Cinematica del punto 2

Cinematica del punto rispetto alla terna intrinseca

La legge oraria del punto P su una curva γ è data dalla funzione vettoriale:

P = P(s)

P = P(s(t))

Ovvero P è funzione del tempo t, ma riferita all'ascissa curvilinea S.

Velocità e accelerazione

La velocità del punto rispetto alla terna intrinseca sarà:

_t(P) = ^dP/_dt = ^dP/_dS ^dS/_dt = Ṡt

Mentre l'accelerazione:

a_(P) = ^dV(P)/_dt = ^d/_dt (Ṡt) - Ṡ^dt/_dt

Moltiplicando il secondo termine per ^dS/_dS otteniamo:

... + Ṡ ^dt/_ds ... + Ṡ ^dS/_dt ^dt/_dS = ... + Ṡ²(1/_ρ n)

a_(P) = Ṡt + 1/_p Ṡ² m

Cinematica del punto rispetto alla terna intrinseca

La legge oraria del punto P su una curva γ è data dalla funzione vettoriale

P = P(s)

s = s(t)        =>        P = P(s(t))

Ovvero P è funzione del tempo t ma riferita all'ascisse curvilinee s. La velocità del punto rispetto alla terna intrinseca sarà:

_γ(P) = ^dP/_dt = ^dP/_ds ^ds/_dt = ^.s ^t

Mentre l'accelerazione

a_γ(P) = ^d_γ(P)/_dt = ^d/_dt ( ^.s ^t ) = ^.S^t + ^.s ^dt/_dt

Moltiplicando il secondo termine per ^ds/_ds otteniamo:

... + ^.s ^dt/_ds ds ... = + ^.s ^ds/_dt ^dt/_ds = ... + ^.s²⋅[1/_p⋅^m]

Cioè a_γ(P) = ^.St + 1/_p ^.s^{2 m}

Casi particolari

• Retta : ρ → ∞ => ¹/_ρ → 0
• v(P) = Ṡ ṫ
• a(P) = Ṡ ṫ non abbiamo l'acc. centripeta
• Se Ṡ = cost => Ṡ = 0 => a(P) = 0 : Moto rettilineo uniforme
• Se Ṡ = cost : Moto rettilineo uniformemente accelerato.
• Circonferenza di raggio R: ρ = R ; ¹/_ρ = ¹/_R
• v(P) = Ṡ ṫ ; a(P) = Ṡ ṫ + ¹/_R Ṡ² m
• Se S = Rφ̇ diventa
• v(P) = Rφ̇ ṫ = Rω ṫ
• a(P) = Rφ̈ ṫ + Rφ̇² ṁ = Rω ṫṫ + Rω² ṁ
• acc. tang. acc. centripeta
• Se φ̇ = cost => φ̈ = ω = 0 : Moto circolare uniforme
• Per cui a(P) = Rφ̇² ṁ = Rω² ṁ

I versori sono t = - Senθ i̇ + Cosθ j̇ṅ = - Cosθ i̇ + Senθ j̇

Legame tra coordinate cartesiane e coord. polari

Trattando per lo più moti piani, cioè quei moti in cui la traiettoria è piana (la curva γ è contenuta tutta in un piano), al piano del moto di P possiamo associare un riferimento cartesiano (O; x, y) o un riferimento polare (O; r, φ). In corrispondenza avremo espressioni della velocità ed accelerazione di P in forma cartesiana e in forma polare.

