Corso completo di Statistica

Definizioni

L’unità elementare è portatrice della caratteristica d’interesse, la quale può presentarsi in diverse modalità (singoli valori). Più unità formano la popolazione, essa può comprendere più campioni (sottoinsiemi del totale).

Un’indagine totale/censuaria (deriva da censimento) si dice quando analizza l’intera popolazione.

Un’indagine parziale/campionaria invece si dice quando considera solamente un campione.

La sintesi di un fenomeno rilevata su tutta la popolazione si chiama parametro, su un singolo campione invece viene definita statistica.

Il campionamento casuale può essere con o senza ripetizione, la statistica descrittiva organizza i dati in modo da darne una visione comprensibile anche a chi non è esperto in materia.

• L’inferenza è invece un tipo di statistica che si prefigge l’obiettivo di indurre delle conclusioni sulla popolazione.

Una stima può essere puntuale (comprende quindi un solo preciso valore) o mediante intervalli (forbici di valori, ad esempio da X100 – ME, la media errore, a X100 + ME).

Verifica d’ipotesi: fa una congettura su quello che potrebbe essere il valore del parametro. Si cerca poi se c’è evidenza empirica che confermi l’ipotesi.

Studio delle relazioni tra variabili: studia se posso verificare una variabile rispetto ad un’altra.

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Dataset

I dati si presentano sotto forma di matrice, con una distribuzione unitaria o disaggregata.

(schema)

La scelta delle possibili sintesi migliori dipende dal tipo di carattere, esso infatti può essere:

• Qualitativo, o nominale (“sconnesso”, ad esempio i numeri con valenza solo di etichette) o ordinale (in quanto ordina le modalità);
• Quantitativo, o discreto (può assumere solo alcune modalità distanziate l’una dall’altra) o continuo (originato da un processo di misurazione).

Dati categorici: distribuzioni di frequenze;

• Tabelle con diagrammi a barre, diagrammi a torta;
• Grafici con o o.

L’ordinamento delle modalità non esiste per i nominali, ma solo per gli ordinali (come le distribuzioni di frequenze cumulate).

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Caratteri quantitativi

Possono essere rappresentati schematicamente con tabelle (distribuzioni di frequenze assolute o cumulate) o graficamente con istogrammi, diagrammi ad aste e.

Distinguiamo due casi:

• Numero limitato di modalità distinte;
• Numero elevato di modalità distinte.

Nel primo caso si possono costruire distribuzioni di frequenze assolute/cumulate, nel secondo caso si considerano invece intervalli arbitrari in cui far rientrare le molte modalità differenti.

• L’ampiezza di una classe d’intervallo equivale alla differenza tra l’estremo superiore ed inferiore, il pedice dell’estremo inferiore inoltre indica la classe alla quale appartiene.

Nel caso poi l’intervallo sia costante, nell’istogramma l’area è sempre proporzionale alla frequenza, se l’ampiezza degli intervalli varia invece le colonne possono essere diverse.

• Se la base è più larga (intervallo più ampio) quindi l’altezza non potrà che essere minore in proporzione rispetto alle altre colonne, per non commettere errori nei calcoli si utilizza la densità di frequenza, ottenuta con la formula frequenza/ampiezza.

Non si può risalire alle frequenze assolute se si ha un grafico di frequenze relative perché manca la numerosità totale.

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Funzione di ripartizione

“Associa ad ogni valore di X la frequenza relativa delle osservazioni/unità che presentano una modalità del carattere minore o uguale ad X”:

Per ogni xϵR, F(x) = Freq. Rel. Oss. xᵢ≤x

La funzione si calcola come: F(x) = Fi-1 + (freq. rel./ampiezza)*(x - ampiezza cumulata).

• Dove (freq. rel/ampiezza) misura la densità di frequenza relativa.

Quando prendo un x qualsiasi la F(x) mi dà l’area sottesa all’istogramma da zero fino a quel punto.

Analisi congiunta dei caratteri: consideriamo simultaneamente due caratteri, per le relazioni tra due variabili si usano le tabelle a doppia entrata che elencano distribuzioni di frequenze congiunte e grafici con variabili categoriche/miste (caratteri entrambi qualitativi/quantitativi o uno ed uno) in istogrammi e diagrammi a barre o variabili numeriche.

Distribuzione subordinata (condizionata): suddivide l’insieme principale in altri sottoinsiemi pari al numero di modalità X o Y.

• I sottogruppi sono “indotti” dalle modalità della variabile.

Analisi condizionata: studia la variabile dipendente in ognuno dei sottogruppi al fine di capire se la sua distribuzione è diversa, in questo caso tra due caratteri vi è associazione.

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• Se tutte le distribuzioni subordinate di Y date le diverse modalità di X sono uguali si parla di “indipendenza statistica”.
• Le subordinate si chiamano anche profili riga colonna o se sono orizzontali o verticali.

Descrizione numerica dei dati

Si studia la tendenza centrale (valori attorno ai quali tendono a concentrarsi molte stime), formata da media, mediana e moda e la variabilità che comprende campo di variazione, differenza interquartile, varianza, scarto quadratico medio e coefficiente di variazione.

Moda

Moda: modalità a cui è associata la massima frequenza assoluta. Nel caso ci siano classi di intervalli si considera la massima densità di frequenza (punto medio della classe modale).

Mediana

Mediana: “valore” (non per forza una modalità) che nell’ordinamento non decrescente delle modalità osservate occupa la posizione centrale. Ha la funzione di dividere circa a metà il totale. Può essere determinata (numerosità dispari) o indeterminata (numerosità pari). Viene calcolata con la formula (N+1)/2, nel caso sia indeterminata si prendono i valori immediatamente precedente e successivo e se ne fa la media (solo se si tratta di un carattere quantitativo, altrimenti vengono considerati entrambi).

Media

Media: media aritmetica di tutte le modalità, se K<<N si calcola con ᵏΣᵢ=₁(mᵢ*nᵢ)/N. Se invece K è poco minore o uguale a N (ad esempio con classi di intervalli), la formula è ᶰΣᵢ=₁(mᵢ*nᵢ)/N.

Campo di variazione

Campo di variazione (intervallo di variabilità): differenza tra il valore massimo e minimo di una distribuzione. W = Xᴹ - Xᵐ

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Differenza interquartile

Differenza interquartile: differenza tra il terzo ed il primo quartile (ampiezza della fascia che contiene la metà centrale dei valori). È un indice di dispersione, misura di quanto i valori si allontanano da un valore centrale. IQR = 1/F(0,75) – 1/F (0,25) dove F è la funzione di ripartizione.

Varianza

Varianza: media dei quadrati degli scarti della media aritmetica. σ² = 1/N*Σᶰᵢ₌₁(xᵢ - μ)², dove xᵢ - μ misura lo scarto. Nel caso di una distribuzione di frequenze in classi d’intervallo al posto di ᶰ troviamo ᵏ (numero di classi) e lo scarto viene moltiplicato per nᵢ (numero di unità dell’intervallo), nᵢ/N nel caso di frequenze relative.

• La formula ridotta è σ² = 1/N*&Sigm