Carica di un induttore

Carica di un induttore

Sappiamo che un induttore percorso dalla corrente I diventa sede di campo magnetico "H" e quindi, di induzione magnetica "B = μH".

Si può dimostrare che l'energia accumulata nella regione di spazio in cui c'è campo magnetico è esprimibile come segue:

W_m = ¹⁄₂ L I²

Questo ci fa capire che il generatore di f.e.m. "E" dopo la chiusura dell'interruttore "T₁", deve fornire energia all’induttore, che l’accumula sotto forma di energia magnetica W_m, e deve fornire energia al resistore, che la dissipa in calore per effetto Joule.

W_g = W_m + W_j Energia Dissip. Energia Magnetica. Energia Gen.

Carica di un induttore

Sappiamo che un induttore percorso dalla corrente I diventa sede di campo magnetico “H” e quindi, di induzione magnetica “B=μH”.

Si può dimostrare che l'energia accumulata nella regione di spazio in cui c'è campo magnetico è esprimibile come segue:

Wm = ¹/₂ L I²

Questo ci fa capire che il generatore di f.e.m. “E” dopo la chiusura dell'interruttore “T₁”, deve fornire energia all’induttore, che l'accumula sotto forma di energia magnetica Wm, e deve fornire energia al resistore, che la dissipa in calore per effetto Joule.

Wg = Wm + Wj Energia Dissip. Energia Magnetica Energia Gen.

Sperimentalmente si osserva che la tensione ai capi dell'induttore e la corrente hanno, dopo la chiusura di T₁, i seguenti andamenti:

Si può dimostrare che la costante di tempo "τ" vale: τ = ^L/_R

Quindi, dopo t > 5τ il fenomeno si può considerare terminato, e la situazione è a regime.

Corrente e gradini di corrente

Come si spiega il fatto che la corrente non aumenta istantaneamente al valore di regime "I"?

Se si ipotizza un aumento a gradino della corrente assorbita dall'induttore "ΔI", ci sarà anche un aumento a gradino dell'energia magnetica "ΔWm":

ΔWm = ¹/₂ L (ΔI²)

Come visto nel caso dell'energia elettrostatica per i condensatori, ci sarebbe un aumento di energia magnetica in un intervallo di tempo nullo, ossia Δt = 0 S.

Se valutiamo la potenza necessaria:

P = _ΔWm/^Δt

Non esiste alcuna sorgente in grado di erogare potenza W in Δt = 0 S.

Quindi è fisicamente impossibile che si manifestino gradini di corrente quando c'è un induttore. In sintesi: un induttore non ammette gradini di corrente.

Sembra che l'aumento della corrente sia “frenato” da qualcosa: la F.E.M. autoindotta.

La legge di Lenz afferma infatti, che in un circuito che concatena un flusso magnetico variabile nasce una F.E.M. che tende ad opporsi alla variazione di flusso, o, come spesso si dice, alla causa che l'ha creata.

Se a creare la F.E.M. indotta è la stessa corrente che circola nel circuito, allora questa F.E.M. si dice autoindotta.

Essa si esprime nel modo seguente:

e(t) = - dΦ(t)_dt

Derivata del flusso concatenato “Φ(t)” variabile nel tempo il segno “-” indica che si oppone alla causa che l'ha creata.

Flusso concatenato e autoinduzione

Se consideriamo un induttore percorso dalla corrente "I", essa genera un flusso magnetico "ϕ".

Se l'induttore è costituito da "N" spire, il flusso concatenato da queste spire si può esprimere così:

ϕ_c = Nϕ

Il coeff. di autoinduzione "L" è definito come segue:

L = ϕ_c / I (∗)

Da questa è possibile ricavare il flusso concatenato "ϕ_c":

ϕ_c = L I (∗∗)

Ipotizzando che L = cost, il flusso "ϕ_c" in funzione della corrente "I" è rappresentato da una retta:

ϕ_c(y = mx)

ϕ_c = L I

L = tgα m

Oss: L costante è una forzatura quando sono presenti materiali ferromagnetici (sempre presenti quando si tratta di macchine elettriche.