1. Ricerchiamo i versori e₁ (radiale) ed e₂ (trasverso) considerando una circonferenza goniometrica di raggio quindi unitario

[e₁ = cosφ i + senφ j

e₂ = -senφ i + cosφ j]

2. Tenendo conto dei legami tra le coordinate cartesiane e quelle polari

x = r cosφ

y = r senφ

Derivando quindi quest’ultime rispetto al tempo otteniamo

1. ddt = [ṙ cosφ + r (-senφ) φ̇] i;
2. ddt = [ṙ senφ + r (cosφ) φ̇] j;

Da cui [J(P) = r e₃ + r ϕ̇ e₂]

Riscrivendo la velocità come J(P) = ṙ (cosϕ î + senϕ ĵ) + r ϕ̇ (−senϕ î + cosϕ ĵ) = dJ(P)/dt = ṙ (cosϕ î + senϕ ĵ) + r ϕ̇ (−senϕ î + cosϕ ĵ) + ..._e3 + r ϕ̇ (−senϕ î + cosϕ ĵ) + r ϕ̇̇ (−senϕ î + cosϕ ĵ) + ..._e2 + r ϕ̇̇² (−cosϕ î − senϕ ĵ) −_e2 [a(P) = (r̈ − r ϕ̇̇²) e₁ + (2 r ϕ̇̇ + r ϕ̇̇) e₂]

Nota: moto piano di un punto materiale

Un moto di un punto materiale P è Piano, se esiste un piano π che contiene la traiettoria. Di conseguenza sono sufficienti due equazioni scalari per descrivere il moto:

x = x(t)

y = y(t)

In coordinate polari ρ = ρ(t)ϑ = ϑ(t)

Moto armonico semplice

Consideriamo un punto P che si muove di moto circolare uniforme. Si dice armonico il moto del punto P* proiezione ortogonale di P su un qualsiasi diametro della circonferenza. Se assumiamo tale diametro come asse delle x, con l'origine nel centro della circonferenza, la legge oraria del moto di P* è:

X(t) = R cos(ωt + θ₀)

R: Ampiezza. ω: pulsazione

θ₀ = θ(t₀) : fase iniziale

T = 2π/ω : periodo

ν = 1/T : frequenza

Attenzione Il moto di P* è rettilineo. In più subisce un'accelerazione dall'estremo del diametro fino al centro (di oscillazione) e da lì in poi una decelerazione fino all'estremo opposto e viceversa, invertendo così la direzione del moto!

Dim. Assumiamo r = -sen θ i + cos θ j

x = R cos θ. r = Rr

J(P) = Rθ t = R θ̇ r = R θ̇ (-senθ i + cos θ j)

J(P*) = J(P) . iₓ = R θ̇ (-senθ ) => J(P*) = -Rθ̇ senθ

Se θ̇ = cost e V θ̇ = ω allora possiamo scrivere x(t) = ∫_t₁^t₂ J* (t) dt = ∫_t₁^t₂ [-Rθ̇ senθ ] dt = R[cos(θ + θ₀)]

Dove θ = ωt per cui X(t) = R cos(ωt + ϕ₀) riconduciamo la condizione iniziale ϕ(0) = ϕ₀ per l'integrazione.

Della legge oraria X(t) si riconosce facilmente che il punto P^* compie delle oscillazioni attorno al punto O (centro di oscillazioni), di ampiezza R.

• Se deriviamo due volte rispetto al tempo la legge oraria, troviamo l'equazione differenziale caratteristica dei moti armonici semplici:

d X(t)/dt = R [-sin(ωt + ϕ₀)ω]

d² X(t)/dt² = -R cos(ωt + ϕ₀)ω²

Dove d² X(t)/dt² = ˙x;²; -R cos(ωt + ϕ₀) = -x; ˙x;² = -ω²x

L'equazione differenziale di un moto armonico semplice è [ ˙x; + ω²x = 0 ]

È un'equazione differenziale omogenea del secondo ordine. Il suo integrale generale può essere scritto nella forma:

Integrale generale: [ X(t) = A cos(ωt + ψ) ]

Con A > 0 : Ampiezza del moto, ψ ∈ R : Costanti di integrazione da ricavare in base alle condizioni iniziali x(0) = X₀; ˙x;(0) = ˙X;₀

Infatti troviamo presente il seguente grafico.... (graphic illustration not transcribed) ...

