Nel seguente appunto vengono approfondite alcune note serie convergenti.
Serie convergenti
Partiamo dalla definizione: una serie si dice convergente se la successione delle somme parziali ammette limite finito. Le somme parziali sono le successioni arrestate al termine[math]n-[/math]
esimo.Ad esempio, data la serie:
[math] \sum_{n=0}^{\infty} \left ( \frac12 \right )^n [/math]
[math] S_1 = 1, S_2 = 1 + \frac12 = \frac32, S_3 = 1 + \frac12 + \frac14 = \frac74, \dots [/math]
Serie geometriche
In generale la serie:[math] \sum_{n = 0}^{\infty} r^n [/math]
[math] \frac{1}{1-r} [/math]
quando [math] |r| > 1 [/math]
.Vediamo una dimostrazione di questo fatto:
Chiamiamo
[math] S [/math]
la quantità:[math] S_n:= 1 + r + r^2 + r^3 + \dots + r^n [/math]
[math] rS [/math]
è data da [math] S [/math]
con tutti gli esponenti "shiftati" di un'unità. In effetti:[math] rS_n = r + r^2 + r^3 + \dots + r^{n+1} [/math]
[math] S_n - rS_n = (1-r)S_n = \frac{1-r^{n+1}}{1-r} [/math]
[math] n \to \infty [/math]
(ovvero, per calcolare la serie infinita), sfruttando il fatto che la base è in modulo minore di [math] 1 [/math]
(ovvero: il fattore di "crescita" è minore di 1) si ottiene che [math] r^{n+1} \to 0 [/math]
.Pertanto si ha che:
[math] \lim_{n \to + \infty} S_n = \sum_{n=0}^{\infty} r^n = \frac{ 1 - 0}{1-r} = \frac{1}{1-r} [/math]
La formula
[math] \frac{1-r^{n+1}}{1-r} [/math]
può tuttavia essere utilizzata per calcolare le somme parziali, nel caso in cui si dovesse rendere necessario calcolare delle serie geometriche (arrestate ad un certo punto) di ragione [math] |r| \ge 1 [/math]
(a patto che [math] r \neq \pm 1 [/math]
.Quello che è importante ricordare, però, è che in questo caso la serie infinita non converge.
https://www.skuola.net/materiale/staticfiles/teoria/analisi_superiori/25-convergenza_delle_serie.pdf
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