Infatti, se consideriamo la (*) e la applichiamo al caso di induttore con lunghezza “l” molto più grande del suo diametro “d”, e lo pensiamo avvolto attorno ad un nucleo di materiale ferromagnetico, allora:

L = _ΦC/_Ι = _ΒS/_Ι = _μHS/_Ι = _{μ NΙS}/_l = _μNS/_l

La permeabilità magnetica "μ" non è infatti costante; infatti, considerando il tratto di prima magnetizzazione, cioè prima di arrivare in zona di saturazione, l'andamento che si rileva sperimentalmente è tutt'altro che lineare, ossia rettilineo.

Solo questo è un tratto rettilineo.

Solo qui si può considerare L = cost.

Solo per i materiali paramagnetici (aria, alluminio, platino, cromo,...) e diamagnetici (bismuto, oro, argento, rame,...) si può considerare con ottima approssimazione μ=μ₀, quindi una permeabilità costante, e dunque costante anche l’induttanza, o coeff di autoinduzione, "L". Per i materiali ferromagnetici, tale ipotesi è valida solo nel tratto indicato, altrove no!

Chiarito ciò, possiamo ritornare alla questione della f.e.m. autoindotta, cercando una espressione più comoda per lo studio dei fenomeni transitori.

La (★★), scritta nel caso di grandezze variabili nel tempo, avrà espressione:

Φ_c(t) = L i(t)

La legge di Lenz si può allora scrivere come segue:

e(t) = - _dφ_c(t) / dt = - _d ^{[ L i(t)] / dt} = - L _di(t) / dt

Operazione che ci insegnano i matematici.

Quindi:

e(t) = - L _di(t) / dt

In un circuito elettrico dove esistono fenomeni induttivi, la F.E.M. è tale da “frenare” la corrente quando essa aumenta, ed è tale da “favorirla” quando essa diminuisce.

Esempi sulla F.E.M. autoindotta

Facciamo due esempi:

Corrente in aumento.

i(t)

e(t)

e(t) = cost

Corrente in dim.

i(t)

e(t)

e(t) = cost > 0

Assumeremo per l'induttore la convenzione dell'utilizzatore.

_vL(t) = L _di(t) / dt

i(t) ↑ => v_L(t)>0 => con quella polarità verso l'alto si tiene conto del segno "-" della legge di Lenz, infatti si "frena" la corrente in crescita.

i(t) ↓ => v_L(t) la polarità si inverte ed è così che si tiene conto del segno "-" della legge di Lenz, infatti si "favorisce" la corrente in calo.

Transitorio di magnetizzazione

Per studiare il transitorio di magnet, possiamo fare riferimento a ciò che accade in due situazioni particolari (esattamente come abbiamo fatto per la carica del condensatore):

• Subito dopo la chiusura dell'interruttore "T" cioè in t=0⁺.
• A regime, cioè quando t>5T.

I circuiti a cui fare riferimento sono di seguito riportati e desumibili dalle oss. sperim.

1. t = 0⁺: i_L(0^-) = i_L(0⁺) = 0

Questo è il principio di continuità per gli induttori che, appunto, non ammettono gradini di corrente.

L'induttore si comporta come un circuito aperto.

v_L(0⁺) = E - V_L

i_L(0⁺) = 0 A

2. t ≥ 5τ: i_L(t) = I = L'induttore si comporta come un cto-cto.

v_L(t) = 0 V

i_L(t) =

Ora possiamo ricercare l'equazione differenziale che regola il fenomeno transitorio; per farlo, usiamo il 2° PDK alla maglia, riferendoci al circuito con cui siamo partiti.

+ E - Ri(t) - Ri(t) = 0

E - L ^di(t)/_dt - Ri(t) = 0

Dividiamo a dx e a sx per "R";

E/R - L/R ^di(t)/_dt - i(t) = 0

Si pone τ = L/R, quindi;

E/R - τ ^di(t)/_dt - i(t) = 0

Dividiamo a dx e a sx per "τ";

E/τR - ^di(t)/_dt - i(t)/τ = 0

Riordinando;

^di(t)/_dt + i(t)/τ = E/τR = cost, perché {E = cost R = cost τ = cost

L'equazione differenziale di interesse è dunque;

^di(t)/_dt + i(t)/τ = cost eq. diff. del primo ordine.

