Cardinalità e numeri transfiniti

Cardinalità di un insieme e numeri transfiniti

Introduzione

Una retta orientata è un’immagine geometrica dell’insieme dei numeri reali. Fissate l’origine e l’unità di misura, è possibile istituire una corrispondenza biunivoca tra numeri reali e punti della retta.

Percorrendo la retta orientata, a partire dall’origine e nel verso positivo, si incontrano a intervalli regolari i punti corrispondenti ai numeri naturali; muovendosi nel verso opposto, si possono individuare i punti corrispondenti agli interi.

Tra un intero e l’altro si trovano infiniti punti corrispondenti ai numeri razionali, che tuttavia non occupano con continuità tutti i punti della retta: vi sono anche infiniti punti corrispondenti ai numeri irrazionali.

Ingenuamente siamo portati a ritenere che i numeri interi siano più numerosi (il doppio, meno uno) dei numeri naturali, e che i numeri razionali siano molto più numerosi dei numeri interi (quanto più numerosi?).

I numeri irrazionali, infine, sono più numerosi dei razionali, meno numerosi dei razionali, o tanto numerosi quanto i razionali?

Il concetto di potenza di un insieme

La constatazione che “il tutto è maggiore della parte” fu considerata da Euclide come un postulato e ritenuta valida per secoli. Tuttavia quando si ha a che fare con l’infinito anche le affermazioni più ovvie possono perdere la loro evidenza.

Galilei, agli inizi del XVII secolo, aveva osservato che i numeri naturali “quadrati” si possono porre in corrispondenza biunivoca con i numeri naturali medesimi:

n 1 2 3 4 5 …

2 1 4 9 16 25 …

n

Da questo punto di vista i numeri naturali appaiono tanto numerosi quanto i numeri naturali “quadrati”, che, d’altra parte, sono un sottoinsieme dei numeri naturali.

È possibile confrontare gli infiniti?

Dobbiamo la risposta a Georg Cantor (1845-1918). Alla base dello studio di Cantor è il concetto di potenza di un insieme.

Due insiemi hanno la stessa potenza, ovvero sono equipotenti, se tra i loro elementi è possibile stabilire una corrispondenza biunivoca.

La relazione di equipotenza tra insiemi gode della proprietà riflessiva (ogni insieme è equipotente a se stesso), della proprietà simmetrica (se l’insieme A è equipotente all’insieme B, anche l’insieme B è equipotente all’insieme A), della proprietà transitiva (se l’insieme A è equipotente all’insieme B, e l’insieme B è equipotente all’insieme C, allora l’insieme A è equipotente all’insieme C).

La relazione di equipotenza tra insiemi è pertanto una relazione di equivalenza: in ciascuna delle classi di equivalenza si trovano tutti gli insiemi tra loro equipotenti.

Per esempio: