà e equazioni di vincolo, che portano al risultato di 6 GDL residui 3 ∙ &(3 traslazionali e 3 rotazionali).

Moto del corpo rigido: per descrivere il moto “in grande” del corpo rigido bisogna #⃗ conoscerne la traiettoria ( ), mentre per descrivere il moto “in piccolo” #⃗ = ∙⃗ + ∙⃗ + ∙ del corpo rigido bisogna linearizzare le equazioni del suo moto tramite la relazione $%&⃗()⃗,+)(⃗ ) #⃗ = 6 .+-+-.$+

Tipi di moto del corpo rigido

1. Rotazione intorno ad un asse passante per l’origine: $%&⃗ Linearizzazione: #⃗ = 6 /-0$/
2. Roto-traslazione rigida infinitesima: caratterizzata da 6 GDL (come si evince dalla formula seguente, 3 di traslazione (primo termine) e 3 di rotazione (secondo termine)) ⃗ ####⃗ = ####⃗ + × ( − )1 2

Centro di istantanea rotazione (CIR): punto di intersezione dell’asse di rotazione e del piano di moto. 6' = − + 345 ./

Coordinate del CIR: ; 7' = + 345 2/

Ricerca grafica del CIR: intersezione degli assi di movimento di due o più punti noti. Se il CIR consiste in un punto all’infinito, questo si chiama CIR improprio e la retta di CIR si chiama retta impropria (traslazione pura può essere vista come moto di rotazione con CIR improprio).

Vincoli su un corpo rigido

• Incastro a terra: impone 3 GDV alla struttura;
• Cerniera a terra: permette solo il moto rotazionale, imponendo quindi 2 GDV (blocca le due possibili traslazioni) CIR = perno della cerniera; à
• Carrello a terra: permette la rotazione attorno al perno della propria cerniera e la traslazione lungo la retta di scorrimento, imponendo quindi 1 GDV alla struttura CIR = retta normale alla traslazione passante per il perno; à
• Pattino a terra: permette la traslazione lungo la retta di scorrimento, imponendo quindi 2 GDV (blocca la rotazione e la traslazione in direzione normale a quella di scorrimento) CIR improprio; à
• Manicotto: permette la traslazione in direzione trasversale, imponendo quindi 2 GDV (blocca la rotazione e la traslazione in direzione di scorrimento) CIR improprio; à
• Bipattino: permette la traslazione in direzione trasversale e la traslazione in direzione di scorrimento, imponendo quindi 1 GDV infiniti CIR à in infinite direzioni;

Vincoli tra corpi rigidi

1. GDV < GDL: numero insufficiente a togliere tutte le libertà di movimento (sistema ipostatico);
2. GDV = GDL: numero sufficiente a togliere tutte le libertà di movimento (sistema isostatico);
3. GDV > GDL: sovrannumero di vincoli (sistema iperstatico);

Un sistema candidato a isostatico è isostatico se e solo se tutti i vincoli sono efficaci, altrimenti è isostatico labile. Per verificare il possibile moto della struttura, e quindi l’efficacia dei vincoli, devo ricorrere alla ricerca di un CIR: se non trovo un CIR comune al sistema, questo è isostatico, altrimenti è isostatico labile.

• Cerniera mobile con M corpi rigidi: GDV = 2 ∙ ( − 1);
• Cerniera a terra con M corpi rigidi: GDV = 2 ∙ ;
• Carrello a terra con M corpi rigidi: GDV = 2 ∙ − 1;
• Biella (/asta di collegamento): corpo rigido (sistema ipostatico) dotato di 2 vincoli doppi alle estremità dell’asta (asta “a”). Per spostamenti infinitesimi (quindi linearizzati), il sistema biella-manovella è assimilabile al sistema seguente sulla destra:
• Arco a tre cerniere: sistema isostatico. Per dimostrarne l’isostaticità bisogna ricondurre un’asta a una biella, che a sua volta può essere ricondotta a un carrello, che porta all’avere un solo corpo rigido (immagine 1àimmagine 2);

Capitolo 2: equilibrio del corpo rigido

Sistema in equilibrio = un sistema si definisce in equilibrio se:

1. #⃗ ##⃗ #⃗8∑ (Risultante delle forze nulla); = = 0!9
2. #####⃗ ##⃗ #⃗8 ( )∑ (Risultante dei momenti nulla). = − × = 02 9 !9

#######⃗ ####⃗#⃗ #####⃗ Un sistema si dice in equilibrio se il lavoro “virtuale” dL ( è nullo = ∙ + ∙ )2 2 per tutti gli spostamenti infinitesimi.