∫ A cos φ = x_o

∫ -ω A sen φ = ^.x_o

Come abbiamo già visto precedentemente ẟ(P)^. = ẟ(P) ^.x_o = - A^.φ' sen φ mettiamo che ẟ(P)^.x_o = ^.x_o , φ' = ω => -ω A sen φ = ^.x_o

Potremmo trasformare alternativamente e ottenere

∫ A cos φ = x_o

∫ A sen φ = - ^.x_o/ω

A = √(x_o² + (^.x_o/ω)²)

tg φ = -^.x_o / x_o

Deve allora: A = √(A cos φ)² + (A sen φ)² = √x_o² + (^.x_o/ω)²

tg φ = A sen φ / A cos φ = - ^.x_o / x_o = - ^.x_o / x_o

Anche l'equazione differenziale non omogenea [^.x + ω² x = C] C = cost è caratteristica dei moti armonici semplici. Infatti, il suo integrale generale è [X(t) = A cos (ωt + φ) + C / ω²]

Ed è semplice riconoscere che si tratta ancora di moto armonico semplice con il centro di oscillazione, che non è più l'origine ma il punto di coordinata x̄ = C/w²

In questo caso avremo

A cos ψ − X_o + C/w² = 0

−w A sin ψ = Ẋ_o

Bisogna sempre ricordarsi che delle soluzioni del sistema (che 57itinerante sono due / bisogno accettare esclusivamente quello con A > 0  (A < 0 man ha significato)

Nel caso in cui A cos ψ = 0

A sin ψ = 0 , poiché il seno e il coseno non si annullano contemporaneamente, ne consegue A = 0 → ovvero °l'ampiezza è indeterminata. Il punto rimane allora fermo nella configurazione x̄ = C/w² (ovvero nel centro di oscillazione)

Moto elicoidale (uniforme)

Il moto elicoidale uniforme di un punto P (che percorre la parete di un cilindro) può essere considerato come combinazione di due moti di due punti distinti: P₁ e P₂, dove P₁ è la proiezione di P sul piano π₁ (≡ z asse del cilindro), e compie un moto circolare uniforme, mentre P₂ è la proiezione di P sull'asse z e gode di moto traslatorio uniforme.

Le ipotesi che stanno alla base del moto elicoidale sono:

∃ P₁, P₂ | P₁ ∈ π₁, P₂ ∈ Z, π₁ ⊥ Z

Assegnato un sistema di riferimento (O;x,y,z) con Z ≡ z e Oxy ≡ π₁

P₁ ∈ x + y = R²

P₂ ∈ Z

∃ V_P1(t) ≠ 0 , V_P2(t) ≠ 0

Le coordinate di P₃ saranno

x = R cos φ

y = R sen φ

Le coordinate di P₂ saranno

Z = ±∫₀^t V₂(t) dt = V₂ t + C

Quindi: le coordinate del punto P saranno, e così la sua velocità:

x = R cos φ

y = R sen φ

z = ±∫₀^t V₂(t) dt = V₂ t + C

(Velocità)

x˙ = - R sen φ ˙φ

y˙ = R cos φ ˙φ

z˙ = ± V₂

Il moto elicoidale è alla base della cinematica di una vite, la quale ruota sul suo asse e allo stesso tempo trasla. Come abbiamo già detto il moto elicoidale è definito cambiando, di un punto P, la sua velocità di rotazione con quella di traslazione. Affinché sussista il moto elicoidale uniforme è necessario che sia la velocità di rotazione che quella di traslazione siano costanti. In questo caso è possibile definire l'angolo γ che viene a crearsi tra la retta d'asse del vettore velocità globale e l'asse z, che coincide con z. Lo si può ricavare attraverso il coseno direttore:

|γ| = ^Z˙/_{√(x˙² + y˙² + z˙²)} = ^V_z/_{√(R² φ˙² + Vz²)}

Tale angolo γ deve rimanere costante durante tutto il moto.