Si può dimostrare (lo vedrà chi proseguirà gli studi all'università) che la soluzione di questa equazione è data dalla seguente:

i(t) = E/R (1 - e^-t/τ)

Corrente che attraversa l'induttore in fase di magnetizzazione.

Nota la corrente, è ora possibile calcolare la tensione ai capi dell'induttore;

V_L(t) = L di(t)/dt

I matematici ci hanno insegnato a calcolare le derivate; in questo caso bisogna determinare la derivata della corrente rispetto al tempo. Si può dimostrare che:

V_L(t) = E e^-t/τ

Tensione ai capi dell'induttore in fase di magnetizzazione.

Scarica di un induttore

Supponiamo che l'induttore sia stato completamente magnetizzato in t<0! i(t)=^E/_R, n_L(t)=0V

Consideriamo adesso il circuito che ci consente di smagnetizzare completamente l'induttore:

Vediamo cosa succede sperimentalmente quando in t=0⁺ si chiude l'interruttore T₂.

Si osservano i seguenti andamenti:

Cerchiamo adesso l'equazione differenziale che regola il transitorio dopo la chiusura di "T₂".

Intanto, da un punto di vista energetico, accade che l'energia magnetica accumulata nell'induttore si dissiperà in effetto Joule nel resistore.

Applichiamo il 2^o PDK alla maglia:

- R i(t) - N L _di(t) = 0

- R i(t) - L _di(t)_dt = 0

Dividiamo tutto per "R":

- _i(t) - L _di(t)_dt = 0

Si pone _T = L_R e si cambiano i segni:

i(t)_R + _{T d}i(t)_dt = 0

Dividiamo tutto per "T" e riordiniamo:

_di(t)_dt + i(t)_tR = 0

Eq. diff. del primo ordine.

Anche in questo caso possiamo fare riferimento a due situazioni particolari:

• T = 0⁺: i_L(0^-) = i_L(0⁺) = E/R. L'induttore non ammette gradini di corrente. La tensione ai capi dell'induttore si inverte istantaneamente, e questo è giustificato dalla legge di Lenz: la corrente nel circuito tende a diminuire e la F.E.M. autoindotta tende "favorirla" (a mantenerla). Solo una inversione di polarità di v_L(0⁺), che dunque consente di pensare l'induttore come un generatore di F.E.M "E", giustifica la corrente i_L(0⁺) = E/R che si riscontra sperimentalmente.
• T > 5: i_L(t) = 0A, v_L(t) = 0V.

Si può dimostrare che la soluzione è:

_i(t) = _E/_R e^-t/_τ

Corrente che attraversa l'induttore in fase di smagnetizzazione.

Calcolando la derivata fatta rispetto al tempo:

_vL(t) = -_E e^-t/_τ

Tensione ai capi dello induttore.....

Osservazione sulla costante di tempo

Osservazione.

Anche nel caso degli induttori possiamo ricorrere ad un artificio per ricavare la costante di tempo "_τ"! Immaginiamo che l'induttore si magnetizzi con corrente _Iϕ=_E/_R in un tempo t= _τ a tensione costante _E.

_i(t) _Iϕ=_E/_R

|_vL(t)|=_dϕC(t)/dt

Ragionando in termini non infinitesimi dt ma Δt; voltme sapendo che |_vL(t)| = _ξ, si ha;

_E=_Δϕc/_Δt=_ϕcFIN-_ϕcIN

ϕ_FW=1-_Iϕ, ϕ_cW=1-_Iϕ=1·0

Quindi:

E = ^{LI_f - 0}/ = ^LI_f/

I_f = ^E/_R

Dunque:

1 = ¹/_R => = ^L/_R

È chiaro che si tratta di un tempo, infatti:

^[H]/_[Ω] ⟶ 1H = ^{1 Wb}/_{1 A} ⟶ 1 Ω = ^{1 V}/_{1 A}

^[Wb]/_A = ^[Wb]/_V= ^[Wb]/_A × ^A/_V = ^[Wb]/_V

= ^1Wb= 1V . 1s= ¹./_[s]

Conclusioni

Magnetizzazione

1^o caso: induttore privo di magnetizzazione residua.

i(t)= I_f (1-e^-t/τ)

v_L(t)= V_o e^-t/τ

2^o caso: induttore con magnetizzazione residua.

i(t)= I_f (1-e^-t/τ)

i(t)= I_o + (I_f- I_o) (1-e^-t/τ)

Possiamo usare una astuzia e riscriverla nel modo seguente:

Termini che cambiano con la magnetizzazione residua.