#######⃗ #####⃗ ⃗"( ) Momento di trasporto: = + − ×(2 2

Sistemi equipollenti: due sistemi si dicono equipollenti/equivalenti se si passa da uno all’altro con operazioni invariantive ed elementari che non fanno cambiare il sistema (es. spostare forze sulla retta di applicazione o comporre due forze per ottenere una risultante uguale a quella da sostituire). I due sistemi devono quindi avere la stessa risultante delle ##⃗ ###⃗ ##⃗8 8 8 ( )∑ ∑ ∑ forze ( ) e la stessa risultante dei momenti ( = − × = ! ! 9 !9-: 9-: 9-: ###⃗8 ( )∑ − × ).9 !9-:

1. Sistema nullo: #⃗ #⃗ = 0G #####⃗ #⃗ = 02
2. Coppia di forze: generata da forze uguali in modulo e direzione, ma opposte in #⃗ verso, che generano quindi un momento risultante non nullo; essendo il = 0 momento non dipende dal polo O. #⃗ #⃗ = 0G #####⃗ #⃗ ≠02 !⃗ Se considero una coppia di forze di intensità molto forte e b (braccio) molto ! !⃗ piccolo, posso idealizzare la situazione assumendo b = 0 e finito, ottenendo ! ∙ una coppia concentrata in un punto P.
3. Sistema equipollente a forza risultante: sistema con punto di applicazione #####⃗ delle forze tale da ottenere = 0 punto di applicazione = centro di à2 massa. #⃗#⃗ ≠ 0G #####⃗ #⃗ =02

Vincoli

A ogni vincolo è associata una reazione vincolare, che si oppone al movimento e preserva l’equilibrio.

I vincoli si caratterizzano come:

1. Lisci: la reazione vincolare non ha componenti nelle direzioni del moto non vincolate;
2. Bilateri: il verso delle reazioni vincolari può essere qualsiasi;
3. Perfetti: l’intensità della forza non è limitata (il vincolo non si rompe e lo spostamento è identicamente nullo).

• Incastro: = 0, = 0, = 0 → = ∙ + ∙ + ∙ = 0; ; ; ) ; < ;
• Cerniera: = 0, = 0 → = ∙ + ∙ + ∙ = 0 → = 0; ; ; ) ; < ; ; momento sulla cerniera = 0; à
• Pattino: = 0, = 0 → = ∙ + ∙ + ∙ = 0 → = 0; ; ) ; < ; ) risultante forze in direzione trasversale = 0; à
• Carrello: = 0 → = ∙ + ∙ + ∙ = 0 → = = 0;; ; ) ; < ; ) ;
• Bipattino: reazione di coppia, l’unica reazione vincolare indotta è il momento.

In presenza di vincoli interni, questi possono essere eliminati per evidenziare le reazioni vincolari che esercitano, ma queste ultime devono essere riportate su entrambi i vincoli in direzione uguale e verso contrario.

Carichi distribuiti

Tengono conto delle reazioni esterne, e vengono espressi in [N/mm].

A seguito dell’azione dei carichi distribuiti si rivedono le equazioni cardinali della statica, che diventano: 8$ ⃗#⃗ ##⃗ #⃗(⃗ )M= L + = 0! =9-:8 8$ & ⃗#####⃗ ##⃗ #⃗( )M = L( − ) × + L + ( − ) × ⃗ = 02 9 ! 9 =9-: 9-:

Nel caso di spessori e densità non costanti, si ricorre all’individuazione baricentro della struttura, ottenibile da: 1 M###⃗ = ⃗ ; =

Se invece si considera un corpo continuo dotato di massa si calcola il centro di massa (che risulta coincidente con il baricentro se la densità di massa è costante): sulla retta di applicazione del centro di massa tutti i momenti sono nulli, quindi se si traslano le forze lungo questa retta si può non tener conto del momento di trasporto. Il calcolo del centro di massa si effettua mediante la formula: 1 M#####⃗ = ⃗ (⃗) > =

Per calcolare il carico distribuito dovuto alla forza peso, si usano le formule: #⃗ M= ⃗ = ⃗ = #####⃗ #⃗ = (#####⃗ − ####⃗) ×2 > 2

Reazioni vincolari

Per calcolare le reazioni vincolari di un sistema, bisogna prima identificarne lo stato.

• Sistema isostatico: in un sistema isostatico ottengo 3 equazioni di equilibrio in 3 variabili, pari anche al rango della matrice dei coefficienti il sistema risulta quindi à staticamente determinato, poiché ammette una e una sola soluzione.
• Sistema iperstatico: in un sistema iperstatico ottengo 3 equazioni di equilibrio in 4 incognite, ma il rango della matrice dei coefficienti (3x4) risulta comunque essere 3,8?5-: quindi il sistema ammette soluzioni il sistema risulta quindi non ∞ à: staticamente determinato, poiché ammette soluzioni. ∞
• Sistema ipostatico: in un sistema ipostatico ottengo 3 equazioni in 2 incognite, la matrice dei coefficienti (3x2) ha rango 2, ma la matrice completa (matrice dei coefficienti + colonna di reazioni vincolari 3x3) ha rango 2, e quindi à implicherebbe la risolvibilità del sistema, solo sotto determinate condizioni il à sistema risulta quindi staticamente determinato sotto alcune condizioni!
• Sistema labile: in un sistema labile ottengo 3 equazioni di equilibrio in 3 incognite, mentre la matrice dei coefficienti (3x3) ha rango 2, e la matrice completa ha rango o 2, che è però minore del numero di incognite, o 3, che è però diverso dal rango della matrice dei coefficienti il sistema risulta quindi staticamente non determinato e à8?5-: ammette soluzioni. ∞

