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Centro di massa: definizione, formule ed esercizi svolti Pag. 1
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Sintesi
In questo appunto si parla di centro di massa, la cui definizione verrà discussa dettagliatamente in seguito.
Ogni sistema di punti dotati di massa ha un suo centro di massa, che è un punto che è soggetto a un moto se la somma delle forze esterne agenti su di esso è non nulla.
Se invece la somma delle forze esterne agenti su di esso è nulla, il centro di massa resta fermo (o si muove di moto rettilineo uniforme), in accordo con i primi due principi della dinamica.
Di seguito vediamo come è definito.

Definizione di centro di massa


Supponiamo di trovarci in un sistema di riferimento tridimensionale, in cui ogni punto è descritto da tre coordinate
[math] (x, y, z) [/math]
.
Dato un sistema di
[math] n [/math]
punti materiali aventi massa
[math] m_1, m_2, \dots, m_n [/math]
e coordinate
[math] (x_1, y_1, z_1), (x_2, y_2, z_2), \dots, (x_n, y_n, z_n) [/math]
scriviamo le formule per calcolare le coordinate del centro di massa. Ricordiamo infatti che il centro di massa, essendo un punto, ha le sue coordinate
[math] (x_G, y_G, z_G) [/math]
. Per comodità chiamiamo
[math] M = m_1 + m_2 + \dots + m_n [/math]
la massa totale del sistema. Allora:
[math] x_G = \frac{\sum_{i=1}^n m_i x_i }{M} [/math]

[math] y_G = \frac{\sum_{i=1}^n m_i y_i }{M} [/math]

[math] z_G = \frac{\sum_{i=1}^n m_i z_i }{M} [/math]

Osserviamo che non ci sono cambiamenti significativi tra una coordinata e l'altra, cioè le formule sono molto simili a prescindere dalla coordinata.

Esempio 1


Consideriamo un sistema di
[math] n = 2 [/math]
punti materiali aventi coordinate:
[math] P_1: (3 cm, 8 cm, 2 cm), P_2: (-2 cm, 10 cm, 1 cm) [/math]

e supponiamo che il punto
[math] P_1 [/math]
abbia massa
[math] m_1 = 1 kg [/math]
, mentre l'altro punto ha massa
[math] m_2 = 3 kg [/math]
. Determiniamo le coordinate del centro di massa del sistema.
Osserviamo innanzitutto che la massa totale del sistema vale
[math] M = (3+1) kg = 4 kg [/math]
.
Applichiamo le formule di sopra, osservando che:
[math] x_G = \frac{m_1 x_1 + m_2 x_2}{M}, y_G = \frac{m_1 y_1 + m_2 y_2}{M}, z_G = \frac{m_1 z_1 + m_2 z_2}{M} [/math]

da cui si trova che:
[math] G = (-0.75 cm, 9.5 cm, 1.25 cm) [/math]


Esempio 2


Due persone in piedi sul ghiaccio (una superficie priva di attrito) stanno tenendo i capi opposti di una fune, separati da una distanza
[math]D[/math]
. Una persona è di massa
[math]M_1[/math]
e l'altra è di massa
[math]M_2[/math]
. Una persona comincia a tirare la fune, una mano sopra l'altra, trascinando l'altra persona più vicino.
Supponiamo che
[math] D = 30 m, M_1 = 70 kg, M_2 = \frac{2}{3} M_1 [/math]
.
Fissiamo un sistema di riferimento in cui il centro di massa
[math] x_G [/math]
si trova nell'origine.
Avremo allora che:
[math] 0 = x_G = \frac{m_1 x_1 + m_2 x_2}{M} [/math]

ma dal momento che
[math]x_2-x_1 = D [/math]
allora vale che
[math] m_1x_1 + m_2 (x_1 + D) = 0 [/math]
. Da quest'ultima uguaglianza ricaviamo, tenendo conto che
[math] m_2 = \frac{2}{3} m_1 [/math]
, che:
[math] x_1 + \frac{2}{3} (x_1 + D) = 0 [/math]
cioè:
[math] \frac{5}{3} x_1 = -\frac{2}{3} D \rightarrow x_1 = -\frac{2D}{5} = -12 m [/math]
e quindi, per differenza,
[math] x_2 = 18 m [/math]
.
Osserviamo che, come è naturale aspettarsi, se
[math] M_1 = M_2 [/math]
, per simmetria le posizioni
[math] x_1 [/math]
,
[math]x_2[/math]
saranno uguali (in modulo).