Pertanto!

i(t) = I₀ + (I_f - I₀) (1 - e^-t/τ)

Possiamo anche semplificarla:

i(t) = I_f + (I₀ - I_f) e^-t/τ

Smagnetizzazione

1° caso: smagnetizzazione completa.

i(t) = E/R e^-t/τ

i(t) = I₀ e^-t/τ

√_L(t) = -E e^-t/τ

√_L(t) = V₀ e^-t/τ

2° caso: smagnetizzazione incompleta.

Ragionando similmente al caso precedente, se prendiamo la (1) e la modifichiamo ad hoc, otteniamo il risultato cercato.

i(t) = I_o e^{- t / τ} = I_f + I_o e^{- t / τ}

Termine che compare a causa della smagnetizzazione incompleta.

Quindi!

i(t) = I_f + I_o e^{- t / τ}

Esempio di induttore con magnetizzazione residua

E1 < E2

• In t = 0⁺ si commuta in 1 e si attende il termine del transitorio.
• In t = t* > 5τ si commuta in 2.

L'andamento della corrente i_L(t) sarà come evidenziato in figura:

i_L²(t) I₂ = E₂/R I_d = E₁/R

Questa è la magnetizzazione residua che si ha dopo l'istante t'*

Se in t = t**, dopo aver raggiunto il nuovo regime con i_L(t) = I₂ = E₂/R, ricommuta in 1 si ha:

i_L(t)

Smanetiz. incompleta dopo l'istante t = t**

Esempio di circuito

Es: consideriamo il circuito di figura! E = 100V R = 10Ω L = 0,1H

Dopo la chiusura di "T" determinare:

• La costante di tempo;
• La tensione indotta iniziale;
• La corrente finale;
• Il tempo di assestamento T_α;
• L’energia magnetica accumulata dopo il tempo di assestamento.

Soluzione

• τ = ^L/_R = ^0,1/₁₀ = 0,01s = 10ms
• Siamo nel 1^° caso (PSI.17) V₀ = E = 100V
• I_f = ^E/_R = ¹⁰⁰/₁₀ = 10A
• È definito così: T_α = 4,6 τ
• Quindi: T_α = 4,6 ⋅ 10 × 10^-3 = 46ms
• i_L(t) = I_f(1 - e^-t/τ)
• t = T_α = 46ms
• => i_L(0,046) = 10(1 - e^-0,046/0,01) ≈ 9,9A
• W_m(0,046) = ¹/₂ L i_L²(0,046) = ¹/₂ ⋅ 0,1 ⋅ 9,9² ≈ 4,9J

Esempio con riferimento allo schema precedente

Es: con riferimento allo schema precedente, determinare:

• I(30ms);
• v_L(30ms);
• Dopo quanto tempo la corrente raggiunge il valore pari a 8A?

Soluzione

• Ricordo che siamo sempre nel 1° caso di pg. 17.

i(t) = I_f(1 - e^-t/τ)

I_f = E/R = 100/10 = 10A

τ=10ms t=30ms=0,03s=>i(0,03) = 10(1 - e^-0.03/0.01) ≃ 9,5A

v_L(t) = V_oe^-t/τ

V_o = E=>v_L(0,03) = 100e^-0.03/0.01 ≃ 4,98V

2)

3) Indichiamo con t^* l’istante a cui corrisponde i(t^*) = 8A. Dalla formula precedente:

i(t^*) = 8 = 10(1 - e^-t*/τ)

Devo ricavare t^*

8/10 = 1 - e^-t*/τ

=>e^-t*/τ = 1 - 8/10 = 1 - 0,8 = 0,2

Si applica a dx e a sx il logaritmo