Capitolo 3: azioni interne

Le azioni interne si dividono in:

• Azione normale N: di compressione o di trazione (convenzione positiva ← ∎ →);
• Azione tagliante T (convenzione positiva ↑ ∎ ↓);
• Momento flettente M (convenzione positiva ). ∎

Per analizzare le azioni interne bisogna:

1. Verificare l’equilibrio della struttura;
2. Svincolare le travi ed evidenziare le reazioni vincolari;
3. Separare un’asta in due tronconi, scrivere le equazioni cardinali della statica su uno dei due tronconi, calcolare le azioni interne e riportarle sull’altro troncone in ugual modulo e direzione ma verso opposto;
4. Verificare i risultati sull’altro troncone.

Per analizzare le azioni interne su corpi soggetti a carichi distribuiti si usano:

1. Metodo diretto:
   • Suddividere la struttura in domini interessati da carichi distribuiti;
   • Spezzare il dominio;
   • Calcolare le azioni interne secondo le leggi della statica;
   • Verificare i risultati sull’intero dominio.
2. Metodo differenziale (valido per asta rettilinea e carico perpendicolare all’asse):
   • Si calcola N;
   • $@ Dall’equilibrio verticale si ottiene = ();$)
   • $A Dall’equilibrio alla rotazione si ottiene = −();$)
   • &$ A Come risultato si ottiene = −().&$)

Carico concentrato: T = cost, M = lineare; à carico distribuito uniformemente: T = lineare, M = parabolico; à

Azioni interne 3D

In 3D cambiano le caratteristiche del sistema, poiché:

• GDL = 6;
• Posso ottenere due diversi tipi di componenti per ogni forza, in particolare per il momento:
• Momento flettente: generato da vettori trasversali all’asse dell’asta; v
• Momento torcente: generato da vettori paralleli all’asse dell’asta v (convenzione positiva <<-- -->>). ∎

Capitolo 4: sforzi & deformazioni

Sforzo: Forza per unità di superficie. Gli sforzi si dividono in:

• Assiali (): con direzione normale alla superficie sulla quale agiscono (uniformi nella sezione); Δ Δ[(⃗, )[ = = (⃗) lim Δ ΔBC→0
• Tangenziali (): con direzione parallela alla superficie sulla quale agiscono (non uniformi nella sezione). Δ Δ9 9 9( ) (⃗ )[[[[ = [[[[ ⃗, = = limE! E! E9 Δ ΔBC→0

Gli sforzi associati a un punto (in un sistema in equilibrio ogni componente di sforzo implica una componente uguale in modulo ma contraria in verso!) si definiscono mediante un tensore (matrice 3x3):

Tetraedro di Cauchy

Note le componenti del tensore degli sforzi in un punto, è possibile conoscere gli sforzi agenti su qualunque piano passante per quel punto mediante equazioni di equilibrio imposte sul tetraedro di Cauchy.

Dall’equilibrio si ottiene che: = + + cos ) ) <) F) ) <) F) ̅cos = + + d = h i h i → = [ ∙ q)< < F<< )< < F< cos = + + )F <F FF )F <F Fr t|̅|[@ G EG→ = ∙ ∙ q = − E E

Stato di sforzo piano: caratterizzato dall’annullamento delle 3 componenti su una faccia dell’elemento considerato. Il tensore degli sforzi risulta quindi essere una matrice 2x2, e si ottengono le equazioni indefinite di equilibrio: ⎧ <F) + + = 0⎪ ) = = = )< <) )F F) <F F< ⎨ )< <+ + = 0⎪ < ⎩

Sforzi principali: sforzi sulle facce dove non sono presenti sforzi (facce orientate in modo che questi si annullino); questi non dipendono dal sistema di riferimento. Per determinare le direzioni in cui ciò avviene utilizzo:

• Metodo degli autovalori ed autovettori: consiste nel risolvere l’equazione ̅[ con incognita e con autovalori Trovo quindi che:( − ) ∙ q = 0 q [[[. H 1 = + + : ) < FG G G = + + − ( + + )d G )< <F F) ) < < F F )G G G = + 2 − ( + + )I ) < F )< <F F) ) <F < F) F )< Dalla quale ricavo gli autovettori relativi a ogni autovalore e li organizzo in un sistema di riferimento principale (terna ortonormale, ovvero composta da versori perpendicolari a 2 a 2), il cui tensore di sforzo risulta essere: 0 0 = max ( , , )H: 4 H: HG HI[ 0 0} ~ = d = min ( , , )HG 44 H: HG HI0 0 < < HI 444 44 4 Trovo poi gli autovettori, quindi le direzioni principali, mediante gli autovalori.
• Metodo delle circonferenze di Mohr: consiste nel rappresentare gli sforzi in un piano − .

1. Rappresento le due facce dell’elemento in cui sono presenti gli sforzi come due punti, sulla circonferenza, con coordinate ( ; ) ( ; − )F )F ) )F assumendo = = 0;< 1444
2. L’angolo formato da BC con l’asse